专题20正方形拔高题.docx

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专题20正方形拔高题

专题20正方形

阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．

正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．

【例3】如图，正方形ABCD中，E，F是AB，BC边上两点，且EFAEFC，DGEF于G，求证：

DGDA.

（重庆市竞赛试题）解题思路：

构造AEFC的线段是解本例的关键．

【例4】如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定HAF的大小，并证明你的结论．

（北京市竞赛试题）解题思路：

先猜测HAF的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．

求证：

（1）EAF450；

解题思路：

对于

（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于

（2），很容易

联想到直角三角形三边关系．

例6】已知：

正方形ABCD中，MAN450，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交

CB，DC（或它们的延长线）于点M,N．当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BMDNMN．

（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系？

写出猜想，并加以证明；

（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想．

黑龙江省中考试题）

能力训练

A级

1.如图，若四边形ABCD是正方形，CDE是等边三角形，则EAB的度数为.

（北京市竞赛试题）

2.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：

1ABBCCDDA；

2AOBOCODO,ACBD；

3AOCO,BODO,ACBD；

4ABBC,CDDA．

其中，能判定它是正方形的题设条件是.（把你认为正确的序号都填在横线上）

（浙江省中考试题）

则这两个正方形重叠部分的面积是

第1

题图

EA

D

A

C

BC第3题图

4.如图，

P是正方形ABCD内一点，将

ABP绕点B顺时针方向旋转至能与CBP重合，若

PB3，则

PP=

河南省中考试题）

5.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1,A2,An分别是正方形的中心，则n个正

方形重叠形成的重叠部分的面积和为（

12

A.cm

4

n2

B．cm

4

A3

A

A1

第5题图

C.

n1

4

2cm

D.

（1）ncm2

4

晋江市中考试题）

6.如图，以

连接AO，如果

A.12

A5

RtBCA的斜边BC为一边在

BCA的同侧作正方形BCEF，

AB4,AO62，则AC的长为（

B．8

C.43

D.82

7．如图，正方形

ABCD中，CEMN,MCE350，那么ANM是（

A.450

B．550

C.650

设正方形的中心为O，

浙江省竞赛试题）

D.750

8．如图，正方形ABCD的面积为256，积为200，则BE的值是（）

B．12

F在AD上，点E在AB的延长线上，

RtCEF的面

A．15

C．11

D．10

第7题图

第8题图

9．如图，在正方形

ABCD中，

E是AD边的中点，

BD与CE交于

AFBE．

F点，求证：

10.如图，在正方形

ABCD中，

E是AB边的中点，

F是AD上的一点，且AF1AD

4

求证：

CE平分BCF．

11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PEDC,PFBC,E,F分别是垂足．求证：

APEF．

（扬州市中考试题）

12.

（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CGBC），B,C,G在同一条直线上，M为

线段AE的中点．探究：

线段MD,MF的关系．

图2

图1

B级

1.如图，在四边形ABCD中，ADDC,ADCABC900，DEAB于E，若四边形

ABCD的面积为8，则DE的长为.

22102.如图，M是边长为1的正方形ABCD内一点，若MA2MB2,CMD900，则MCD

2

北京市竞赛试题）

3.如图，在RtABC中，C900,AC3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形

的中心为O，且OC42，则BC的长为

“希望杯”邀请赛试题）

4.如图：

边长一定的正方形ABCD，Q是CD上一动点，AQ交BD于M，过M作MNAQ交

AMMN；②MP1BD；

2

BC于N点，作NPBD于点P，连接NQ，下列结论：

①

7.如图，正方形ABCD中，AB8，Q是CD的中点，设DAQ，在CD上取一点P，使

BAP2，则CP的长度等于（）

A.1B．2C.3D.3

（“希望杯”邀请赛试题）

8.已知正方形ABCD中，M是AB中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE平分线于N（如图1）

（1）求证：

MDMN；

（2）若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上任意一点”其余条件不变（如图2），

（1）中结论是否成立？

如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图2，点M是AB的延长线上（除B点外）的任意一点，其他条件不变，则

（1）中结论是

否成立？

如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（临汾市中考试题）

9.已知0a1,0b1,求证：

a2b2（1a）2b2a2（1b）2（1a）2（1b）222．

10.如果，点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上，已知MCN的周长等于正方形ABCD周

“祖冲之杯”邀请赛试题）

长的一半，求MAN的度数．

11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH

对角线AE,CG分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：

AECG，且AECG．

北京市竞赛试题）

外作正方形ABRT和正方形

12.如图，正方形MNBC内有一点A，以AB,AC为边向ABC

ACPQ，连接RM,BP．求证：

BP//RM．

武汉市竞赛试题）

P

专题20正方形

例1①④⑤根示^AD上取AH=AE∙连EH•则ZΛHE=45∖Z/-Z//DE=22.5••则HE=HD•又VHE=HD>ΛE.故②不正确•又SKNS.m>S△血♦故③不正确・

汕--Jj）延£DM冬「E于\・连M・=•先证册AAUV直∕∖ENM∙再讦明ACD也ZiENF得FDINZDlZ=ZCFE=90\故MDMF且Mr）二IVfF

（2）⅛长Dvf至Z点•使DWMV•连FD∙FN,先址.明A.ADM9ΔE.VMIgtAD=EN∙ZMAD-ZMEN•则AD//EX.延KEN∙DC交于S点•则ZADC≡ZCSN=90∖ff.四边形FCSE中./FCS+ZFEN180β.Xv/FCS十ZFCD=18θ∖枚ZFEVZFC'D.∣⅛uEΔCDh^ΔKVE

••・（】）中知i论仍成立.

例3提水：

延长BC至点H∙使得CH=AE∙连结QE∙DF•由R^DA^Rt^D（HDE≈DH.进而擀证厶DEFMDFILRtΔDGE½RtΔDC7<

例J设AG=a.υG=b,AE=x.ED=y.則

（α÷fr,W=Λ÷y?

（D

12axfγ∙②

A（Ma—Λ一〉一6・半方得βt-2aj√F=y—2与一从

将②R人也^-2aτ-√-y-仙If

:

∙（CJIλ）2=X♦J・得a∖:

XJiF•?

•

VftJ÷√CH2+CP-FH∖

Λβ÷x=FH∙即DH+BFoFH∙

竝长CB至M∙使aW=D∕∕tjJ结AM∙由RtΔAB.W

^RtΔAD∕J.19AM=AH./MAB=ZHAD

∙∙∙ZMAH=ZMABIZBA"=/BAH+ZHAD-90：

再iEΔΛMF^ZiAHF.：

.AF^^HAF.

即ZHAF-JZMAH=451

例5ftl图•楚长CD至点E八使DEIBE∙连结AE.则ΔADE1MAABE

从ffti∙ZDAE1=ZBAE-AE1-AEt于是.ZME=SOlffΔΛEF和ZkZAElF中•

EF=RE-DF=EiD+DF-EIF∙则AAEmMEf

（2）如图^AEi上取-点M■使得AM=AM•连结M.DMN∙则

ΔABΛft≤ΔADM]∙ΔANM^ΔANM■

故/JMZADM.BM=DM1.MV-M1V.

∙∙∙.ZNUVf1=90\从而∙M∣V-MZDz÷NDrt

Λ.jMVBΛf+DN3・

例6（I）BM-DN=MN成匕如图■•把ZAND绕点八J（ft时针施转9OaJ9到MBE∙E9B.M三点共线，m∆DAN^ΔR4EtΛΛE≡AjV-=ZNAM45∖∕∖MΛM∙得Z∖AEMS≤

ZiAJVM.Λ.ME=M.V

∙∙∙ME=BE÷BM=DN÷BW

ΛDXfHW-M∙V

（2）DΛBM=MN.

如图b∙对于图2•连BD交AMFE■交A∙∖r于F■连EN,FM∙α∫进一步iiEW：

ΦΔCW∖的周长寻于正方形边长的2

2EΓ~βEt+DF;

32EN∙4AFM都为尊履直角二角形$

4

S.如二2SAK•

9.提斥：

Z∖ABEk2ΔIX'f∙λΔΓDF,iE明ZABE

ZnAF・90・.

10.延长CE交DAlJ长践于G.⅛EaflHJ=FG

11.提血连PC^PC-EE

12Λi）i<长DM交EF于N∙由^ADM^AENM.得DM=NM∙MF=*DN∙FD=FN∙故MD丄MF.Q.MD-MF.

⑵延长DM交CE于N•连结DF∙FN∙先证明CWM22ΔEXM.再证明ZiCDFOAENF.（1沖结论仍成立•

B级

1.Z√2L60∙提示，MV-MC（HM十册：

3.54.D5.C6・B7.B

8.M*,

（1）ΛΛD上JRJUΛF-/Uf-ZDFAf-ZMBV.由△DFMMMBU故DMMN.

（2）讦快同上.结论仍成立.

（3）在八D廷长线腺-AE.使DE=B,W可还明ADEM⅛2ΔMBN.故DM^MN.

9.

Λ⅛:

构造边长为1的止方形Ali（IKP为止方形ΛħCΓ）内一点•过F作FH//AB^AD于F•交BC于〃•作EG//AD交AB于民交CD]・G设Ah：

=a.ft⅛BE=1一G设AF≈b.则DF=1-6.

.∙∙PA=√ΣFr∙Pl理JPB=√（Γ=^F+Λf.PC=√z（l-α）,-（l→/.

PD∙√α1∙*（l-6）-.

又VPAIPB4PCIPDyzAC=2/2、：

•&題得堆・

10.MN=RM+DN.fil长CD至M'∙使MZDBM∙讦明ZSADAT仝Δ∕1BM∙Z∖ΛΛf∣∖,竺2M7∙则Z-VfAN=ZJVfAAr-yZχWrΛιW-15\

H・淡示，八边形八个内角分成冏蛆•毎组四个角都相等・

12•连结RN.MP.Z^VfPC⅛ΔH4C^ΛHΛN.则ΛB-附几又厶RVMS2ΔPCB.则RM-BP.从內典边形RBPM是平行四边底•故UP//RM