光的衍射习题及答案docx.docx

1、光的衍射习题及答案docx第二章 光的衍射1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第 个带的半径。若极点到观察点的距离r 0 为 1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。222r kr0k解： rkkr0而2rkr0k22r0k2kr02将上式两边平方，得222kr0k 22kr0r04略去 k22kkr0项，则将 k1, r0100cm,450010 -8 cm 带入上式，得0.067cm2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m的 P 点的

2、光强分别得到极大值和极小值；（2） P 点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的波长为 500nm。解：（ 1）根据上题结论kkr0将 r0400cm,510-5 cm 代入，得k400510 5 k0.1414 k cm当 k 为奇数时， P 点为极大值；k 为偶数时， P 点为极小值。（ 2）P 点最亮时，小孔的直径为2 12 r00.2828cm3波长为 500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和 1mm的透光圆环，接收点P 离光阑 1m，求 P 点的光强 I 与没有光阑时的光强度I 0 之比。解：根据题意R1mr0 1m R hk 10.5mm R hk 2

3、1mm500nmRh2 ( R r0 ) Rh21 1kr0 Rr 0 R有光阑时，由公式k1Rhk211 10.5211r0R 500 10 610001得1000k2Rhk22111211r0R500 1046 1000 1000按圆孔里面套一个小圆屏幕ap1 a1a31 a11 a21 a21 a3 a122222没有光阑时a1a02所以4波长为 632.8nm 的平行光射向直径为 2.76mm的圆孔，与孔相距 1m处放一屏。试问：（1）屏上正对圆孔中心的 P 点是亮点还是暗点？（ 2）要使 P 点变成与（ 1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少？解：（ 1） P 点的亮暗取

4、决于圆孔中包含的波代数是奇数还是偶数. 当平行光如射时 ,波带数为2d221.38k23r0632.8 10 6103r0故P 点为亮点 .(1)当 P 点向前移向圆孔时 , 相应的波带数增加 ; 波带数增大到 4 时, P 点变成暗点 , 此时 , P 点至圆孔的距离为r021.3826 mm750mmk4 632.8 10则 P 点移动的距离为rr0r100cm - 75cm25cm当 P 点向后移离圆孔时, 波带数减少 , 减少为 2 时 ,P 点也变成暗点。与此对应的 P 到圆孔的距离为r021.38210 6 mm1500mmk2632.8P 点移 的距离 rr0r0150cm -

5、100cm50cm .一波 片由五个半波 成 .第一波 片 半径至 r2 的透明 ,第三半波 是 r2 至 r3 的不透明 r 1的不透明 ,第二半波 是半径 r1,第四半波 是 r3 至 r4 的透明 ,第五半波 是 r4至无 大的不透明区域：2:3:4,用波 500nm 的平行 色,已知 r1:r2r3:r4=1:光照明 ,最亮的像点在距波 片1m的 上 . 求 :(1)r1;(2)像点的光 ; (3) 光 极大 出 在 上哪些位置上 .解 ： 因5个 半 波成 的 半 波 片 上 , K11, r1 不 透 光 ; K 22, r1至r2 透光 ; K 33, r2 至 r3 不透光 ;

6、 K 44, r3 至 r4 透光 ;K 55, r4 至无 大不透光 .r1 : r2 : r3 : rr1 :2 :3 :4 色平行光500nmR0第一条最亮的像点在r01m1000mm的 上 ,即 f1r0103 mmfr0Rh2r12k1(1)r1r0 k103150010 60.50.707(2) 像点的光 : I PAP2(a2 a4 ) 24a 2所以 I p4a 216I 0f , f , f(3) 光 极大 出 在 的位置是 (即 3 5 7 )f1 r 1m 103 mmf 2f11 m f 3f 11 m f5f11 m3573576. 波 的点光源 波 片成一个像点,

7、波 片有100 个透明奇数半波 (1,3,5, )。另外 100 个不透明偶数半波 .比 用波 片和 上同 焦距和口径的透 像点的 度比 I:I 0.A100100a100a解 : 100 个奇数半波 通光 振幅1I(100a) 2同 焦距和口径的透 可划分 200 个半波 通光199200A200a1a1200aI 024(100a)2 振幅 12200aI(100a) 21I 04 (100a) 247.平面光的波长为 480nm,垂直照射到宽度为 0.4mm的狭缝上 , 会聚透镜的焦距为 60cm. 分别计算当缝的两边到 P 点的相位为 /2 和 /6 时 ,P 点离焦点的距离 .解：设

8、 P 点离焦点的距离为y，透镜的焦距为 f。缝宽为 b ，则位相差和光程差的关22 bsin2 b tan2 b y系式为fyf2 b故当缝的两边到P 点的位相差为2 时， P 点离焦点的距离为f4.810 4600y20.18mm2 b0.42当缝的两边到P 点的位相差为6 时， P 点离焦点的距离为f4.8104600y20.06mm2 b0.468. 白光形成的单缝衍射图样中, 其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm 的光波的第二个次最大值重合. 求该光波的波长 .解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知bsink012b sin1132得225428.67所以nm所以该光为紫色光

9、.9.波长为 546.1nm 的平行光垂直地射在 1mm宽的缝上 , 若将焦距为 100cm 的透镜紧贴于缝的后面 , 并使光焦距到屏上 , 问衍射图样的中央到 (1) 第一最小值 ;(2)第一最大值 ;(3)第三最小值的距离分别为多少 ?解 : 根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知 :b sinb tanbykf得第一、第三最小值的位置分别为yf10005.461 10 40.5461mm1b1y3f1.638mm3b由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式b sin k0byk01f2y103f310005.461 10 40.819mm得2b2110.钠光通过宽 0.2mm 的狭

10、缝后 ,投射到与缝相距 300cm 的照相底片上 .所得的第一最小值与第二最小值间的距离为 0.885cm, 问钠光的波长为多少 ?若改用 X 射线 ( =0.1nm) 做此实验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少?sin2k01kb解：如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式2得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为y y2y12 ffbfbbyb0.020.885 590nm那么f300如果改用4010 8 cm 时f30040108103y0.026cmb12.一束平行白光垂直入射在每毫米50 条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角 之差为多少？ (设可见光中最

11、短的紫光波长为 400nm ，最长的红光波长为 760nm)解：由光栅方程d sinj得sin 1红7.610 43.8 10 2d0.02所以12.18sin 2 2紫2 4.0 10 44.0 10 2d0.02所以22.291d 0.02mm式中 50所以212.292.186 36210 3 rad13.用可见光 (760 400nm) 照射光栅是， 一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？解：根据光栅方程d sinjjsin1红760nmdd得1,j2sin22紫800nm，dd因为2 1所以一级和二级不重叠 .sin2红1520 nm而j2,2ddjs

12、in33紫1200 nm3,dd因为 3 2 所以二级和三级光谱部分交迭 .设第 3 级紫光和第 2 级波长的光重合213 紫则dd13紫3400600nm所以22设第2 级红光和第3 级波长为2 的光重合322 红则dd2所以 2 3 红23760 506.7nm综 上 , 一 级 光 谱与 二 级 光 谱 不 重 叠 ; 二 级 光 谱 的 600 700nm 与 三 级 光谱 的400 506.7nm 重叠 .14.用波长为 589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为 1510，求该光栅 1cm 内的缝数是多少？解 :d sinj( j0,1,

13、2,12）1sin15 101222(条 /cm）djj1802 58910 715.用每毫米内有 400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm 的钠光谱。试问： (1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？(2)光以 30角入射时 ,最多能观察到几级光谱?(1) 根据光栅方程jd sin解 :d sinj 得可见 j 的最大值与 sin1的情况相对应 ( sin真正等于1 时 ,光就不能到达屏上 ).d1mm1cmsin1,根据已知条件4004000,并取则得1j40004.25890108(此处 j只能取整数 ,分数无实际意义 )即能得到最大为第四级的光谱线 .(2)根据平行光倾斜入射时的

14、光栅方程d (sinsin0 )j ( j 0, 1, 2,) , 可jd (sinsin0 )得同样 ,取 sin1, 得1(sin 301)j400010 86.45890即能得到最大为第六级的光谱线 .16.白光垂直照射到一个每毫米 250 条刻痕的透射光栅上， 试问在衍射角为 30 处会出现哪些波长的光？其颜色如何？解 : 由题意可知1条 毫米250760nmd30390nm当760nm 时 ,由公式 d sinjjd sin 30110 622.6得250760jd sin 3015.1当390nm 时 ,250390 10 62所以2.6 j 5.1这里 j 可取 3, 4, 5d

15、 sin1当j3时j325010d sin1当 j4 时j425010当 j5 时d sin1j525010666667nm2 ( 为红色 )500nm2 (为绿色 )400nm2 (为紫色 )17. 用波长为 624nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽 b 为 0.012mm，不透明部分的宽度 a 为 0.029mm，缝数 N 为 103 条。求： (1)单缝衍射图样的中央角宽度； (2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？ (3)谱线的半宽度为多少？解：（ 1）单缝衍射图样的中央角宽度21226.24010 510.4102 radb1.2 10 3(2) 单缝衍射图样包络下的范

16、围内共有光谱级数由下列式子确定d0.041b3.420.012式中 d 为光栅的光栅常数 .所以看到的级数为 3.(3) 谱线的半角宽度的公式为:Nd cos令cos1(即0）6.2410 51.5210 5 radNd1030.004118. NaCl 的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5 ，密度 =2.17g/cm 3，(1)试证明相邻两离子间的平均距离为3M0.28192N Anm式中 N A=6.021023/mol为阿伏加德罗常数；（ 2）用 X 射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为 1的方向上出现 .试计算该 X 射线的波长 .解 : (1)d , 那么亮离子间

17、的平均距离 d0为 d 。现先计算晶胞的晶胞的棱边为2棱边长 d,由于每个晶胞包含四个NaCl 分子 ,那么密度 为m4mNaClVd 3这里 ,NaCl 分子的质量由下式给出MmNaClN所以晶胞的棱边由上面两式联立解得d4MN13那么相邻两离子间的平均距离d0 为d0dM358.50.2819nm3102322N26.022.17时(2)根据布喇格方程2d 0 sin0j在 j2 时2d 0 sin02.819 sin10.0049nm219 波长为0.00147nm 的平行 X 射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm 问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。解：2d sin 0jsin 0j 2 0.0147 10102d 2 0.28 100 0.3 18光线与界面成 18的角度时，能观察到二级光谱。20 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为 b，缝距分别为 d 和 2d，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：2