符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为 0＜x≤100.
不等式恒成立问题
[探究问题]
1．若函数 y＝ax2＋2x＋2 对一切 x∈R，f（x）>0 恒成立，如何求实数 a 的取
值范围？
提示：
若 a＝0，显然 y>0 不能对一切 x∈R 都成立．所以 a≠0，此时只有
二次函数 y＝ax2＋2x＋2 的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点且抛物线开口向上
6
⎧⎪a＞0，
2
2．若函数 y＝x2－ax－3 对－3≤x≤－1 上恒有 x2－ax－3<0 成立，如何求 a
的范围？
提示：
要使 x2－ax－3<0 在－3≤x≤－1 上恒成立，则必使函数 y＝x2－ax
－3 在－3≤x≤－1 上的图象在 x 轴的下方，由 y 的图象可知，此时 a 应满足
⎧⎪
⎪（－3）2＋3a－3＜0，⎧3a＋6<0，
⎨即⎨
⎪⎩
⎩（－1）2＋a－3＜0，⎪a－2<0，
解得 a<－2.
故当 a＜－2 时，有 f（x）<0 在－3≤x≤－1 上恒成立．
3．若函数 y＝x2＋2（a－2）x＋4 对任意－3≤a≤1 时，y<0 恒成立，如何求 x
的取值范围？
提示：
由于本题中已知 a 的取值范围求 x，所以我们可以把函数 f（x）转化为
关于自变量是 a 的函数，求参数 x 的取值问题，则令 y＝2x· a＋x2－4x＋4.
要使对任意－3≤a≤1，y<0 恒成立，只需满足
⎧⎪2x＋x2－4x＋4＜0
⎨
⎪⎩（－3）×2x＋x2－4x＋4＜0，
⎧⎪x2－2x＋4<0，
即⎨
⎪⎩x2－10x＋4<0.
因为 x2－2x＋4<0 的解集是空集，
所以不存在实数 x，使函数 y＝x2＋2（a－2）x＋4 对任意－3≤a≤1，y<0 恒成
立．
【例 3】已知 y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0 恒成立，
7
求 a 的取值范围．
[思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问
题，可以利用函数的图象与性质求解．
[解]设函数 y＝x2＋ax＋3－a 在－2≤x≤2 时的最小值为关于 a 的一次函
数，设为 g（a），则
a
3
aa2
（2）当－2≤－2≤2，即－4≤a≤4 时，g（a）＝3－a－ 4 ≥0，解得－6≤a≤2，
此时－4≤a≤2.
a
时－7≤a<－4.
综上，a 的取值范围为－7≤a≤2.
1．（变结论）本例条件不变，若 y＝x2＋ax＋3－a≥2 恒成立，求 a 的取值范
围．
[解]若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥2 恒成立可转化为：
当－2≤x≤2 时，y
⎧－a<－2，
⎨2
⎩ymin＝（－2）2－2a＋3－a＝7－3a≥2，
⎧⎪－2≤－a≤2，
或⎨
⎪⎩ymin＝⎛－a⎫2＋a· ⎛－a⎫＋3－a＝3－a－a2≥2，
8
⎧－a>2，
或⎨2
⎩ymin＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥2，
解得 a 的取值范围为－5≤x≤－2＋2 2.
2．（变条件）将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0 恒成立”
变为“不等式 x2＋2x＋a2－3>0 的解集为 R”，求 a 的取值范围．
[解]法一：
∵不等式 x2＋2x＋a2－3>0 的解集为 R，
∴函数 y＝x2＋2x＋a2－3 的图象应在 x 轴上方，
∴Δ＝4－4（a2－3）<0，
解得 a>2 或 a<－2.
法二：
令 y＝x2＋2x＋a2－3，要使 x2＋2x＋a2－3>0 的解集为 R，则 a 满足
ymin＝a2－4>0，解得 a>2 或 a<－2.
法三：
由 x2＋2x＋a2－3>0，得 a2>－x2－2x＋3，
即 a2>－（x＋1）2＋4，要使该不等式在 R 上恒成立，必须使 a2 大于－（x＋1）2
＋4 的最大值，即 a2>4，故 a>2 或 a<－2.
1．不等式 ax2＋bx＋c>0 的解是全体实数（或恒成立）的条件是：
当 a＝0 时，
b＝0，c>0；
⎧a>0，
当 a≠0 时，⎨
⎩Δ<0.
2．不等式 ax2＋bx＋c<0 的解是全体实数（或恒成立）的条件是：
当 a＝0 时，
b＝0，c<0；
⎧a<0，
当 a≠0 时，⎨
⎩Δ<0.
3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范
围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
9
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二
次不等式（组）求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参
数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参
数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：
（1）若 f（x）有最大值 f（x）max，则 a>f（x）恒成立⇔a>f（x）max；
（2）若 f（x）有最小值
f（x）min，则 a3．在某集合 A 中恒成立问题
设 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
若 ax2＋bx＋c＞0 在集合 A 中恒成立，则集合 A 是不等式 ax2＋bx＋c＞0 的
解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值（范围）.
1．思考辨析
1
x
（2）求解 m>ax2＋bx＋c（a＜0）恒成立时，可转化为求解 y＝ax2＋bx＋c 的最小
值，从而求出 m 的范围．（）
1
[提示]
（1）x>1⇒xx <0⇒{x|0（1）错．
（2）m>ax2＋bx＋c（a＜0）恒成立转化为 m>ymax，故
（2）错．
[答案]
（1）×
（2）×
（x＋1）（x＋2）2（x＋3）
x＋4
{x|－4－1}[原式可转化为（x＋1）（x＋2）2（x＋3）（x＋4）>0，
根据数轴穿根法，解集为－4－1.]
3．对于任意实数 x，不等式（a－2）x2－2（a－2）x－4＜0 恒成立，则实数 a 的
取值范围是________．
10
－2＜a≤2[当 a－2＝0，即 a＝2 时，－4＜0 恒成立；
当 a－2≠0，即 a≠2 时，则有
⎧⎪a－2＜0，
⎨
⎪⎩Δ＝[－2（a－2）]2－4×（a－2）×（－4）＜0，
解得－2＜a＜2.综上，实数 a 的取值范围是－2＜a≤2.]
4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖
出 30 盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏．为了使这批台灯每天能获
得 400 元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
[解]设每盏台灯售价 x 元，则 x≥15，并且日销售收入为 x[30－2（x－15）]，
由题意知，当 x≥15 时，有 x[30－2（x－15）]>400，解得：
15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得 400 元以上的销售收入，应当制定这批台灯的
销售价格为 15≤x＜20.
11
升级会员 