日常数学计算地省时方法数学巧算速算大全.docx

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日常数学计算地省时方法数学巧算速算大全

日常数学计算的省时方法

乘法

一．关于9的数学速算技巧（两位数乘法）  

关于9的口诀:

1 × 9 = 9 

2 × 9 = 18

 3 × 9 = 27 

4 × 9 = 36 

 5 × 9 = 45

 6 × 9 = 54 

7 × 9 = 63 

8 × 9 = 72  

9 × 9 = 81  

上面的口诀有什么特点呢？

  从上面的口诀口有没有看到从1到9任何一个数和9相乘的积，个位数和十位数  的和还是等于9。

你看上面的：

0 + 9 =9；1 + 8 = 9；2 + 7 = 9；3 + 6 = 9；  4 + 5 = 9；5 + 4 = 9；6 + 3 = 9；7 + 2 = 9；8 + 1 = 9  发现这个秘密有什么用呢？

这是锻炼你们善于观察、总结、找出事物规律的基础。

  下面我们再做一些复杂一点的乘法：

18 × 12 = ？

 27 × 12 = ？

 36 × 12 = ？

 45 × 12 = ？

  54 × 12 = ？

 63 × 12 = ？

 72 × 12 = ？

 81 × 12 = ？

上面的题目中，前面的乘数都是9的倍数，而且个位和十位的和都等于9。

这样我们能不能找到一种简便的算法呢？

也就是把两位数的乘法变成一位数的乘法呢？

我们先把上面这些数变一变。

18 = 1 × 10 + 8；27 = 2 × 10 + 7；36 = 3 × 10 + 6；  45 = 4 × 10 + 5；54 = 5 ×10 + 4；63 = 6 × 10 + 3；  72 = 7 × 10 + 2；81 = 8 × 10 + 1；  我们再把上面的数变一变好吗？

1 × 10 + 8 = 1 × 9 + 1+8 = 1 × 9 + 9 = 1 × 9 + 9 = 2 × 9  当然如果知道口诀你们可以直接把18 = 2 × 9  

这里主要是为了学会把一个数拆来拆去的方法。

同样的方法你们可以拆出下面的数，也可以背口诀，你们自己回去练吧。

 27 = 3 × 9 ； 36 = 4 × 9 ；45 = 5 × 9 ； 

54 = 6 × 9 ； 63 = 7 × 9； 72 = 8 × 9 ； 

81 = 9 × 9  

为了找到计算上面问题的方法，我们把上面的式子再变一次。

  18 = 2×（10-1）；27 = 3×（10-1）；36 = 4×（10-1）  45 = 5×（10-1）；54 = 6×（10-1）；63 = 7×（10-1）  72 = 8×（10-1）；81 = 9×（10-1）  

现在我们来算上面的题：

  18 × 12 = 2×（10-1）× 12  = 2 ×（12 ×10 - 12）  = 2 ×（120- 12）  

120 - 12 = 108；  这样就有了  

18 × 12 = 2 × 108 = 216  

是不是把一个两位数的乘法变成了一位数的乘法？

  而且可以通过口算就得出结果？

可以自己试一试吗？

  上面我们的计算好象很麻烦，其实现在总结一下就简单了。

  看下一个题目：

27 × 12 = 3×（10-1）× 12 = 3 ×（120- 12）  = 3 × 108 = 324   

36 × 12 = 4×（10-1）× 12 = 4 ×（120- 12）  = 4 × 108 = 432  

发现什么规律没有？

下面的题目好象不用算了，都是把前面的数加1再乘108  

45 × 12 = 5 × 108 = 540；

54 × 12 = 6 × 108 = 648  

63 × 12 = 7 × 108 = 756 

 72 × 12 = 8 × 108 = 864 

 81 × 12 = 9 × 108 = 972  

我们再看看上面的计算结果，发现什么了吗？

  我们把一个两位数乘法变成了一位数的乘法。

其中一个乘数的个位和十位的和等于9，这样变化以后的数中一位数的那个乘数，都是正好比前面的乘数大1。

  而后面的一个两位数也有一个特点，就是一个连续数（12），1和2是连续的。

  能不能找到一种更简便的计算方法呢？

为了找到一种更简便的算法。

我在这里引入一个新的名词——补数。

  什么是补数呢？

1 + 9 = 10；2 + 8 = 10；3 + 7 = 10；4 + 6 = 10；5 + 5 = 10；  6 + 4 = 10；7 + 3 = 10；8 + 2 = 10；9 + 1 = 10；  

从上面的几个加法可见，如果两个数的和等于10，那么这两个数就互为补数。

  也就是说1和9为补数，2和8为补数，3和7为补数，4和6为补数，5的补数还是5就不用记了，只要记4个就行了。

  现在我们再看看上面的计算结果：

拿一个 63 × 12 = 7 × 108 = 756 举例吧， 结果的最前面一个数是7（不用管它是什么位），是不是正好等于第一个乘数（63）中前面的数加6 + 1 = 7  

结果的后两位怎么算出来的呢？

如果拿这个7去乘后面那个乘数（12）的最后一位的补数（8）会是什么？

 7 × 8 = 56  

呵呵，我们现在不用再分解了，只要把第一个乘数（63）中前面的数加1就是结果的最前面的数，再把这个数乘以后面那个乘数（12）的最后一位的补数（8）就得到结果的后两位。

这样行吗？

如果行的话，那可真是太快了，真的是速算了。

 试一试其他的题：

18 × 12 =  

第一个乘数（18）的前面的数加1：

1 + 1 =2 ——结果最前面的数  拿2去乘第二个乘数（12）的后面的数

（2）的补数（8）：

2×8=16  结果就是 216。

看一看上面对吗？

  27 × 12 =  

结果最前面的数——2 + 1 =3  结果最后面的数——3 ×8 = 24  结果 324 

 36 × 12 =  

结果最前面的数——3 + 1 =4  结果最后面的数——4 ×8 = 32  结果 432  

45 × 12 =  

结果最前面的数——4 + 1 =5  结果最后面的数——5 ×8 = 40  结果 540  

54 × 12 =  

结果最前面的数——5 + 1 =6  结果最后面的数——6 ×8 = 48  结果 648 

 63 × 12 =  

结果最前面的数——6 + 1 =7  结果最后面的数——7 ×8 = 56  结果 756  

72 × 12 =  

结果最前面的数——7 + 1 =8  结果最后面的数——8 ×8 = 64  结果 864  

81 × 12 =  

结果最前面的数——8 + 1 =9  结果最后面的数——9 ×8 = 72  结果 972  

计算结果是不是和上面的方法一样？

  从结果中还能看出什么？

是不是计算结果的三位数的和还是等于9或者是9的倍数？

  自己算一下看是不是？

下面我给你们出几个题，看你们掌握了方法没有。

 54 × 34 = ？

 18 × 78 = ？

 36 × 56 = ？

72 × 89 = ？

 45 × 67 = ？

 27 × 45 = ？

 81 × 23 = ？

通过这个题目，能从一个题目中举一反三，举一反十  从中发现规律性的东西。

这样不需要做太多的题目就可以快速掌握数学的加、减、乘、除运算。

上面的题目如果再扩展一下，把后面的连续数扩大到多位数。

  如：

123、234、345、2345、34567、123456、23456789等等

看一看有没有什么运算规律，或许你们都能找出快速的计算方法。

  如果能的话，象  63 × 2345678 =  

这样的题目你们用口算就能快速计算出结果来。

乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：

15×17  

15 + 7 = 22  

5 × 7 = 35  

---------------  255  

即15×17 = 255  

解释：

15×17  

=15 ×（10 + 7）  

=15 × 10 + 15 × 7  

=150 + （10 + 5）× 7  

=150 + 70 + 5 × 7  

=（150 + 70）+（5 × 7）  

为了提高速度，熟练以后可以直接用“15 + 7”，而不用“150 + 70”。

例：

17 × 19  

17 + 9 = 26  

7 × 9 = 63

即260 + 63 = 323 

十位数是1的两位数相乘 

乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：

15×17 =

15 + 7 = 22 

5 × 7 = 35 --------------- 255 

即15×17 = 255 

解释：

15×17 =

15 ×（10 + 7） =

15 × 10 + 15 × 7 =150 + （10 + 5）× 7 =150 + 70 + 5 × 7 =（150 + 70）+（5 × 7） 

为了提高速度，熟练以后可以直接用“15 + 7”，而不用“150 + 70”。

例：

17 × 19 =

17 + 9 = 26 

7 × 9 = 63 

即260 + 63 = 323 

二、个位是1的两位数相乘  

十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。

例：

51 × 31  

50 × 30 = 1500  

50 + 30 = 80  

------------------  1580  

因为1 × 1 = 1 ，所以后一位一定是1，在得数的后面添上1，即1581。

数字“0”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了。

例：

81 × 91  

80 × 90 = 7200  

80 + 90 = 170  

------------------  7370  

------------------  7371  

原理大家自己理解就可以了。

三、十位相同个位不同的两位数相乘  

被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上去。

例：

43 × 46  

（43 + 6）× 40 = 1960 

3 × 6 = 18  

----------------------  1978  

例：

89 × 87  

（89 + 7）× 80 = 7680  

9 × 7 = 63  

----------------------  7743  

四、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘  

十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

例：

56 × 54  

（5 + 1） × 5 = 30-- 

6 × 4 = 24  

----------------------  3024  

例:

 73 × 77  

（7 + 1） × 7 = 56--  

3 × 7 = 21  

----------------------  5621  

例:

 21 × 29

（2 + 1） × 2 = 6--  

1 × 9 = 9  

----------------------  609  

“--”代表十位和个位，因为两位数的首位相乘得数的后面是两个零，请大家明白，不要忘了，这点是很容易被忽略的。

五、首位相同，尾数和不等于10的两位数相乘  

两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

例：

56 × 58  

5 × 5 = 25--  

（6 + 8 ）× 5 = 7--  

6 × 8 = 48  

----------------------  3248  

得数的排序是右对齐，即向个位对齐。

这个原则很重要。

六、被乘数首尾相同，乘数首尾和是10的两位数相乘。

乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

例：

 66 × 37  

（3 + 1）× 6 = 24--  

6 × 7 = 42  

----------------------  2442 

例：

 99 × 19  

（1 + 1）× 9 = 18--  

9 × 9 = 81  

----------------------  1881  

七、被乘数首尾和是10，乘数首尾相同的两位数相乘  

两首位相乘的积加上乘数的个位数，得数作为前积，两尾数相乘，得数作为后积，没有十位补0。

例：

46 × 99  

4 × 9 + 9 = 45--  

6 × 9 = 54  

-------------------  4554  

例:

82 × 33  

8 × 3 + 3 = 27--  

2 × 3 = 6  

-------------------  2706  

八、两首位和是10，两尾数相同的两位数相乘。

两首位相乘，积加上一个尾数，得数作为前积，两尾数相乘（即尾数的平方），得数作为后积，没有十位补0。

例：

78 × 38  

7 × 3 + 8 = 29--

8 × 8 = 64  

-------------------  2964  

例：

23 × 83  

2 × 8 + 3 = 19--  

3 × 3 = 9  

--------------------  1909  

九、任意两位数乘法  

方法：

尾数相乘，对角相乘再相加，首数相乘  

【例】 3 7  X 6 2  =

---------  

2 2 9 4  

（1）尾数相乘7X2=14（满十进位）  

（2）对角相乘3X2=6；7X6=42，两积相加6+42=48（满十进位）8+1=9  

（3）首数相乘3X6=18加上十位进上的4为18+4=22  

（4）把计算结果相连即为所求结果  

---------  

2 2 9 4  

一、两个20以内数的乘法 

两个20以内数相乘,将一数的个位数与另一个数相加乘以10,然后再加两个尾数的积,就是应求的得数。

如12×13＝?

计算程序是将12的尾数2,加至13里,13加2等于15,15×10＝150,然后加各个尾数的积得156,就是应求的积数。

二、一个数首尾互补且另一个数首尾相同的乘法

一个数首尾互补,而另一个数首尾相同,其计算方法是:

头加1,然后头乘头为前积,尾乘尾为后积,两积相连为乘积。

如26×24＝？

计算程序是:

被乘数26的头加1等于3,然后头乘头,就是3×2＝6,尾乘尾6×4＝24,相连为624。

如37×33＝？

计算程序是（3＋1）×3×100＋7×3＝1221。

三、首同尾非互补的乘法 

两个十位数相乘,首位数相同,而两个尾数非互补,计算方法:

头加1,头乘头,尾乘尾,把两个积连接起来。

再看尾和尾的和比10大几还是小几,大几就加几个首位数,小几就减掉几个首位数。

加减的位置是:

一位在十位加减,两位在百位加减。

如36×35＝1260,计算时（3＋1）×3＝12 6×5＝30 相连为1230 6＋5＝11,比10大1,就加一个首位3,一位在十位加，1230＋30＝1260 36×35就得1260。

再如36×32＝1152,程序是（3＋1）×3＝12,6×2＝12,12与12相连为1212,6＋2＝8,比10小2减两个3,3×2＝6,一位在十位减,1212－60就得1152。

四、两个头互补尾相同的乘法 

两个十位数互补,两个尾数相同,其计算方法是:

头乘头后加尾数为前积,尾自乘为后积。

如48×68＝3264。

计算程序是4×6＝24 24＋8＝32 32为前积,8×8＝64为后积,两积相连就得3264。

五、乘数加倍,加半或减半的乘法 

在首同尾互补的计算上,可以引深一步就是乘数可加倍,加半倍,也可减半计算,但是:

加倍、加半或减半都不能有进位数或出现小数,如48×42,可以将乘数42加倍位84,也可以减半位21,也可加半倍位63。

48×21＝1008,48×63＝3024，48×84=4032。

有进位数的不能算。

如87×83＝7221,将83加倍166,或减半41.5,这都不能按规定的方法计算。

六、一数相同一数非互补的乘法 

两位数相乘,一数的和非互补,另一数相同,方法是:

头加1,头乘头,尾乘尾,将两积连接起来后,再看被乘数横加之和比10大几就加几个乘数首。

比10小几就减几个乘数首,加减位置:

一位数十位加减,两位数百位加减。

如65×77＝5005,计算程序是（6＋1）×7＝49，5×7＝35,相连为4935,6＋5＝11,比10大1,加一个7,一位数十位加。

4935＋70＝5005  

七、两头非互补两尾相同的乘法 

两个头非互补,两个尾相同,其计算方法是:

头乘头加尾数,尾自乘。

两积连接起来后,再看两个头的和比10大几或小几,比10大几就加几个尾数,小几就减几个尾数,加减位置:

一位数十位加减,两位数百位加减。

如67×87＝5829,计算程序是:

6×8＋7＝55,7×7＝49,相连为5549,6＋8＝14,比10大4,就加四个7,4×7＝28,两位数百位加,5549＋280＝5829

八、任意两位数头加1乘法 

任意两个十位数相乘,都可按头加1方法计算:

头加1后,头乘头,尾乘尾,将两个积连接起来后,有两比,这两比是非常关键的,必须牢记。

第一是比首,就是被乘数首比乘数首小几或大几,大几就加几个乘数尾,小几就减几个乘数尾。

第二是比两个尾数的和比10大几或小几,大几就加几个乘数首,小几就减几个乘数首。

加减位置是:

一位数十位加减,两位数百位加减。

如:

35×28＝980,计算程序是:

（3＋1）×2＝8,5×8＝40,相连为840,这不是应求的积数,还有两比,一是比首,3比2大1,就要加一个乘数尾,加8,二是比尾,5＋8＝13,13比10大3,就加3个乘数首,3×2＝6,8＋6＝14,两位数百位加,840＋140＝980。

再如:

28×35＝980, 计算程序是:

（2＋1）×3＝9,8×5＝40,相连位940,一是比首,2比3小1,减一个乘数尾,减5,二是比尾,8＋5＝13,比10大3,加三个3,3×3＝9,9－5＝4,一位数十位加,940＋40＝980。

补数的概念与应用  

补数的概念：

补数是指从10、100、1000……中减去某一数后所剩下的数。

例如10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的补数是9。

补数的应用：

在速算方法中将很常用到补数。

例如求两个接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。

平方

一、求11～19 的平方  

底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：

17 × 17  

17 ＋ 7 = 24-  

7 × 7 = 49  

---------------  289  

参阅乘法速算中的“十位是1 的两位相乘”  

二、个位是1 的两位数的平方  

底数的十位乘以十位（即十位的平方），得为前积，底数的十位加十位（即十位乘以2），得数为后积，在个位加1。

例：

71 × 71  

7 × 7 = 49--

7 × 2 = 14-  

-----------------  5041  

参阅乘法速算中的“个位数是1的两位数相乘”  

三、个位是5 的两位数的平方  

十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。

例：

35 × 35  

（3 + 1）× 3 = 12--  25  

----------------------  1225  

四、21～50 的两位数的平方  

在这个范围内有四个数字是个关键，在求25～50之间的两数的平方时，若把它们记住了，就可以很省事了。

它们是：

21 × 21 = 441  

22 × 22 = 484  

23 × 23 = 529  

24 × 24 = 576  

求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。

例：

37 × 37  

37 - 25 = 12--  

（50 - 37）^2 = 169

----------------------  1369  

注意：

底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十位和个位。

例：

26 × 26  

26 - 25 = 1--  

（50-26）^2 = 576  

-------------------  676  

五、任意两位数及三位平方速算  

方法:

尾数的平方,首数乘尾数扩大2倍,首数的平方  

[例] 2 3  X 2 3  =

---------  

5 2 9  

（1）尾数的平方3X3=9（满十进位）  

（2）首尾数相乘2X3=6扩大两倍为12写在十位上（满十进位）

（3）首数的平方2X2=4加上十位进上的1为5  

（4）把计算结果相连即为所求结果 

六、三位数的平方与两位数的平方速算方法相同  

[例] 1 3 2  X 1 3 2  =

------------  

1 7 4 2 4  

（1）尾数的平方2X2=4写在个位  

（2）首尾数相乘13X2=26扩大2倍为52写在个位上（满十进位）  

（3）首数的平方13X13=169加上十位进上的5为174  

（4）把计算结果相连即为所求结果〖注意：

三位数的首数指前两位数字！

〗

七、大数的平方速算  

方法：

把题目与100相差，相差数称之为差数；先算差数的平方写在个位和十位上（缺位补零），再用题目减去差数得一结果；最后把两结果相连即为所求结果  

【例】 9 4  X 9 4=  

-----------  

8 8 3 6  

（1）94与100相差为6  

（2）差数6的平方36写在个位和十位上  

（3）用94减去差数6为88写在百位和千位上  

（4）把计算结果相连即为所求结果

除法

某数除以5、25、125时 

1、 被除数 ÷ 5 = 被除数 ÷ （10 ÷ 2） = 被除数 ÷ 10 × 2 = 被除数 × 2 ÷ 10 

2、 被除数 ÷ 25 = 被除数 × 4 ÷100 = 被除数 × 2 × 2 ÷100

 3、 被除数 ÷ 125 = 被除数 × 8 ÷100 = 被除数 × 2 × 2 × 2 ÷100 

在加、减、乘、除四则运算中除法是最麻烦的一项，即使使用速算法很多时候也要加上笔算才能更快更准地算出答案。

十进制与二进制

十进制转二进制

用2辗转相除至结果为1  

将余数和最后的1从下向上倒序写 就是结果  

例如302  

302/2 = 151 余0  

151/2 = 75 余1  

75/2 = 37 余1  

37/2 = 18 余1  

18/2 = 9 余0  

9/2 = 4 余1  

4/2 = 2 余0  

2/2 = 1 余0  

故二进制为100101110 

二进制转十进制  

从最后一位开始算，依次列为第0、1、2...位  

第n位的数（0或1）乘以2的n次方  

得到的结果