高中数学选择性必修第一册章末复习课.docx

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高中数学选择性必修第一册章末复习课

章末复习课

[网络构建]

[核心归纳]

1.三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质

椭圆

双曲线

抛物线

定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹

平面内与一个定点F和一条定直线l（F∉l）的距离相等的点的轨迹

标准方程

（以焦点在x轴上为例）

＋

＝1（a＞b＞0）

（以焦点在x轴上为例）

－

＝1（a＞0，b＞0）

（以焦点在x轴正半轴上为例）y2＝2px（p＞0）

关系式

a2－b2＝c2

a2＋b2＝c2

图形

封闭图形

无限延展，有渐近线

无限延展，没有渐近线

对称性

对称中心为原点

无对称中心

两条对称轴

一条对称轴

顶点

四个

两个

一个

离心率

0＜e＜1

e＞1

e＝1

准线方程

x＝－

决定形状的因素

e决定扁平程度

e决定开口大小

2p决定开口大小

2.求圆锥曲线的标准方程

（1）椭圆、双曲线的标准方程

求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数.当焦点位置不确定时，要分情况讨论.也可将椭圆方程设为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B），其中当

＞

时，焦点在x轴上，当

＜

时，焦点在y轴上；双曲线方程可设为Ax2＋By2＝1（AB＜0），当

＜0时，焦点在y轴上，当

＜0时，焦点在x轴上.

另外，与已知双曲线

－

＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可设为

－

＝λ（λ≠0）；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ（λ≠0）.

（2）抛物线的标准方程

求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小.当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2mx（m≠0）或x2＝2my（m≠0），然后建立方程求出参数m的值.

3.直线与圆锥曲线有关的问题

（1）直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中的变量y（或x）得到关于变量x（或y）的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线无交点.

（2）直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝

＝

（k≠0），其中k是直线l的斜率，（x1，y1），（x2，y2）是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2，（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2，x1＋x2，x1x2，y1＋y2，y1y2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出.

要点一　数形结合思想

“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.

【例1】　双曲线

－

＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

A.（1，3）B.（1，3]

C.（3，＋∞）D.[3，＋∞）

解析　如图所示，

由|PF1|＝2|PF2|知P在双曲线的右支上，

则|PF1|－|PF2|＝2a，

又|PF1|＝2|PF2|，

∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.

在△F1PF2中，由余弦定理得

cos∠F1PF2＝

＝

＝

－

＝

－

，

∵0<∠F1PF2≤π，

且当点P是双曲线的右顶点时，∠F1PF2＝π，

∴－1≤cos∠F1PF2<1，

∴－1≤

－

<1，且e>1，解得1

答案　B

【训练1】　抛物线y2＝2px（p>0）上有A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点，F是它的焦点，若2|BF|＝|AF|＋|CF|，则（　　）

A.2x2＝x1＋x3B.2y2＝y1＋y3

C.2x3＝x1＋x2D.2y3＝y1＋y2

解析　如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义知：

|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.

∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，

∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.

又∵|AA′|＝x1＋

，

|BB′|＝x2＋

，

|CC′|＝x3＋

，

∴2

＝x1＋

＋x3＋

，∴2x2＝x1＋x3，

故选A.

答案　A

要点二　分类讨论思想

分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.

【例2】　如果双曲线的两条渐近线的方程为y＝±

x，求此双曲线的离心率.

解　当双曲线的焦点在x轴上时，

由已知可得

＝

，

∵c2＝a2＋b2，∴e2＝

＝

＝1＋

＝

，

∴双曲线的离心率e＝

；

同理，当焦点在y轴上时，可求得离心率e＝

.

故双曲线的离心率为

或

.

【训练2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程.

（1）椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P（2，－6）；

（2）椭圆过点P（2，0），且e＝

.

解　

（1）设椭圆的标准方程为

＋

＝1或

＋

＝1（a>b>0）.

由已知得a＝2b.①

∵椭圆过点P（2，－6），∴

＋

＝1或

＋

＝1.②

由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.

故所求椭圆的标准方程为

＋

＝1或

＋

＝1.

（2）当焦点在x轴上时，∵椭圆过点P（2，0），∴a＝2.

又

＝

，∴c＝

.

∴b2＝a2－c2＝2.

此时椭圆的标准方程为

＋

＝1.

当焦点在y轴上时，∵椭圆过点P（2，0），∴b＝2.

又

＝

，∴

＝

，∴a2＝8.

此时椭圆的标准方程为

＋

＝1.

故所求椭圆的标准方程为

＋

＝1或

＋

＝1.

要点三　函数与方程思想

圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口.最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.

方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.

【例3】　已知椭圆mx2＋ny2＝1（m>0，n>0且m≠n）与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2

，OC的斜率为

，求椭圆的方程.

解　法一　设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程并作差，得m（x1＋x2）（x1－x2）＋n（y1＋y2）（y1－y2）＝0.①

∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，

∴

＝－1.

由已知得

＝kOC＝

，代入①式可得n＝

m.

直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.

又|AB|＝

|x2－x1|＝

|x2－x1|＝2

，

∴|x2－x1|＝2.

联立mx2＋ny2＝1与x＋y－1＝0可得（m＋n）x2－2nx＋n－1＝0，

且由已知得x1，x2是方程（m＋n）x2－2nx＋n－1＝0的两根，∴x1＋x2＝

，x1x2＝

，

∴4＝（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2

＝

－4·

.②

将n＝

m代入②式，解得m＝

，∴n＝

.

∴所求椭圆的方程是

＋

y2＝1.

法二　由

得（m＋n）x2－2nx＋n－1＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝

，x1x2＝

，

且直线AB的斜率k＝－1，

∴|AB|＝

＝

＝

·

.

∵|AB|＝2

，∴

＝2

，

∴

＝1.①

设C（x，y），则x＝

＝

，y＝1－x＝

.

∵OC的斜率为

，

∴

＝

，将其代入①式得，m＝

，n＝

.

∴所求椭圆的方程为

＋

y2＝1.

【训练3】　若双曲线

－

＝1（a>0）的离心率为

，则a＝________.

解析　由离心率公式，有

＝

（a>0），得a＝3.故填3.

答案　3

要点四　化归与转化思想

将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归与转化思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把求参数的取值范围问题转化为解不等式（组）问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性.

【例4】　已知点A（4，－2），F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为（　　）

A.（0，0）B.（1，－2

）

C.（2，－4）D.

解析　过点M作准线l的垂线，垂足为E，则由抛物线定义知|MF|＝|ME|.当点M在抛物线上移动时，|MF|＋|MA|的值在变化，显然M移到M′，使AM′∥Ox即A，M，E共线时，

|ME|＋|MA|最小，把y＝－2代入y2＝8x，得x＝

，

∴M

.

答案　D

【训练4】　如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：

y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.

（1）设AB中点为M，证明：

PM垂直于y轴；

（2）若P是半椭圆x2＋

＝1（x<0）上的动点，求△PAB面积的取值范围.

（1）证明　设P（x0，y0），A

，B

.

因为PA，PB的中点在抛物线上，

所以y1，y2为方程

＝4×

，

即y2－2y0y＋8x0－y

＝0的两个不同的实根.

所以y1＋y2＝2y0，

所以AB的中点M的纵坐标为y0，

因此PM垂直于y轴.

（2）解　由

（1）可知

所以|PM|＝

（y

＋y

）－x0＝

[（y1＋y2）2－2y1y2]－

x0＝

y

－3x0，

|y1－y2|＝

＝2

.

因此，△PAB的面积S△PAB＝

|PM|·|y1－y2|

＝

（y

－4x0）

.

因为x

＋

＝1，

又－1≤x0<0，所以y

－4x0

＝－4x

－4x0＋4∈[4，5]，

因此，△PAB面积的取值范围是

.