完整二次函数拔高综合题全集学生版本docx.docx
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1、二次函数和等腰三角形：
（2008重庆）已知：
如图，抛物线
y
ax2
2ax
c（a
0）与
y轴交于点
C（0，4），与
x轴
交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。
当△CQE
的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标
为（2，0）。
问：
是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？
若存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由。
Y
C
BOQDAX
28题图
2.二次函数和矩形、等腰三角形：
如图19-1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，
O为原点，点
A在x轴的正
半轴上，点
C在
y轴的正半轴上，
OA
5，OC
4．
（1）在
OC边上取一点
D，将纸片沿
AD翻折，使点
O落在
BC边上的点
E处，求
D，E两点的坐标；
（2）如图19-2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0t5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？
最大值是多少？
（3）在
（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．
y
y
C
E
C
E
B
B
N
D
D
P
O
x
O
M
x
A
A
图5-1
图5-2
3、二次函数和梯形：
（2009临沂）如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点
P，使得△PDC是等
腰三角形？
若存在，求出符合条件的点
P的坐标;若不存在，请说明理由
;
⑶若点M是抛物线上一点，以
B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点
M
的坐标。
y
D
C
M
P
AO
Bx
第26题图
4、动态、二次函数、相似
（2009年济
南
）如图，在梯
形
ABCD
中，
AD∥BC，AD
3，DC
5，AB
42，∠B
45．动点
M
从B点出发沿线段
BC以
每秒
2个单位长度的速度向终点
C运动；动点
N同时从
C点出发沿线段
CD以每秒
1个单
位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
（1）求BC的长．
（2）当MN∥AB时，求t的值．
（3）试探究：
t为何值时，△MNC为等腰三角形．
D
N
B
M
C
5、二次函数和平行四边形：
如图，在平面直角坐标系
xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为（
2，0）、（1，3
3）.
将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线
yax2
2
3x经
过点A，点D是该抛物线的顶点.
（1）求证：
四边形ABCO是平行四边形；
（2）求a的值并说明点B在抛物线上；
（3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，B
求点P的坐标；
（4）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作
平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴
上，写出点P的坐标.
6、二次函数中的线段长最短问题：
如图，抛物线
y
x2
2x
3与
x轴相交于
A、
B两点（点
A在点
B的左侧），与
y
轴
相交于点C，顶点为D.
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段
BC
上的一个动点，过点
P
作
PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形
PEDF
为平行四
边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系
式.
补充：
四边形PEDF可能是等腰形吗？
如果可能求m
的值；如果不可能，请说明理由？
1.如图，已知抛物线yx21与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标;
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G
三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物
线yx2bxc经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在
（2）的条件下：
①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物
线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?
若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
3.如图,已知二次函数
yx
2
bxc
的图象与
x
轴交于
、
两点，与
y
轴交于点
，顶点
AB
P
为C（1，－2）.
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直
线
将四边形
分成面积相等的两个四边形，求点
E
的坐标；
PE
ABCD
（3）在
（2）的条件下，抛物线上是否存在一点
F，使得△PEF是以P为直角顶点的直
角三角形？
若存在，求出点
F
的坐标及△
的面积；若不存在，请说
明理由.
PEF
4如图，已知抛物线
y
ax2
bx
c（a
0）的顶点坐标为
Q2,1，且与y轴交于点
C
0,3
，与
x
轴交于
、
B
两点（点
A
在点
B
的右侧），点
P
是该抛物线上一动点，从点
C
A
沿抛物线向点
A运动（点
P与A不重合），过点
P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在问题
（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、
F为顶点的平行四边形？
若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数和圆
【例题1】（芜湖市）已知圆P的圆心在反比例函数yk（k1）图象上，并与x轴相
x
交于A、B两点．且始终与y轴相切于定点C（0，1）．
（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
（2）若二次函数图象的顶点为
D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．
【例题2】
湖南省韶关市）25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，
（
AB=2，直线y
3
D、E。
设M是AB的中点，P是线段DE上的动点.
x与坐标轴交于
2
（1）求M、D两点的坐标；
（2）当P在什么位置时，PA=PB？
求出此时P点的坐标；
（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积.
y
C
H
N
B
E
F
M
P
O
D
Ax
图6
【例题3】（甘肃省白银等7市新课程）28.在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．
（1）求直线CB的解析式；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上？
（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？
直接写出两组这样的点．
【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y=ax2
+bx－3与x轴交于A、B
两点，与
y
轴交于
C
点，经过
ABC
三点的圆的圆心
Mm
、、
（1，）恰好在此抛物
线的对称轴上，⊙M的半径为
5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC=
，∠CBE=
，求sin（－）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点
P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相
似？
若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆
与x轴交于点A、B．已知抛物线
1
2
轴交于点
y
x
bxc过点
A
和，与
．
6
By
C
（）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．
1
（）点Q（，m）在抛物线
y
1
x
2
bx
c上，点P为此抛物线对称轴上一个动
2
8
6
点，求PQ＋PB的最小值．
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
y
A
M
x
OD
B
E
【例题6】（山西省临汾市）26.如图所示，在平面直角坐标系中，eM经过原点O，
且与x轴、y轴分别相交于A（6，0），B（0，8）两点．
（1）请求出直线AB的函数表达式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在eM上，开口向下，且经
过点B，求此抛物线的函数表达式；
（3）设
（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得
S△PDE
1S△ABC？
若存在，请求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
15
y
C
x
A
O
E
D
M
B
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