光的衍射习题及答案docx.docx
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光的衍射习题及答案docx
第二章光的衍射
1.单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。
求第
к个带的半径。
若极点到
观察点的距离
r0为1m，单色光波长为
450nm，求此时第一半波带的半径。
2
2
2
rk
r0
k
解：
rk
k
r0
而
2
rk
r0
k
2
2
r0
k
2
k
r0
2
将上式两边平方，得
2
2
2
kr0
k2
2
k
r0
r0
4
略去k
2
2
k
kr0
项，则
将k
1,r0
100cm,
4500
10-8cm带入上式，得
0.067cm
2.平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样
改变大小。
问：
（
1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心
4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（
2）P点最亮时，小孔直径应为多大？
设此时
的波长为500nm。
解：
（1）根据上题结论
k
kr0
将r0
400cm,
5
10-5cm代入，得
k
400
5
105k
0.1414kcm
当k为奇数时，P点为极大值；
k为偶数时，P点为极小值。
（2）P点最亮时，小孔的直径为
21
2r0
0.2828cm
3．波长为500nm的单色点光源离光阑
1m，光阑上有一个内外半径分别为
0.5mm和1mm
的透光圆环，接收点
P离光阑1m，求P点的光强I与没有光阑时的光强度
I0之比。
解：
根据题意
R
1m
r01mRhk1
0.5mmRhk21mm
500nm
Rh2（Rr0）Rh2
11
k
r0R
r0R
有光阑时，由公式
k1
Rhk21
11
0.52
1
1
r0
R500106
1000
1
得
1000
k2
Rhk2
2
1
1
12
1
1
r0
R
50010
4
610001000
按圆孔里面套一个小圆屏幕
ap
1a1
a3
1a1
1a2
1a2
1a3a1
2
2
2
2
2
没有光阑时
a1
a0
2
所以
4．波长为632.8nm的平行光射向直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏。
试问：
（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？
（2）要使P点变成与
（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少？
解：
（1）P点的亮暗取决于圆孔中包含的波代数是奇数还是偶数
.当平行光如射时,
波带数为
2
d
2
2
1.38
k
2
3
r0
632.8106
103
r0
故P点为亮点.
（1）当P点向前移向圆孔时,相应的波带数增加;波带数增大到4时,P点变
成
暗点,此时,P点至圆孔的距离为
r
0
2
1.382
6mm
750mm
k
4632.810
则P点移动的距离为
r
r0
r
100cm-75cm
25cm
当P点向后移离圆孔时
波带数减少,减少为2时,
P点也变成暗点。
与此对应的P到圆孔的距离为
r0
2
1.38
2
106mm1500mm
k
2
632.8
P点移的距离
r
r0
r0
150cm-100cm
50cm
５.一波片由五个半波成.第一波片半径
至r2的透明,第三半波是r2至r3的不透明
r1的不透明,第二半波是半径r1
第四半波是r3至r4的透明,第五
半波是r4
至无大的不透明区域
：
2
:
3
:
4
用波500nm的平行色
已知r1:
r2
r3:
r4=1:
光照明,最亮的像点在距波片
1m
的上.求:
（1）
r1;
（2）
像点的光;（3）光极大出
在上哪些位置上.
解：
因5
个半波成的半波片上,K1
1,r1不透光;K2
2,r1至r2透
光;K3
3,r2至r3不透光;K4
4,r3至r4透光;
K5
5,r4至无大不透光.
r1:
r2:
r3:
rr
1:
2:
3:
4
色平行光
500nm
R0
第一条最亮的像点在
r0
1m
1000mm的上,即f1
r0
103mm
f
r0
Rh2
r1
2
k
1
（1）
r1
r0k
103
1
500
106
0.5
0.707
（2）像点的光:
IP
AP2
（a2a4）2
4a2
所以Ip
4a2
16I0
f,f,f
（3）光极大出在的位置是（即357）
f1r1m103mm
f2
f1
1mf3
f1
1mf5
f1
1m
3
5
7
3
5
7
6.波λ的点光源波片成一个像点
波片有
100个透明奇数半波
（1,3,5,⋯⋯）。
另外100个不透明偶数半波
.比用波片和上同焦距和口径的透
像点的度比I:
I0.
A100
100
a
100a
解:
100个奇数半波通光振幅
1
I
（100a）2
同焦距和口径的透可划分
200个半波通光
199
200
A200
a1
a1
200a
I0
2
4（100a）
2
振幅
1
2
200a
I
（100a）2
1
I0
4（100a）2
4
7.平面光的波长为480nm,垂直照射到宽度为0.4mm的狭缝上,会聚透镜的焦距为60cm.分别计算当缝的两边到P点的相位为π/2和π/6时,P点离焦点的距离.
解：
设P点离焦点的距离为
y，透镜的焦距为f
。
缝宽为b，则位相差和光程差的关
2
2bsin
2btan
2by
系式为
f
y
f
2b
故
当缝的两边到
P点的位相差为
2时，P点离焦点的距离为
f
4.8
104
600
y
2
0.18mm
2b
0.42
当缝的两边到
P点的位相差为
6时，P点离焦点的距离为
f
4.8
10
4
600
y
2
0.06mm
2b
0.46
8.白光形成的单缝衍射图样中
其中某一波长的第三个次最大值与波长为
600nm的光
波的第二个次最大值重合
.求该光波的波长.
解：
由单缝衍射次最大值的位置公式可知
bsin
k0
1
2
bsin
1
1
3
2
得
2
2
5
428.6
7
所以
nm
所以该光为紫色光.
9.波长为546.1nm的平行光垂直地射在1mm宽的缝上,若将焦距为100cm的透镜紧贴于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到
（1）第一最小值;
（2）第一最大值;（3）第三最小值的距离分别为多少?
解:
根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知:
bsin
btan
b
y
k
f
得第一、第三最小值的位置分别为
y
f
1000
5.461104
0.5461mm
1
b
1
y
3
f
1.638mm
3
b
由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式
bsink0
b
y
k0
1
f
2
y10
3
f
3
1000
5.461104
0.819mm
得
2
b
2
1
10.钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上.所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885cm,问钠光的波长为多少?
若改用X射线（λ=0.1nm）做此实
验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少?
sin
2k0
1
k
b
解：
如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式
2
得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为
yy2
y1
2f
f
b
f
b
b
y
b
0.
02
0.885590nm
那么
f
300
如果改用
40
108cm时
f
300
40
10
8
10
3
y
0.02
6
cm
b
12.一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二
光谱的始端的衍射角θ之差为多少？
（设可见光中最短的紫光波长为400nm，最长的红光波长为760nm）
解：
由光栅方程
dsin
j
得
sin1
红
7.6
104
3.8102
d
0.02
所以
1
2.18
sin22
紫
24.0104
4.0102
d
0.02
所以
2
2.29
1
d0.02mm
式中50
所以
2
1
2.29
2.18
636
2
103rad
13.用可见光（760～400nm）照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠？
二级和三级怎样？
若重叠，则重叠范围是多少？
解：
根据光栅方程
dsin
j
j
sin
1
红
760nm
d
d
得
1,
j
2
sin
2
2
紫
800nm
，
d
d
因为
2>
1
所以
一级和二级不重叠.
sin
2
红
1520nm
而
j
2,
2
d
d
j
sin
3
3
紫
1200nm
3,
d
d
因为3<2所以二级和三级光谱部分交迭.
设第3级紫光和第2级波长的光重合
2
1
3紫
则
d
d
1
3
紫
3
400
600nm
所以
2
2
设第
2级红光和第
3级波长为
2的光重合
3
2
2红
则
d
d
2
所以23红
2
3
760506.7nm
综上,一级光谱与二级光谱不重叠;二级光谱的600~700nm与三级光谱的
400~506.7nm重叠.
14.用波长为589nm的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为15°10'，求该光栅1cm内的缝数是多少？
解:
dsin
j
（j
0,1,2,
12）
1
sin
1510
1
222（条/cm）
d
j
j
180
2589
107
15.
用每毫米内有400
条刻痕的平面透射光栅观察波长为
589nm的钠光谱。
试问：
（1）
光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？
（2）光以30
角入射时,最多能观察到几级光谱
?
（1）根据光栅方程
j
dsin
解:
dsin
j得
可见j的最大值与sin
1的情况相对应（sin
真正等于
1时,光就不能到达屏上）.
d
1
mm
1
cm
sin
1,
根据已知条件
400
4000
并取
则得
1
j
4000
4.2
5890
10
8
（此处j
只能取整数,分数无实际意义）
即能得到最大为第四级的光谱线.
（2）
根据平行光倾斜入射时的光栅方程
d（sin
sin
0）
j（j0,1,2,
）,可
j
d（sin
sin
0）
得
同样,取sin
1,得
1
（sin30
1）
j
4000
108
6.4
5890
即能得到最大为第六级的光谱线.
16.白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为30°处会出现哪些波长的光？
其颜色如何？
解:
由题意可知
1
条毫米
250
760nm
d
30390nm
当
760nm时,
由公式dsin
j
j
dsin30
1
106
2
2.6
得
250
760
j
dsin30
1
5.1
当
390nm时,
250
390106
2
所以
2.6j5.1
这里j可取3,4,5
dsin
1
当
j
3
时
j
3
250
10
dsin
1
当j
4时
j
4
250
10
当j
5时
dsin
1
j
5
250
10
6
6
6
667nm
2（为红色）
500nm
2（为绿色）
400nm
2（为紫色）
17.用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透明
部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条。
求：
（1）单缝衍射图样的中央角宽度；
（2）单缝
衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？
（3）谱线的半宽度为多少？
解：
（1）单缝衍射图样的中央角宽度
2
1
2
2
6.240
105
10.4
10
2rad
b
1.2103
（2）单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定
d
0.041
b
3.42
0.012
式中d为光栅的光栅常数.
所以看到的级数为3.
（3）谱线的半角宽度的公式为
:
Ndcos
令
cos
1（即
0）
＝
6.24
105
1.52
105rad
Nd
103
0.0041
18.NaCl的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量
M=58.5，密度ρ=2.17g/cm3，
（1）试证
明相邻两离子间的平均距离为
3
M
0.2819
2NA
nm
式中NA=6.02×1023/mol
为阿伏加德罗常数；
（2）用X射线照射晶面时，第二级光谱的最
大值在掠射角为1°的方向上出现.试计算该X射线的波长.
解:
（1）
d,那么亮离子间的平均距
离d0为d。
现先计算晶胞的
晶胞的棱边为
2
棱边
长d,由于每个晶胞包含四个
NaCl分子,那么密度ρ为
m4mNaCl
V
d3
这里,NaCl分子的质量由下式给出
M
mNaCl
N
所以晶胞的棱边由上面两式联立解得
d
4M
N
1
3
那么相邻两离子间的平均距离
d0为
d0
d
M
3
58.5
0.2819nm
3
1023
2
2N
2
6.02
2.17
时
（2）
根据布喇格方程
2d0sin
0
j
在j
2时
2d0sin
0
2.819sin1
0.0049nm
2
19波长为
0.00147nm的平行X射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为
0.28nm问光线
与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。
解：
2dsin0
j
sin0
j20.014710
10
2d20.2810
00.318'
光线与界面成18′的角度时，能观察到二级光谱。
20如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b，缝距分别为d和2d，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：
2
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