二次函数与一元二次方程不等式知识点总结与例题讲解.docx

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二次函数与一元二次方程不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

一、本节知识点

（1）一元二次不等式的概念.

（2）三个二次的关系.

（3）一元二次不等式的解法.

知识点拓展：

（4）分式不等式的解法.

（5）高次不等式的解法.

二、本节题型

（1）解不含参数的一元二次不等式.

（2）解含参数的一元二次不等式•

（3）三个二次之间的关系.

（4）简单高次不等式、分式不等式的解法.

（5）不等式恒成立问题.

（6）一元二次不等式的应用.

三、知识点讲解.

知识点一元二次不等式的概念

我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如ax'+bx+c>Q（NO）或ax2+bx+c<0（Wo）（其中«≠0）的不等式叫做一元二次不等式.

元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的A-的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.

注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式.

知识点三个二次的关系

一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.

一元二次方程"x'+bx+c=O（UHO）与二次函数y=ax2+bx+c=0（«HO）的关

系是:

<1）当厶=b'-4αcM0时,一元二次方程ax2+bx+c=O（a≠O）有实数根,二次函数y=ax2+bx+c=O（a≠O）的图象与x轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解；

1当△>O时,一元二次方程or'+bx+c=0（"Ho）有两个不相等的实数根,—.次函数y=ax2+bx+C=0（6/Ho）的图象与X轴有两个不同的交点；

2当△=（）时,一元二次方程ax2+bx+c=O（a≠O）有两个相等的实数根,二次函数y=αr2+∕7Λ-+c=0（t∕≠0）的图象与X轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.

（2）当厶=b'_4ac

具体关系见下页表

（1）所示.

—元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=0（“≠0）的关系是：

（1）—元二次不等式ax2+bx+c>O（$0）的解集就是二次函数y=ax2+bx+c=0（“Ho）的图象位于a-轴上方（包括X轴）的部分所对应的自变量的取值范用；

（2）一元二次不等式ax2+bx+c

由表可知一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解.

知识点一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的一般步骤是：

（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数；

（2）计算△=b2-4ac的值,并判断△的符号；

（3）当AMO时,求出相应的一元二次方程的根；

（4）画出对应的二次函数的简图；

（5）根据一元二次不等式的形式,结合筒图，写出其解集.

注意一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.

其中,①当△>（）时,一元二次不等式t∕√+⅛Λ+C>0（6∕>0）的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式E+Zu+cvO（d>O）的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”；

②当△=（）时,一元二次不等式dΛ*+bx+c>0（a>0）的解集为，λx≠\；一元

2a）

二次不等式ax+bx+c<0（">0）的解集为0;

③当△<（）时,一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集为R;—元二次不等式ax1+bx+c<0（6/>0）的解集为0・

表

（1）一元二次方程.二次函数以及一元二次不等式的关系:

判别式Δ=^2-4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

二次函数

y=ax2+bx+c=0（α≠0）

的图象（d>0）

1/

V

AAX

O

IM=X2

o∖X

图象说明

图象与X轴有两个不同的

交点

图象与X轴只有一个交点

（顶点在X轴上）

图象与X轴没有交点

一元二次方程

αr2+hx+c=0（a≠0）的解

有两个不相等的实数根

“≠χ2

有两个相等的实数根

b

没有实数根

α√+∕zv+c>0G∕>0）的解集

{x∖xX2}

b

IA≠一——Ia

R

α√+bx+c<0（">0）的解集

{x∣Λ∙j

0

0

一元二次不等式在R上恒成立的问题

（1）ax2+bx+c>0在R上恒成立,则有:

J">°,

△=/T-4gcv0

（3）—元二次不等式ax2+bx+c^O在R上恒成立,则有:

;

△=Zr-4dc≤0

（4）一元二次不等式ax2+bx+c^0在R上恒成立,则有：

（""，•

Δ=/?

■一4GCSO

补充概念二次函数的零点

我们把使一元二次方程αv'+bx+c=O的实数X叫做二次函数y=αx'+bx+c

的零点.

对零点的理解

（1）二次函数的零点即相应一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根；

（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与X轴的交点的横坐标,

且交点的个数等于零点的个数；

（3）并非所有的二次函数都有零点.当△=F-McMO时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.

知识点分式不等式的解法

分式不等式的概念

分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.

利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式：

①U＞0；②凹$0；③竺＜0;④ZW≤0.

g（x）g（x）g（x）g（x）

分式不等式的解法

解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式.

各标准形式的分式不等式的解法为：

（1）

心l＞o与不等式组＜g（χ）

f∕ω>oIJ.g（χ）>°"

鳥X同解,与不等式加曲）＞。

同

解;

⑵糾与不等式组｛爲（T°同解;

（3）△卫Vo与不等式组卩E>°或卩E同解,与不等式/（x）.^（λ）<0同

g（x）Ig（X）0

解；

⑷竺Wo与不等式组卩dW°.

g（x）Ig（X）Ho

由以上解法可以看出:

将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式

不尊式进行求解.

知识点高次不等式的解法

解痊次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下：

（1）把高次不等式化为左边是儿个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最

高次项的系数必须为正；

（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根；

（3）标根：

把各个实数根在数轴上标出；

（4）画穿根线：

从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后乂穿过“次右根”上

去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过假不过；

（5）写出解集：

若不等号为“>”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为

“V”,则取数轴下方穿根线以内的范围.

四、例题讲解

例1.解不等式-√÷5x-4>0.

分析先把不等式的二次项系数化为正数，再进行求解.注意不等式的解集要写

成区间或集合的形式.

解：

原不等式可化:

x2-5λ÷4<0.

对于方程宀5x+4=O,-=（-5）'-4x1x4=9>0

・・・该方程有两个不相等的实数根,解之得:

x1=l,x2=4.

・•・不等式-x2+5x-4>0的解集为{x∣l

点评在求解一元二次不等式时.先观察二次项系数是否为正，若为负.则先把不等式的二

次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）•

-ex2+2x-α>0的解集.

分析先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系，利用根与系数的

关系定理■求岀GC的值.

注意一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根.

解：

山题意可知：

"<0.

•・•关于X的不等式E+2x+c>0的解集为{-K}

Xl=--,x7=丄是方程处‘+2x+c=0的两个实数根

3‘2

山根与系数的关系定理可得：

—ex'+2.x—ci>0【!

卩—2λ'^+2λ^+12>0

・•・x2-x-6<0,W±Wι-2

/.不等式一CV'+2x-a>0的解集为{λ,∣-2

例3.—元二次不等式（x+2X5-x）>0的解集为【】

5}（B）{x∣x<-5sHx>2}

（C）{x∖-2

分析本题可用数轴标根法求解.使用该方法时，要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.

解：

原不等式可化为心+2X-5）vO.

*.*方程（x+2χ.r-5）=0的根为Λ1=-2,x2=5.

・•・不等式（x÷2Xx-5）<0的解集为{x∣-2

・•・选择答案【C】.

例4.已知不等式卍+俶+4VO的解集为空集,则实数"的取值范圉是【】

（C）{a∖a<-4s!

ia≥4}（D）{a∖a<-4Paa>4}

分析本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系，同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.

不等式x2+αv+4VO的解集为空集，即相应的二次函数y=x2+6∕Λ+4的图象

位于X轴上及其上方，或者不等式F+αr+4M0在R上恒成立.

解：

Y不等式x2+^+4<0的解集为空集

・•・Δ=α2-16≤0,解之得:

一4≤a≤4.

・•・实数α的取值范围是⅛∣-4≤4≤4}.

・・・选择答案【A】.

例5.若关于X的不等式（∕nr-iXx-2）>O的解集为L•丄Vxv2）,则实数加的取mJ

值范围是【】

（A）{∕∕∕∣∕π>0}（B）{∕π∣0

（D）{m∖m<0}

（C）mm>—\

2J

分析本题由题意可知：

〃7Vθ.

解:

•：

（∕nv-iXx-2）>O

HlX2一（2m+∖）x+2>0.

•••其解集为L丄VX<2

In

/.In

：

•实数加的取值范围是{fn∖m>0}.

・・・选择答案【D】.

例6.已知函数y=后+加+18的定义域为[-3,6],则实数"的值为

实数方的值为・

解：

•・・函数y=‰2+^+18的定义域为[-3,6]

・°・一元二次不等式αx'+bx+∖SMO的解集为[-3,6]■山根与系数的关系定理可得：

•••实数α的值为-1,实数方的值为3.

例7.已知函数y=F-X+/.

（1）当m=-2时,求不等式y>0的解集;

14

（2）若〃2>0」V0的解集为{x∖aVXVZ?

},,求一+-的最小值.

解：

（1）m=-2时,y=X2-X-2・

Ty>0,ΛX2一X-2=（x+1X*-2）>0解之得:

x<-l或x>2.

・・・不等式y>0的解集为｛x∖x<-1或X>2｝；

（2）*.*y=x2-x+m<0的解集为｛x∖x<-1或Y>2｝

Λa+b=Iyab=Irl,且△=1—4W>0,解之得:

m<—.

TIn>0,∙'∙a>0,Z?

>0,0Vm<

4

当且仅当竺=-,即4=-,b=-时,等号成立.此时m=-×-=-

ha333394

-的最小值为9.

Ub

例8.解关于X的不等式ax'-X>0（d≠=0）.

分析本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,

要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.

解：

Tax2-x>O,Λx（λλ-1）>O

∙∙∙αH0,∙∙∙分为两种情况:

1

当α>0时,原不等式的解集为3X>—或XV0};a

综上所述,当当G>0时,原不等式的解集为{λ∙X>丄或XVo],当GVo时,原不等式的解集为L丄VXVOj

CI

另解：

解方程ClXZ-x=0（α≠=0）得:

Λ]=l,κ=丄.

a

分为两种情况：

1

1当a>0时,原不等式的解集为hx>-δJtv<θk

Ci

、

2当αV0时原不等式的解集为x<0>.

1

综上所述,当当a>0时,原不等式的解集为心>丄或rvθ,当GV0时原不等式CI

的解集为*-V—

a.

性质可知,原不等式同解于不等式λ（x-11>0;当OVO时,原不等式同解于不等a）

<0.

例9.若对于∀x>0,—W“恒成立,则实数“的取值范围是

X*+3x+1

（D）

解：

•••一WG恒成立jr+3x+1

・・・只需4刽一；即可.

IX+3λ∙+U∏ux

X

山根与系数的关系定理可得:

-=I+/?

-=∖×b

解之得:

•••"的值为1"的值为2;

（2）Vαv2-3x+2>5-αr（«∈R）

∙*∙CIX^+（d—3）X—3>O.

当U=O时,原不等式为一3x+2>5,解之得:

λ<-1.

・•・原不等式的解集为{ψ<-l};

当a≠Q时,原不等式可化为6t（x+l）X--I>0・

∖aJ

fQ

1若α>0,则原不等式的解集为xx>-⅛<-lr;

a

②若-3VGv0时,原不等式同解于（x+l

3

•••原不等式的解集为χ-

3若3,原不等式为3（x+I）2<0,其解集为0；

331

4若GV_3,则二>-1,则原不等式的解集为A-KX<-.

aa.

综上所述,当«=0时，原不等式的解集为{Λ∙∣x<-1};

当G>0时原不等式的解集为（λx>-⅛Sλ<-11;

aJ

当-3VGV0时,原不等式的解集为μ-<Λ∙<-lk.a,

当6/=-3时,原不等式的解集为0;

当GV-3时,原不等式的解集为P-KX<∣j.

3

例仆.已知关于X的不等式2kx2+kx--<0.

8

（1）若不等式的解集为L--

2

（2）若不等式2^v2+^-∣<0恒成立,求实数£的取值范圉.解：

（1）⅛题意可知:

k>O.

一元二次方程2Rλ∙'+hτ-二=0的根是X=--,x,=1.

82

由根与系数的关系定理：

严I小解之得法

•••实数£的值为1；

8

3

（2）当£=0时,-二V0恒成立,符合题意;

8

当"0时,由题意可知:

[2k<0

综上所述,实数&的取值范圉为糾-3VM0}・

例12.若∀l≤x≤4,不等式x2-（a+2）x+4^-a-∖恒成立,求实数“的取值范

分析本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题，要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.

解：

∙∙*-（α+2）x+4N-α-l•：

a（x-1）≤X2-2x+5・

Vl≤x≤4

・•・当X=I时,显然心001-2+5=4成立,・・・6∕∈R;

当1vjvW4时,x-l>0

.・，W—3+5恒成立,只需“wvf+'即可.

X-IIX-I丿nιm

∙∙*-2x+5（X-I）2+4I4Ξ4~A

:

=——=x-l+——22AcV-I）-——=4・

x-1x-lx-lVx-1

当且仅当X-1=—,B∣Jχ=3时,等号成立.此时x=3∈[1,4],符合题意.

x-1

/.Ci≤4.

综上所述,实数“的取值范围是（-8,4].

例13.已知不等式mx^-mx-I<0.

（1）当λ∈R时不等式恒成立,求实数加的取值范围；

（2）当λ∈｛λ∣1≤x≤3｝时不等式恒成立,求实数川的取值范围.解：

（I）当W=O时,-IvO恒成立,符合题意；

当InHO时,则有\",,解之得：

一4

Δ=ιn~+4∕n<0

综上,实数加的取值范圉是（-4,0];

（2）当In=O时,显然XeMl≤x≤3｝时,-l<0恒成立,符合题意;当m≠O时，UIX（X-l）

若X=I,显然OVl恒成立,此时〃?

∈R;

若1O

J门恒成立,只需m<

X（Xj）

即可.

1_1

X（X-1）x12-x

P

X-—

2>

方程m√+（m2-I）X-In的两个实数根分别为召=—,x2=-m.IrI

当In>0时,原不等式的解集为

/};

InJ

当〃2V0时原不等式同解于X-

1λi

—[χ-（-∕∏）]≤0,H—<-Hl.

InJ

In

1

•：

原不等式的解集为“一≤In≤-nι.

In

综上所述,当m=O时,原不等式的解集为{λ∙∣λ∙≤0};当m>0时,原不等式的解集为'XXn丄或T≤-nι∖;

InJ

1

当〃2V0时,原不等式的解集为{x—≤m≤-nι>.

In

例15.已知关于X的不等式kx2-2kx>X-2.

（1）当k=2时,解不等式；

（2）当ZreR时,解不等式.

解：

（I）当k=2时,2F-4x>x-2

/.2x2-5x+2>0

A（2x-l）（x-2）>0.

解之得:

X>2或Λ∙V丄.

2

・・・原不等式的解集为{xx>2或XV£};

（2）原不等式可化为kx2-（2k+∖）x+2>0.

当&=0时,_工+2>0,解之得:

x<2.

・・・原不等式的解集为{ψ<2};

当k≠0时,原不等式可化为（X-2∖kx-1）>0

/.心一2（XT>0.

方程kx2—2kx>X—2的根为£=2,x1=丄.^k

当kVO时原不等式同解于（x-2）JX-Ij<0,且WV2.

・•・原不等式的解集为hi

'"lk>0时,原不等式同解于（x-2）^>0.

2若鸟=丄,则；=2,・・・原不等式的解集为{x∖x≠2};

2K

③若OVY,则»2,・・•原不等式的解集为{

VX>丄或T<2k

综上所述,当k=0时,原不等式的解集为Mx<2};当kV0时,原不等式的解集为{*VX<2};

当T时,原不等式的解集为{x∣x≠2};

当5时,原不等式的解集为*例16.已知关于X的不等式kx2-2x+6k<0.

（1）若不等式的解集为{屮V-3或X>-2},求实数k的取值；

（2）若不等式的解集为R,求实数k的取值范圉.

解：

（1）Etl题意可知:

k<0.

—元二次方程kx2-2x+6k=0的两个实数根分别为召=-3,X2=-2.山根与系数的关系定理可得：

-≠=-3-2>之得:

k=--.

K5

・・・实数£的值为-？

；

（2）当k=0时,原不等式的解集为{x∣x>0},不符合题意；

当“0时,则有:

F<02,解之得:

•

∣∆=4-24^2<06

综上所述,实数R的取值范围是

6

例*17.已知αv'+2ax+1$0恒成立,解关于X的不等式x2-x-a^+a<0.

解：

Tax2+2t∕Λ+l$0恒成立

・・・当U=O时,1$0恒成立,符合题意；

当a≠0时,则有:

f/>07懈之得ιθ<6∕≤l.

Δ=4rt^-4t∕≤0

综上,实数"的取值范围是[0,1].

对于不等式x^-x-a2+a<0

当0≤r∕≤l时原不等式可化为（X-a∖x+“-I）Vo

/.（x-6∕）[x-（l-«）]<0,方程X：

-x-a2+a=0的根为兀=a,x,=∖-a.

1若«≤1,则G>1-a,・°・原不等式的解集为{x∖∖-a

2若O=丄,则G=I-“,・・・原不等式的解集为0;

2

3若OVdV丄,贝IJdVl-α,・°・原不等式的解集为{λ∙pVXVl-G}.

综上所述,对于不等式X2-X-«2+0<0：

当^-<«≤1时,不等式的解集为{x∣l-a

当a=-时,不等式的解集为0;

2

'"∣0≤UVH时,不等式的解集为{x∣G

例佃.不等式（—/?

）（.—'UO的解集为{x∖-∖≤x<25Hx≥3}Mb+c=[】U_X

（A）-5（B）-2（C）1（D）3

解：

原不等式可化为（WXg）R同解于Fn*+识0.

X-alx-αHθ

方程（Wxw）=O的解为XI=-b^=-C•

X-a

•・・该不等式的解集为閔-l≤x<2⅛≥3}

•∙b+C=—2・

•••选择答案【B】・

例19.已知函数y=丄一Sb为常数），且方程y-x+l2=O的两个根为ax+b

（1）求“上的值；

（2）设k>∖,解关于X的不等式y<（/<—}—k

2—X

解：

（I）由题意可得：

的值为-1"的值为2;

（2）由

（1）可知:

y=-一

2-x

（k+l）x-k

I-X

.X1（k+∖）x-k

•■V

I-X2-x

.牙2_（&+]）A・+&_（X_]）（Y_灯<02—X2—X

原不等式同解于（X-I）（X-2Xx-R）>0.

∙:

k>∖

・•・当1V£<2时原不等式的解集为{λ∙∣12}；

当k=2时,（X-I）（X-2）2>0,原不等式的解集为MX>l⅛x≠2};

当k>2时,原不等式的解集为{λ∣1k}.

综上所述,当∖2};当£==2时,原不等