高尔夫球射程问题.docx

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高尔夫球射程问题

第３４卷　第４期武汉理工大学学报（交通科学与工程版）Ｖｏｌ．３４　Ｎｏ．４２０１０年８月Ｊｏｕｌ　ｏｆ　Ｗｕｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　ＴｅｃｈｌｏｇｙＡｕｇ．２０１０（Ｔ（ａ）（ｎ）（ｒ）ｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　＆Ｅｎｇｉｎｅｅｅｒｉｎｇ）（ｏ）（ｎ）

高尔夫球射程问题的动力学模拟研究＊

ｕ

高明向１）　陈定方２）

（武汉理工大学理学院１）　武汉　４３００６３）　（武汉理工大学智能制造与控制研究所２）　武汉　４３００６３）

摘要：

利用数值模拟方法研究了高尔夫球的射程问题．通过对初始速率、旋转速度及抛射角等多种

能够人为控制的因素对射程影响的模拟与分析，得到了这些因素影响射程的规律．

关键词：

高尔夫球；射程；数值模拟

中图法分类号：

Ｏ３１３．３ＤＯＩ：

１０．３９６３／ｊ．ｉｓ

ｓｓｎ．１００６－２８２３．２０１０．０４．０４８

０　引　　言量，绕过质心的轴转动的角速度为ω；ｇ为重力加

速度；ρ为空气密度；Ｃｄ

为空气的阻力系数；μ为

高尔夫球是一种把享受大自然乐趣、体育锻空气的动态粘滞系数；Ａ为球的特征面积；Ｖ为球

炼和游戏集于一身的运动，是一种在优美环境中的体积；Ｆｗ

为风对球的作用力，也是位置和时间

进行的高尚娱乐活动．对高尔夫球类运动规律的的函数，可以根据实际需要建立不同的风力模型．

研究，将有助于高尔夫球运动的发展．在国外，对则球在空气中平动的常微分方程为

（

ｕ

ｘ，ｔ）·

高尔夫球运动规律的研究方法除理论和实验研究

¨

＾ｕ

（ｘ，ｔ）Ａ

ｇ＋Ｃｄρ

＋

ｍｘ＝ｍ

２

外，还采用数值模拟方法［１］．在国内则侧重于理论

８πｒ

３ρω（ｘ，ｔ）×ｕ（ｘ，ｔ）＋ρＶｇ＋Ｆｗ（ｘ，ｔ）

分析［２－３］，而在实验研究和数值模拟上做得还不

３

＾ｕ

够．在这些文献中，为了分析和表示的方便，多将

一些对球的运动影响较小的因素忽略不计，并把

空气的阻力系数当成常量处理，因而得到的理论

分析结果和实际情况有一定差别．

尽可能多地考虑影响高尔夫球运动的因素，

建立高尔夫球运动微分方程，利用数值模拟方法，

对高尔夫球的运动进行动力学模拟，可以最大限

度地获得其真实的动力学行为，无论对于工程应

用还是游戏娱乐都具有很大的实际意义．本文针

对球员能够控制且对射程有明显影响的因素进行

了动力学模拟与分析．

１　高尔夫球的运动微分方程

设高尔夫球的质量为ｍ；半径为ｒ；质心速度

为ｕ，是位置ｘ和时间ｔ的函数；为单位速度矢

（１）　　在空气中转动的常微分方程为

１θ（¨）＝－８πｒ３μω（ｘ，ｔ）（２）

　　方程（１）右侧第１项为球的重力Ｇ；第２项为

空气阻力Ｆｄ；第３项为马格纳斯升力Ｆｌ；第４项

为空气浮力Ｆｆ；方程（２）右侧为空气对球的阻力

矩τ．

下面根据此２方程对高尔夫球的射程问题进

行数值模拟，并对结果进行分析．下文提到的粗糙

球是指现代高尔夫球（网纹高尔夫球）．

２　阻力与光滑程度和球速的关系

当高尔夫球在空气中飞行时，由于其速度比

较高，空气阻力所产生的影响就显得十分明显．对

于大小相同、初始速率相等的球来说，其所受空气

　　　　收稿日期：

２０１０－０４－０８

　　　　高明向（１９７０－）：

男，博士，讲师，主要研究领域为虚拟现实技术的理论与实现

　　　＊湖北省科技攻关项目资助（批准号：

２００４ＡＡ１０５Ｂ０４）

　第４期高明向，等：

高尔夫球射程问题的动力学模拟研究·８３９·

阻力的差异表现在Ｃｄ

的不同，Ｃｄ

则与球表面粗

糙程度以及雷诺数Ｒｅ有关．

图１反映了Ｒｅ＞４×１０４时，粗糙球与光滑球

的Ｃｄ

与Ｒｅ间的关系．当Ｒｅ＜４×１０４时，由于光

滑球与粗糙球表面形成的边界层都是层流，边界

层的分离点大致相同，压差阻力也差不多一样．但

是，由于粗糙的表面会增加摩擦阻力，因而此时粗

糙球也会比光滑球受到更大的阻力．

图１　粗糙球与光滑球的Ｃｄ

与Ｒｅ间的关系

如图１所示，对于光滑球，当Ｒｅ超过３×１０５

时Ｃｄ

突然减小，对于粗糙球，当Ｒｅ超过０．５×１０５时开始减少，而接近０．７５×１０５时Ｃｄ

达到最

小．优秀高尔夫球运动员的击球速度可达到６１ｍ／ｓ，可以计算，对于实际的高尔夫球，在１标准

大气压下，２０

℃时，此速度下，Ｒｅ＝１．７３×１０５，根

据图１，在此雷诺数下空气对粗糙球的阻力系数

约为０．２６，而对光滑球的阻力系数约为０．４８（图

中已用虚线标出）．因此粗糙球受到的空气阻力要

比光滑球小得多．但速度为３１ｍ／ｓ时，Ｒｅ＝０．７５

×１０５，根据图１，空气对二者的阻力系数相差

更多．

随着雷诺数的增加，当超过４×１０５时，从图

１中看到，空气对粗糙球的阻力系数反而超过了

光滑球．此时的球速大约为１４０ｍ／ｓ，一般情况

下，很难打出这么高的速度．

３　高尔夫球射程的动力学模拟［４－５］

３．１　射程与初速率及表面光滑程度的关系

针对光滑球与粗糙球进行射程模拟实验，研

究初速率对射程的影响，并对光滑球和粗糙球的

射程进行比较．结果如下．

环境条件　空气温度为２０℃（温度影响空气

阻力系数）、无风．

初始条件　球的运行方向为－ｘ轴，并采用

理论最佳抛射角［５］，即与地面夹角为４５°斜向上抛

射，球不旋转．

研究方法　给定初始条件和环境条件，改变

初始速率，获取高尔夫球飞行过程中的数据，使用

Ｍｉｃｒｏｓｏｆｔ　Ｅｘｃｅｌ软件处理数据．

图２反映了粗糙球的射程与初始速率的关

系．从图中可以看到，在一定的初始速率范围内，

增加球的初始速率能够有效地增加射程．大约在

２３～５０ｍ／ｓ的范围内，球的射程几乎随着初始速

率的增加而线性地增大，当初始速率超过５０ｍ／ｓ

时，随着初始速率的增加，射程的增量开始减小．

图２　射程与初始速率的关系

通过对粗糙球与光滑球的射程差（粗糙球射

程－光滑球射程）及射程比（粗糙球射程／光滑球

射程）与初速率间的关系进行模拟，结果显示，二

者之间的最大比值约为１．６６，即粗糙球的射程是

光滑球的１．６６倍，此时球的初始速率在７０～１００ｍ／ｓ的范围内，一般情况下，球的初始速率都要低

于此值，此时的射程比为１．２～１．６之间．

模拟结果还表明，当初始速率低于２３ｍ／ｓ

时，光滑球与粗糙球的射程无差别，高于８０ｍ／ｓ

时射程的增大量变得越来越小，超过１１５ｍ／ｓ时，

粗糙球的优势就变得越来越小了，这种优势随着

初始速率的增加几乎线性地减小，当速度超过

１６０ｍ／ｓ时，光滑球反而比粗糙球飞行得更远．这

是由于，如图１所示，此时空气对光滑球的阻力系

数要小于对粗糙球的阻力系数．所以，现代高尔夫

球的极限初始速率应该控制在１６０ｍ／ｓ以内．

３．２　抛射角对射程的影响

通过抛射角对射程影响的模拟，得到了最佳

抛射角与初始速率的关系，模拟结果如下．

环境条件　空气温度为２０

℃（温度影响空气

阻力系数）、无风．

初始条件　球的运行方向为－ｘ轴，球不

旋转．

·８４０·武汉理工大学学报（交通科学与工程版）２０１０年　第３４卷

研究方法给定初始条件和环境条件，改变抛

射角，获取高尔夫球飞行过程中的数据．

模拟结果显示，不同的初始速率下，最佳抛射

角并不相同．初始速率为１０ｍ／ｓ时，最佳抛射角

约为４４°此时的射程约为９．６７ｍ；初始速率为

３１．０９ｍｓ时，最佳抛射角约为３５°，此时的射程

约为７４．６３ｍ；初始速率为６１ｍ／ｓ时，最佳抛射

角约为４２°，此时的射程约为１９６．３１ｍ；而当初始

速率增至７５ｍ／ｓ时，最佳抛射角约为４１°，此时的

射程为２３５．５２ｍ．模拟试验表明，当考虑到旋转

的影响时，射程会超过这个数值，但最大射程不会

超过３００ｍ，这就是现代小型高尔夫球场要求洞

／（，）

间距在３００ｍ以内，而球的飞行速率设计为最高

７５ｍ／ｓ的原因所在．

图３反映了最佳抛射角与初始速率间的关

系．初始速率低于２０ｍ／ｓ时的最佳抛射角均为

４４°，随着初始速率的增加，最佳抛射角在减小．当

球速接近３１ｍ／ｓ时，最佳抛射角将减小为３３°，高

于此速率时，最佳抛射角又开始增大，但不超过

４３°，而当初始速率高于５５ｍ／ｓ时，抛射角又开始

减小，并渐渐趋向３５°的抛射角．初始速率高于

１６０ｍ／ｓ时，就要更换为光滑的球了，因而不需考

虑此时的抛射角问题．

图３　初始速率与最佳抛射角的关系

３．３　转速对射程的影响

旋转对高尔夫球的射程也有明显的影响．从

球手的角度看，球的旋转可以分为上旋、下旋、侧

旋等，其中，上旋将会增大球的射程，而下旋则会

减小球的射程，因为下旋时，空气对球的升力将导

致球很快下坠．而侧旋则会改变球在空中的路径，

从而形成各种各样的飞行姿态，高尔夫球空中飞

行的

“九形图

”［６］就与球的不同旋转形式有关．

旋转对射程的影响，还与球的抛射角有关，不

同抛射角下，需要有不同的转速配合才能达到最

大射程．下面以６１ｍ／ｓ初始速率研究转速、抛射

角对射程的影响．

从图４看到，提高转速的同时降低抛射角能

够有效增加射程．当抛射角较大时，增大转速对射

程的增加并没有太大的好处，相反当转速提高到

一定程度后，反而使射程减少，原因在于，旋转所

产生的升力不仅在竖直方向上与重力抗衡，还会

在水平方向上产生与球运动方向相反的分量，从

而加剧了球在水平方向上的减速运动．而当球的

旋转速度超过一定数值后，球反而会在空中折回

球的抛射点．在其他初始速率下，转速对射程的影

响是相似的．

图４　转速、抛射角与射程的关系

４　结　束　语

通过建立高尔夫球的动力学微分方程，并利

用空气对不同粗糙程度球的阻力曲线，在初始速

率为１０～１６０ｍ／ｓ的范围内对高尔夫球的射程问

题进行模拟研究，得出了能够人为控制的多种因

素（如初始速率、抛射角度、旋转等）对高尔夫球射

程的影响规律，模拟结果与真实高尔夫球的运动

非常接近，因而对于增强高尔夫球的击球技术和

相关娱乐游戏的开发是有实际指导意义的．

　第４期高明向，等：

高尔夫球射程问题的动力学模拟研究·８４１·

参考文献２００５，２４（１）：

３０－３２．

［４］高明向．虚拟环境中球形物体的动力学行为建模及

［１］夏皮罗．形与流———漫谈阻力流体动力学［Ｍ］．谈镐其应用研究［Ｄ］．武汉：

武汉理工大学理学院，２００８．

生，译．北京：

科学出版社，１９７９．［５］杨宝胜，王淑惠．仰角取何值时铅球抛得最远［Ｊ］．物

［２］林荣生．流体力学在体育运动中的某些应用［Ｊ］．力学理通报，１９９０（５）：

７－９．

与实践，１９８４（６）：

８－１４．［６］谭受清，熊定勋．高尔夫导论［Ｍ］．长沙：

国防科技大

［３］刘雅君．高尔夫球射程问题的讨论［Ｊ］．大学物理，学出版社，２００５．

Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　Ｆａｃｔｏｒｓ　Ｉｎｆｌｕｅｎｃｉｎｇ　ｔｈｅ

Ｇｏｌｆ　Ｆｌｙｉｎｇ　Ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｗｉｔｈ　Ｄｙｎａｍｉｃ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ

Ｇａｏ　Ｍｉｎｇｘｉａｎｇ１）　Ｃｈｅｎ　Ｄｉｎｇｆａｎｇ２）

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ｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，ＷＨＵＴ，Ｗｕｈａｎ４３００６３，Ｃｈｉｎａ）１）

２）（Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｉｎｔ．Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ　ａｎｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌ，ＷＨＵＴ，Ｗｕｈａｎ　４３００６３，Ｃｈｉｎａ）

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