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统计学理论

第一章绪论

学习目标

1.理解统计与统计学的含义；2.理解统计数据与统计学的关系；3.区分描述统计与推断统计；4.了解统计学与其他学科的关系；5.了解统计学的产生与发展过程

什么是统计?

1.统计工作：

收集数据的活动

2.统计数据：

对现象计量的结果

3.统计学：

分析数据的方法与技术

什么是统计学?

统计学是一门收集、整理和分析数据的方法科学，其目的是探索数据的内在数量规律性，以达到对客观事物的科学认识

1.数据搜集：

例如，调查与试验

2.数据整理：

例如，分组

3.数据展示：

例如，图和表

4.数据分析：

例如，回归分析

统计数据的内在规律（一些例子）

1.正常条件下新生婴儿的性别比为107：

100

2.投掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面的频率各为1/2；投掷一枚骰子出现1～6点的频率各为1/6

3.农作物的产量与施肥量之间存在相关关系

统计方法：

描述统计与推断统计

描述统计：

内容1.搜集数据；2.整理数据；3.展示数据

目的1.描述数据特征2.找出数据的基本规律

推断统计：

内容1.参数估计；2.假设检验

目的：

对总体特征作出推断

描述统计与推断统计的关系

统计学与数学的关系

联系：

1.统计学运用到大量的数学知识；2.数学为统计理论和统计方法的发展提供基础；

3.不能将统计学等同于数学；4.统计学与数学的关系

区别：

1.数学研究的是抽象的数量规律，统计学则是研究具体的、实际现象的数量规律；

2.数学研究的是没有量纲或单位的抽象的数，统计学研究的是有具体实物或计量单位的数据；

3.统计学与数学研究中所使用的逻辑方法不同。

数学研究所使用的主要是的演绎；统计学则是演绎与归纳相结合，占主导地位的是归纳；

统计学与其他学科的关系

统计学可以用到几乎所有的学科领域；统计学可以帮助其他学科探索学科内在的数量规律性；统计学不能解决各学科领域的所有问题；对统计分析结果的解释需要各学科领域的专业人员

统计学发展的历史线索

一般认为，统计学产生于17世纪中叶，统计学的发展过程基本上沿着两条主线展开。

以“政治算术学派”为开端形成和发展起来的、以社会经济问题为主要研究对象的社会经济统计；

以概率论的研究为开端、并以概率论为基础形成和发展起来的、以方法和应用研究为主的数理统计。

政治算术—社会经济统计

政治算术学派产生于17世纪中叶的英国，代表人物主要是威廉·配第（WilliamPatty，1623—1687）和约翰·格朗特（JohnGraunt，1620—1674），政治算术学派则为后来的社会经济统计的发展奠定了基础；17世纪中叶的政治算术学派可看作是统计学的开端；

19世纪，沿着约翰·格朗特所开创的人口统计以及沿着威廉·配第所开创的经济统计有了进一步的发展

威廉·配第为以后经济统计的发展开拓了道路；约翰·格朗特为人口统计的发展开拓了道路。

概率论—数理统计

概率沦研究起源于意大利文艺复兴时代；概率论的真正历史是从17世纪中叶开始的。

古典统计时期的概率论基本上是独立发展的，它与统计学（主要是指政治算术）没有太多的联系，从19世纪中叶到20世纪中叶，概率论的进一步发展为数理统计学的形成和发展奠定了基础，本世纪50年代以后，统计理论、方法和应用进入了一个全面发展的阶段。

统计学中的几个主要术语

1.总体（Population）：

所关心的所有元素的集合

2.样本（Sample）：

总体的一部分

3.参数（Parameter）：

总体的数字特征

4.统计量（Statistic）：

样本的概括性测度值

第二章统计数据的搜集

第一节数据的计量与类型

第二节统计数据的来源

第三节调查方案设计

第四节统计数据的质量

数据的计量尺度（四种）

1）定类尺度：

1.计量层次最低；2.对事物进行平行的分类；3.各类别可以指定数字代码表示；4.使用时必须符合类别穷尽和互斥的要求；5.数据表现为“类别”；6.具有=或¹的数学特性

2）定序尺度：

1.对事物分类的同时给出各类别的顺序；2.比定类尺度精确；3.未测量出类别之间的准确差值；4.数据表现为“类别”，但有序；5.具有>或<的数学特性

3）定距尺度：

1.对事物的准确测度；2.比定序尺度精确；3.数据表现为“数值”；4.没有绝对零点

5.具有+或-的数学特性

4）定比尺度：

1.对事物的准确测度；2.与定距尺度处于同一层次；3.数据表现为“数值”；4.有绝对零点；5.具有´或¸的数学特性

数据类型与统计方法

品质数据——定类数据、定序数据——非参数方法；

数量数据——定距数据、定比数据——参数方法

变量及其类型：

定类变量、定序变量、数字变量（离散变量、连续变量）

统计指标及其类型：

总量指标（时期指标、时点指标）、相对指标、平均指标

统计调查方式：

1.普查：

为特定目的专门组织的非经常性全面调查；通常是一次性或周期性的；一般需要规定统一的标准调查时间；数据的规范化程度较高；应用范围比较狭窄

2.抽样调查：

从总体中随机抽取一部分单位（样本）进行调查；

统计表报：

统计调查方式之一；过去曾经是我国主要的数据收集方式；按照国家有关法规的规定、自上而下地统一布置、自下而上地逐级提供基本统计数据；4.有各种各样的类型

3.重点调查：

从调查对象的全部单位中选择少数重点单位进行调查；调查结果不能用于推断总体

5.典型调查：

从调查对象的全部单位中选择少数典型单位进行调查；目的是描述和揭示事物的本质特征和规律；调查结果不能用于推断总体。

数据的搜集方法

访问调查

1.调查者与被调查者通过面对面地交谈而获得资料

2.有标准式访问和非标准式访问：

标准式访问通常按事先设计好的问卷进行，非标准式访问事先一般不制作问卷

邮寄调查（邮寄问卷调查）

是一种标准化调查，调查者与被调查者没有直接的语言交流，信息的传递依赖于问卷；通过某种方式将调查表或问卷送至某调查者手中，由被调查者填写，然后将问卷寄回指定收集点；问卷或表格的发放方式有邮寄、宣传媒介传送、专门场所分发三种

电话调查：

调查者利用电话与被调查者进行语言交流以获得信息；时效快、成本低；问题的数量不宜过多；

电脑辅助调查（电脑辅助电话调查）

电脑与电话相结合完成调查的全过程；一般需借助专门的软件进行；硬件设备要求较高

座谈会（也称集体访谈）

将一组被调查者集中在调查现场，让他们对调查的主题发表意见以获得资料；参加座谈会的人数不宜过多，一般为6～10人；侧重于定性研究

个别深度访问：

一次只有一名受访者参加、针对特殊问题的调查；适合于较隐秘的问题，如个人隐私问题；或较敏感的问题，如政治方面的问题；侧重于定性研究

观察法：

就调查对象的行动和意识，调查人员边观察边记录以收集所需信息；调查人员不是强行介入；能够在被调查者不察觉的情况下获得资料

实验法：

在设定的特殊实验场所、特殊状态下，对调查对象进行实验以获得所需资料；有室内实验法和市场实验法

统计数据的间接来源：

1.公开出版物：

《中国统计年鉴》、《中国统计摘要》、《中国社会统计年鉴》、《中国工业经济统计年鉴》、《中国农村统计年鉴》、《中国人口统计年鉴》、《中国市场统计年鉴》、《世界经济年鉴》、《国外经济统计资料》、《世界发展报告》……

调查方案设计

调查目的：

调查要达到的具体目标。

回答“为什么调查？

”；调查之前必须明确

调查对象和调查单位（回答“向谁调查？

”）

调查对象：

调查研究的总体或调查范围

调查单位：

需要对之进行调查的单位。

可以是调查对象的全部单位（全面调查），也可以是调查对象中的一部分单位（非全面调查）

调查项目和调查表（回答“调查什么？

”）

调查项目：

调查的具体内容

调查表：

表现调查项目的表格或问卷

方案设计中的其他问题

1.明确调查所采用的方法

2.确定调查资料的所属时间和调查工作的期限

3.调查的组织与实施细则

统计数据的误差：

统计数据与客观现实之间的差距

有登记性误差和代表性误差两类

登记性误差：

由于调查者或被调查者的人为因素所造成的误差。

理论上讲可以消除

代表性误差：

用样本数据进行推断时所产生的误差。

通常无法消除，但事先可以进行控制和计算

统计数据的质量要求

1.精度：

最低的抽样误差或随机误差

2.准确性：

最小的非抽样误差或偏差

3.关联性：

满足用户决策、管理和研究的需要

4.及时性：

在最短的时间里取得并公布数据

5.一致性：

保持时间序列的可比性

6.最低成本：

以最经济的方式取得数据

第三章统计数据的整理与显示

第一节数据的预处理

第二节品质数据的整理与显示

第三节数值型数据的整理与显示

第四节统计表

数据的审核、筛选与排序

数据的审核：

发现数据中的错误

数据的筛选：

找出符合条件的数据

数据排序：

发现数据的基本特征，升序和降序

数据的审核（原始数据）

审核的内容：

完整性审核；检查应调查的单位或个体是否有遗漏；所有的调查项目或指标是否填写齐全

准确性审核：

检查数据是否真实反映客观实际情况，内容是否符合实际；检查数据是否有错误，计算是否正确等。

审核数据准确性的方法

逻辑检查：

从定性角度，审核数据是否符合逻辑，内容是否合理，各项目或数字之间有无相互矛盾的现象。

主要用于对定类数据和定序数据的审核

计算检查：

检查调查表中的各项数据在计算结果和计算方法上有无错误。

主要用于对定距和定比数据的审核

数据的审核（第二手数据）

适用性审核：

弄清楚数据的来源、数据的口径以及有关的背景材料；确定这些数据是否符合自己分析研究的需要

时效性审核：

应尽可能使用最新的统计数据，确认是否必要做进一步的加工整理

数据的筛选：

对审核过程中发现的错误应尽可能予以纠正。

当发现数据中的错误不能予以纠正，或者有些数据不符合调查的要求而又无法弥补时，需要对数据进行筛选

数据筛选的内容包括：

1.将某些不符合要求的数据或有明显错误的数据予以剔除

2.将符合某种特定条件的数据筛选出来，而不符合特定条件的数据予以剔出

数据的排序：

按一定顺序将数据排列，以发现一些明显的特征或趋势，找到解决问题的线索

排序有助于对数据检查纠错，以及为重新归类或分组等提供依据；在某些场合，排序本身就是分析的目的之一。

排序可借助于计算机完成

数据的排序方法

定类数据的排序

字母型数据，排序有升序降序之分，但习惯上用升序

汉字型数据，可按汉字的首位拼音字母排列，也可按笔画排序，其中也有笔画多少的升序降序之分

定距和定比数据的排序

递增排序：

设一组数据为X1，X2，…，XN，递增排序后可表示为：

X

（1）

（2）<…

递减排序可表示为：

X

（1）>X

（2）>…>X（N）

数据的整理与显示

定类数据的整理与显示（基本问题）

要弄清所面对的数据类型，因为不同类型的数据，所采取的处理方式和方法是不同的；对定类数据和定序数据主要是做分类整理；对定距数据和定比数据则主要是做分组整理。

适合于低层次数据的整理和显示方法也适合于高层次的数据；但适合于高层次数据的整理和显示方法并不适合于低层次的数据。

定类数据的整理（基本过程）：

1.列出各类别；2.计算各类别的频数；3.制作频数分布表；4.用图形显示数据。

可计算的指标：

1.频数：

落在各类别中的数据个数

2.比例：

某一类别数据占全部数据的比值

3.百分比：

将对比的基数作为100而计算的比值

4.比率：

不同类别数值的比值

定类数据的图示—条形图

条形图是用宽度相同的条形的高度或长短来表示数据变动的图形；条形图有单式、复式等形式

在表示定类数据的分布时，是用条形图的高度来表示各类别数据的频数或频率；绘制时，各类别可以放在纵轴，称为条形图，也可以放在横轴，称为柱形图

定类数据的图示—圆形图

也称饼图，是用圆形及园内扇形的面积来表示数值大小的图形

主要用于表示总体中各组成部分所占的比例，对于研究结构性问题十分有用

在绘制圆形图时，总体中各部分所占的百分比用园内的各个扇形面积表示，这些扇形的中心角度，是按各部分百分比占3600的相应比例确定的

定序数据的整理与显示

定序数据的整理（可计算的指标）

1.累计频数：

将各类别的频数逐级累加

2.累计频率：

将各类别的频率（百分比）逐级累加

品质数据的图示—环形图

环形图中间有一个“空洞”，总体中的每一部分数据用环中的一段表示

环形图与圆形图类似，但又有区别：

圆形图只能显示一个总体各部分所占的比例；环形图则可以同时绘制多个总体的数据系列，每一个总体的数据系列为一个环。

环形图可用于进行比较研究。

环形图可用于展示定类和定序的数据。

数值型数据的整理与显示：

数据分组

分组方法

单变量值分组（要点）

1.将一个变量值作为一组

2.适合于离散变量

3.适合于变量值较少的情况

组距分组（要点）

1.将变量值的一个区间作为一组

2.适合于连续变量

3.适合于变量值较多的情况

必须遵循“不重不漏”的原则；可采用等距分组，也可采用不等距分组

组距分组（步骤）

1.确定组数：

组数的确定应以能够显示数据的分布特征和规律为目的。

在实际分组时，可以按Sturges提出的经验公式来确定组数K＝1+（lgn/lg2），其中n为数据的个数。

经验公式而已。

组距分组

2.确定各组的组距：

组距（ClassWidth）是一个组的上限与下限之差，可根据全部数据的最大值和最小值及所分的组数来确定，即：

组距＝（最大值-最小值）÷组数

3.根据分组整理成频数分布表

几个概念

1.下限：

一个组的最小值

2.上限：

一个组的最大值

3.组距：

上限与下限之差

4.组中值：

下限与上限之间的中点值。

即组中值＝（下限值＋上限值）/2，这种代表值有一各必要的假设条件，即各组数据在本组呈均匀分布或在组中值两侧呈对称分布；否则，组中值作为一组数据的代表值会存在一定的误差。

等距分组表的几种形式：

（1）上下组限重叠；

（2）上下组限间断；（3）使用开口组

组距分组与不等距分组在表现频数分布上的差异：

等距分组：

各组频数的分布不受组距大小的影响；可直接根据绝对频数来观察频数分布的特征和规律。

不等距分组：

各组频数的分布受组距大小不同的影响；各组绝对频数的多少不能反映频数分布的实际状况，

需要用频数密度（频数密度＝频数/组距）反映频数分布的实际状况。

分组数据—直方图

用矩形的宽度和高度来表示频数分布的图形，实际上是用矩形的面积来表示各组的频数分布。

在直角坐标中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图（Histogram）。

直方图下的总面积等于1。

直方图与条形图的区别：

（1）条形图是用条形的长度（横置时）表示各类别频数的多少，其宽度（表示类别）则是固定的；直方图是用面积表示各组频数的多少，矩形的高度表示每一组的频数或百分比，宽度则表示各组的组距，其高度与宽度均有意义。

（2）直方图的各矩形通常是连续排列，条形图则是分开排列。

分组数据—折线图：

折线图也称频数多边形图（Frequencypolygon），是在直方图的基础上，把直方图顶部的中点（组中值）用直线连接起来，再把原来的直方图抹掉，折线图的两个终点要与横轴相交。

具体的做法是：

第一个矩形的顶部中点通过竖边中点（即该组频数一半的位置）连接到横轴，最后一个矩形顶部中点与其竖边中点连接到横轴。

折线图下所围成的面积与直方图的面积相等，二者所表示的频数分布是一致的。

未分组数据—茎叶图

用于显示未分组的原始数据的分布，由“茎”和“叶”两部分构成，其图形是由数字组成的，以该组数据的高位数值作树茎，低位数字作树叶。

对于n（20≤n≤300）个数据，茎叶图最大行数不超过L=[10×lgn]。

茎叶图类似于横置的直方图，但又有区别：

直方图可大体上看出一组数据的分布状况，但没有给出具体的数值；茎叶图既能给出数据的分布状况，又能给出每一个原始数值，保留了原始数据的信息。

未分组数据—箱线图

用于显示未分组的原始数据或分组数据的分布。

箱线图由一组数据的5个特征值绘制而成，它由一个箱子和两条线段组成。

其绘制方法是：

首先找出一组数据的5个特征值，即最大值、最小值、中位数Me和两个四分位数（下四分位数QL和上四分位数QU），连接两个四分（位）数画出箱子，再将两个极值点与箱子相连接。

未分组数据—单批数据箱线图

未分组数据—多批数据箱线图

时间序列数据—线图

绘制线图时应注意以下几点：

（1）时间一般绘在横轴，指标数据绘在纵轴；

（2）图形的长宽比例要适当，其长宽比例大致为10：

7；（3）一般情况下，纵轴数据下端应从“0”开始，以便于比较。

数据与“0”之间的间距过大时，可以采取折断的符号将纵轴折断。

多变量数据—雷达图

雷达图（RadarChart）是显示多个变量的常用图示方法，在显示或对比各变量的数值总和时十分有用。

可用于研究多个样本之间的相似程度。

假定各变量的取值具有相同的正负号，总的绝对值与图形所围成的区域成正比。

雷达图的制作：

设有n组样本S1，S2，…Sn，每个样本测得P个变量X1，X2，Xp，要绘制这P个变量的雷达图，其具体做法是先做一个圆，然后将圆P等分，得到P个点，令这P个点分别对应P个变量，在将这P个点与圆心连线，得到P个幅射状的半径，这P个半径分别作为P个变量的坐标轴，每个变量值的大小由半径上的点到圆心的距离表示；再将同一样本的值在P个坐标上的点连线。

这样，n个样本形成的n个多边形就是一个雷达图。

统计表的结构：

表头、行标题、列标题、数字资料、附加

统计表的设计：

（1）要合理安排统计表的结构；

（2）总标题内容应满足3W要求：

表明统计数据的时间、地点、以及何种数据；

（3）数据计量单位相同时，可放在表的右上角标明，不同时应放在每个指标后或单列出一列标明；

（4）表中的上下两条横线一般用粗线，其他线用细线；

（5）通常情况下，统计表的左右两边不封口；

（6）表中的数据一般是右对齐，有小数点时应以小数点对齐，而且小数点的位数应统一；

（7）对于没有数字的表格单元，一般用“—”表示；

（8）必要时可在表的下方加上注释。

第四章数据分布特征的测度

第一节集中趋势的测度

第二节离散程度的测度

第三节偏态与峰度的测度

学习目标

1.集中趋势各测度值的计算方法，集中趋势不同测度值的特点和应用场合；

2.离散程度各测度值的计算方法，离散程度不同测度值的特点和应用场合；

3.偏态与峰度测度方法

第一节数据特征分布的和测度

集中趋势（Centraltendency）：

一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度。

测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值；不同类型的数据用不同的集中趋势测度值。

低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据。

选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型来确定

定类数据：

众数

概念要点：

1）集中趋势的测度值之一；2）出现次数最多的变量值；3）不受极端值的影响；4）可能没有众数或有几个众数；5）主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据。

数值型分组数据的众数

（要点及计算公式）

1.众数的值与相邻两组频数的分布有关

2.相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数。

3.

相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算。

4.该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布。

定序数据：

中位数和分位数

中位数：

排序后处于中间位置上的值

中位数位置的确定

1未分组数据：

中位数位置＝（N+1）/2

2）分组数据：

中位数位置＝N/2

数值型分组数据的中位数

根据位置公式确定中位数所在的组，采用下列近似公式计算：

（假定中位数组的频数在该组内均匀分布）

四分位数：

排序后处于25%和75%位置上的值

定距和定比数据：

均值

1.集中趋势的测度值之一；2.最常用的测度值；3.一组数据的均衡点所在

4.易受极端值的影响；5.用于数值型数据，不能用于定类数据和定序数据

调和平均数

1.集中趋势的测度值之一；2.均值的另一种表现形式；3.易受极端值的影响

4.用于定比数据；5.不能用于定类数据和定序数据

几何平均数

1.集中趋势的测度值之一；2.N个变量值乘积的N次方根；3.适用于特殊的数据

4.主要用于计算平均发展速度；5.计算公式为

离中趋势

定类数据：

异众比率

1.离散程度的测度值之一；2.非众数组的频数占总频数的比率

定序数据：

四分位差

1.离散程度的测度值之一；2.也称为内距或四分间距；3.上四分位数与下四分位数之差；

4.反映了中间50%数据的离散程度，不受极端值的影响，用于衡量中位数的代表性

定距和定比数据：

方差和标准差

1.离散程度的测度值之一；2.最常用的测度值；3.反映了数据的分布；4.反映了各变量值与均值的平均差异；5.根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差。

自由度（degreeoffreedom）

一组数据中可以自由取值的数据的个数。

当样本数据的个数为n时，若样本均值`x确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值

例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则`x=5。

当`x=5确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值。

样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差σ2时，它是σ2的无偏估计量。

标准化值

1.也称标准分数；2.给出某一个值在一组数据中的相对位置；3.可用于判断一组数据是否有离群点

5.用于对变量的标准化处理

相对离散程度：

离散系数

1.标准差与其相应的均值之比；2.消除了数据水平高低和计量单位的影响

3.测度了数据的相对离散程度；4.用于对不同组别数据离散程度的比较

偏态

1.数据分布偏斜程度的测度；2.偏态系数=0为对称分布

3.偏态系数>0为右偏分布；4.偏态系数<0为左偏分布

峰度

1.数据分布扁平程度的测度；2.峰度系数=3扁平程度适中

3.偏态系数<3为扁平分布；4.偏态系数>3为尖峰分布