解直角三角形总结教案.docx
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解直角三角形总结教案
解直角三角形总结
解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。
1、明确解直角三角形的依据和思路
在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。
因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是
（1）边角之间的关系：
sinA＝cosB＝
，cosA＝sinB＝
，tanA＝cotB＝
，cotA＝tanB＝
。
（2）两锐角之间的关系：
A＋B＝90°。
（3）三条边之间的关系：
。
以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
2、解直角三角形的基本类型和方法
我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？
如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？
事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。
由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。
所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。
这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
四种基本类型和解法列表如下：
已知条件
解法
一边及
一锐角
直角边a及锐角A
B＝90°-A，b＝a·tanA，c=
斜边c及锐角A
B＝90°-A，a＝c·sinA，b＝c·cosA
两边
两条直角边a和b
，B＝90°-A，
直角边a和斜边c
sinA=
，B＝90°-A，
例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求AB的长。
分析一：
所求AB是Rt△ABC的斜边，但在Rt△ABC中只知一个锐角A＝α，暂不可解。
而在Rt△ADE中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt△ADE入手。
解法一：
在Rt△ADE中，∵cosA=
，且∠A＝α，AE＝1，∴AD=
=
，
在Rt△ADC中，∵cosA=
∴AC=
=
=
，
在Rt△ABC中，∵cosA=
∴AC=
=
=
.
分析二；观察图形可知，CD、CE分别是Rt△ABC和Rt△ACD斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。
解法二：
同解法一得，∴AD=
，
在Rt△ACD中，∵AD2=AE.AC∴AC=
=
，
在Rt△ABC中，∵AC2=AD.AB∴AB=
=
。
说明：
本题是由几个直角三角形组合而成的图形。
这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。
值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。
在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形（图3），它是含有两个直角三角形的图形。
随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现许多不同的解直角三角形的问题，下面举例加以说明。
例2、如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线。
（1）若BD＝
，∠B＝30°，求AD的长；
（2）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求证：
tanβ＝2tanα。
（1）分析：
由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在Rt△ADC中求解AD。
而在Rt△ABC中，由已知BC边和∠B可以先求出AC，从而使Rt△ADC可解。
解：
在Rt△ABC中，∵BC＝2BD＝2
，∠B＝30°，
∴AC＝BC·tanB＝2
=
，
在Rt△ADC中，∵DC＝BD＝
，
∴AD=
=
。
（2）分析：
α和β分别为Rt△ABC和Rt△ADC中的锐角，且都以直角边AC为对边，抓住图形的这个特征，根据直角三角形中锐角三角比可以证明tanβ＝2tanα。
证明：
在Rt△ABC中，∵tan∠ABC=
∠ABC=α,∴AC=BC.tanα,
在Rt△ADC中，∵tan∠ADC=
∠ADC=β,∴AC=DC.tanβ,又∵BC＝2DC,∴tanβ＝2tanα。
例3、如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线。
（1）若AB∶BD＝
，求∠B；
（2）又若BD＝4，求
。
分析：
已知AD是∠BAC的平分线，又知两条线段的比AB∶BD＝
应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到Rt△ADC中，先求出∠DAC即可求得∠B。
解：
（1）∵AD是∠BAC的平分线，∴
=
即
=
=
即
在Rt△ADC中，∵cot∠DAC=
=
∴∠DAC＝30°,
∴∠BAC＝2∠DAC＝60°,∴∠B＝90°-∠BAC＝30°.
（2）∵
=
BD＝4，∴AB＝
BD＝4
，∵∠B＝30°，∴AC＝
AB＝2
，又∵BC＝AB·cosB＝6，∴
＝
BC·AC＝
×6×2
＝6
。
说明：
解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，找到解决问题的突破口。
例4、如图3，在Rt△ABC中、∠C＝90°，D为BC上一点，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°，BD＝1，求AB。
分析：
已知的角度告诉我们，Rt△ABC和Rt△ADC都是特殊的直角三角形，抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解。
解：
在Rt△ADC中，设DC＝x，∵∠ADC＝60°，∴AD＝2x，AC＝
x，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝45°，BD＝1，∴1＋x＝
x，∴x＝
，
∴AB＝
AC＝
x＝
。
说明：
解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方程。
还要熟练地掌握特殊锐角的三角比值，以使解答过程的表述简洁。
例5、如图4，在△ABC中、D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC。
分析：
由数形结合易知，△ABC是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC为所求，已知的另外两边都在△BDC中，且BD＝DC＝1，即△BDC是等腰三角形。
因此，可以过D作DE⊥BC，拓开思路。
由于DE，AF同垂直于BC，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC。
解：
在△ABC中，设AC为x，∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根据射影定理,得：
，即BC＝
。
再由射影定理,得：
，
。
在△BDC中，过D作DE⊥BC于E，∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC，又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，
。
在Rt△DEC中，∵DE2+EC2=DC2，即
，
整理得x6=4,∴x=
∴AC=
。
说明：
本题体现了基本图形基本性质的综合应用。
还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法。
3、解直角三角形在实际问题中的应用
借助解直角三角形解决实际问题，包括度量工件、测量距离、工程技术等许多方面。
解决问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决。
例6、某型号飞机的机翼形状如图5，根据图示尺寸计算AC、BD和AB的长度（保留三个有效数字）。
分析；飞机机翼形状为四边形ABDC，要求其中三条边的长度，一方面应使所求线段成为直角三角形的元素，另一方面，要设法将已知条件与未知量集中在某个三角形中以求解，这就需要恰当地构造直角三角形。
解：
过C作CE⊥BA，交BA的延长线于E。
在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，CE＝5，∴AC＝
CE≈1.414×5＝7.07。
过D作DF⊥BA，交BA的延长线于F，且与AC交于G，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝30°，DF＝5，∴BD＝
=
=5.77,∴BF=
=2.885
∴AB＝BF-AF＝BF-FG＝BF-（DF-DG）＝BF-（DF-CD）＝2.885-（5-3.4）≈1.29（米）。
说明：
解决实际问题时，计算常有精确度的要求，应注意近似计算的法则和规范表述。
例7、某勘测队在山脚测得山顶的仰角为38°，沿倾斜角为25°的山坡前进800米后，又测得山顶的仰角为62°，求山的高度（精确到0.1米）。
（cos13°=0.9744,
sin13°=0.2250,cot24°=2.246,sin38°=0.6157）
分析：
先根据题意画出示意图（如图6），BC为山高，AD为山坡，∠DAC＝25°，因为仰角为视线与水平线的夹角，所以∠BAC＝38°，AD＝800米，∠BDE＝62°，要直接在Rt△ABC中求BC不够条件，必须设法先求出AB，这就需要根据已知条件，构造直角三角形。
解：
过D作DF⊥AB于F，在Rt△ADF中，∠DAF＝38°-25°＝13°，
∴AF＝AD·cos∠DAF＝800×0.9744＝779.5，
DF＝AD·sin∠DAF＝800×0.2250＝180.0。
在Rt△BDF中，∵∠DBF＝62°-38°＝24°，
∴BF＝DF·cot∠DBF＝180.0×2.246＝404.3，
∴AB＝AF＋BF＝779.5＋404.3＝1183.8，
在Rt△ABC中，BC＝AB·sin∠BAC＝1183.8×0.6157＝728.8（米）。
答：
山高为728.8米。
说明：
在学过解斜三角形以后，解答本题会有更简捷的方法。
说明：
应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形。
例8、如图7所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得塔顶B的仰角为30°，60°。
已知测角仪器高为1.5米，CD＝20米，求铁塔的高。
（精确到0.1米）。
解：
设BG＝x，在Rt△BGF中，∵cot∠BFG＝
，
∴FG＝BG·cot∠BFG＝x·cot60°＝
x，
在Rt△BGE中，EG＝BG·cot∠BEG＝
x。
∵EG-FG＝EF，且EF＝CD＝20，∴
x-
x＝20，解得x＝10
，
∴AB＝BG＋AG＝10
＋1.5≈18.8（米）
答：
铁塔的高约为18.8米。
说明：
测量底部不可以达到的物体的高度的解题方法通常是根据两个直角三角形的边长关系列出含有被测物体高度的方程，本题通过EG-FG＝EF，再由直角三角形边角关系式EG＝x·cot30°，FG＝x·cot60°列出方程的，但要注意求得的x不是塔高，塔高应是（x＋1.5）米。
测量底部可以达到的物体的高度，通常采用如下模型和公式：
如图8，已知CE＝a，CD＝b，∠ACE＝α，则AB＝AE＋b＝a·tanα＋b。
由于时间关系，本文难免有些瑕疵，若有不足，敬请指出。
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