专题20正方形拔高题.docx

1、专题20正方形拔高题专题 20 正方形阅读与思考 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的 平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱 形的性质来研究正方形的有关问题正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形， 熟悉以下基本图形【例 3】如图，正方形 ABCD 中，E，F是 AB ， BC边上两点，且 EF AE FC，DG EF 于 G ，求证： DG DA .（重庆市竞赛试题） 解题思路 ：构造 AE FC 的线段是解本例的关键【例 4】 如图，正方形 A

2、BCD 被两条与边平行的线段 EF 、GH 分割成四个小矩形， P是 EF 与 GH 的交点，若矩形 PFCH 的面积恰是矩形 AGPE 面积的 2 倍，试确定 HAF 的大小，并证明你的 结论（北京市竞赛试题） 解题思路： 先猜测 HAF 的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的 关系求证：（1） EAF 450 ；解题思路 ：对于（ 1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（ 2），很容易联想到直角三角形三边关系例 6】已知 ：正方形 ABCD 中， MAN 450 ， MAN 绕点 A顺时针旋转，它的两边分别交CB， DC （或它们的延长线）于点

3、 M,N 当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时（如图 1），易证 BM DN MN （1）当 MAN 绕点 A旋转到 BM DN 时（如图 2），线段 BM,DN 和MN 之间有怎样的数量 关系？写出猜想，并加以证明；（2）当 MAN 绕点 A旋转到如图 3的位置时，线段 BM ,DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想黑龙江省中考试题）能力训练A级1. 如图，若四边形 ABCD 是正方形， CDE 是等边三角形，则 EAB 的度数为 .（北京市竞赛试题）2. 四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O ，给出以下题设条件：1AB BC CD DA ；2AO

4、 BO CO DO,AC BD ；3AO CO,BO DO,AC BD ；4AB BC,CD DA 其中，能判定它是正方形的题设条件是 . （把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）则这两个正方形重叠部分的面积是第1题图EADACBC 第 3 题图4.如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将ABP绕点 B 顺时针方向旋转至能与 CBP 重合，若PB 3 ，则PP =河南省中考试题）5.将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示摆放，点 A1,A2, An 分别是正方形的中心，则 n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 （12A . cm4n2B cm4A3AA1第 5 题图C.

5、n142 cmD. (1)ncm24晋江市中考试题）6. 如图，以连接 AO ，如果A . 12A5Rt BCA 的斜边 BC 为一边在BCA 的同侧作正方形 BCEF ，AB 4,AO 6 2 ，则 AC 的长为(B8C.4 3D. 8 27如图，正方形ABCD 中， CE MN, MCE 350 ，那么 ANM 是(A . 450B 550C. 650设正方形的中心为 O ，浙江省竞赛试题）D. 7508如图，正方形 ABCD 的面积为 256， 积为 200，则 BE的值是 ( )B 12F 在 AD 上，点 E 在 AB 的延长线上，Rt CEF 的面A15C11D10第7题图第8题图

6、9如图，在正方形ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BD与 CE交于AF BE F 点，求证：10. 如图，在正方形ABCD 中，E 是 AB 边的中点，F 是 AD 上的一点，且 AF 1 AD4求证： CE 平分 BCF 11. 如图，已知 P是正方形 ABCD对角线 BD上一点， PE DC,PF BC,E,F 分别是垂足 求证： AP EF (扬州市中考试题)12.（1）如图 1，已知正方形 ABCD 和正方形 CGEF （CG BC），B,C,G 在同一条直线上， M 为线段 AE 的中点探究：线段 MD,MF 的关系图2图1B级1. 如图，在四边形 ABCD中， AD DC, A

7、DC ABC 900，DE AB于 E ，若四边形ABCD 的面积为 8，则 DE 的长为 .2 2 1 0 2.如图， M 是边长为 1 的正方形 ABCD 内一点，若MA 2 MB 2 , CMD 900，则 MCD2北京市竞赛试题）3.如图，在 Rt ABC 中， C 900 , AC 3，以 AB 为一边向三角形外作正方形 ABEF ，正方形的中心为 O，且 OC 4 2，则 BC的长为 “希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形 ABCD ，Q是CD上一动点， AQ交BD于M ，过M 作MN AQ交AM MN ； MP 1 BD ；2BC于N点，作 NP BD于点 P，连接 N

8、Q ，下列结论：7.如图，正方形 ABCD中， AB 8 ， Q是CD的中点，设 DAQ ，在 CD上取一点 P，使BAP 2 ，则 CP 的长度等于 （ ）A . 1 B2 C. 3 D. 3（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形 ABCD中， M是AB中点， E是AB延长线上一点， MN DM 且交 CBE平分 线于 N （如图 1）（ 1）求证： MD MN ；（2）若将上述条件中的“ M 是 AB中点”改为“ M 是 AB上任意一点”其余条件不变（如图 2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图 2，点 M 是 AB的延长线上（除 B 点外）的任意

9、一点，其他条件不变，则（ 1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）9.已知 0 a 1,0 b 1, 求证：a2 b2 (1 a)2 b2 a2 (1 b)2 (1 a)2 (1 b)2 2 2 10.如果，点 M , N分别在正方形 ABCD的边BC,CD上，已知 MCN 的周长等于正方形 ABCD周“祖冲之杯”邀请赛试题）长的一半，求 MAN 的度数11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形 ABCDEFGH对角线 AE,CG 分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明： AE CG ，且 AE CG 北京市竞赛试题）

10、外作正方形 ABRT 和正方形12.如图，正方形 MNBC 内有一点 A ，以 AB,AC 为边向 ABCACPQ ，连接 RM ,BP 求证： BP/RM 武汉市竞赛试题）P专题20正方形例1根示AD上取AH = AE连EH则 ZHE=45 Z/- Z/DE= 22. 5则 HE= HD又VHE= HDE.故不正确又SKN S .mS血故不正确汕 -Jj )延 DM冬E于连M=先证 册AAUV直ENM再讦明ACD也ZiENF得FD INZDlZ= ZCFE = 90 故 MD MF 且 Mr) 二 IVfF(2)长Dvf至Z点使DW MV连FDFN,先址. 明 A.ADM 9 E.VM Ig

11、t AD = EN ZMAD - ZMEN则 AD/EX.延 K EN DC 交于 S 点则 ZADCZCSN=90 ff.四边形 FCSE 中./FCS+ ZFEN 180. X v /FCS 十 ZFCD = 18 枚 ZFEV ZFCD. uECDhKVE(】)中知i论仍成立.例3提水：延长BC至点H使得CH= AE连结QE DF由 RDARtD( H DE DH.进而擀 证厶 DEFM DFIL RtDGERtDC7例J 设 AG=a.G=b,AE=x.ED=y.則(fr,W=y? (D12axf A(M a 一一6半方得 t- 2ajF=y2与一从将R人也-2a-y- 仙I f: (

12、CJ I )2 =X J 得 a :X JiF ?VftJ CH2+CP-FHx=FH即 DH+BFoFH竝长 CB 至 M使 aW=DtjJ结 AM由 RtAB.WRtADJ.19 AM=AH./MAB=ZHADZMAH = ZMAB I ZBA =/BAH+ ZHAD -90：再iEMFZiAHF. ：.AFHAF.即 Z HAF- J ZMA H=451例5 ftl图楚长CD至点E八使 DEI BE连结 AE .则 ADE1 MAABE从 fftiZDAE1 =ZBAE-AE1 -AEt 于是.ZME=SOl ffEF 和ZkZAEl F 中EF= RE-DF=Ei D+ DF-EI F

13、则 AAEmMEf(2)如图AEi上取-点M 使得AM=AM连结 M.DMN则ABftADM ANMANM 故/JM ZADM .BM=DM1 .MV-M1 V. .ZNUVf1 =90 从而M V-MZ DzNDrt.jMV Bf+ DN3 例 6 (I)BM-DN=MN 成匕 如图把ZAND绕点八J(ft时针 施转 9OaJ9 到 MBE E9B. M 三点共线，mDANR4Et E AjV- = ZNAM 45M M得 ZAEMSZiAJVM.ME= M.V ME=BE BM= DN BWDX f HW-MV(2)D BM=MN.如图b对于图2连BD交AM FE交 Ar 于 F 连 EN

14、,FM进一步iiEW： CW的周长寻于正方形边长的 2g2EEt + DF;32EN4AFM都为尊履直角二角形$4S .如二2SAK 9.提斥：ZABEk2IXfDF,iE明ZABEZnAF 90.10.延长CE交DAlJ长践于G.EaflHJ=FG11.提血连 PC PC-EE12i)i长 DM交EF 于N由ADMAENM.得 DM =NMMF = *DNFD=FN故 MD丄MF.Q.MD -MF.延长DM交CE于N连结DFFN先证明CWM 22EXM.再证明ZiCDFOAENF. (1沖结论仍成立B 级1. Z2 L 60提示，MV-MC(HM 十册：3. 5 4. D 5. C 6 B

15、7. B8.M*,(1)D上JRJUF-/Uf-ZDFAf-ZMBV.由 DFMMMBU 故 DM MN.(2)讦快同上.结论仍成立.(3)在八D廷长线腺-AE.使DE=B,W可还明ADEM 2MBN.故 DMMN.9.:构造边长为1的止方形Ali(IK P为止方形C)内一点过F作FH /ABAD 于 F 交 BC 于 作 EG/ AD交AB于民交CD G设Ah：=a. ft BE= 1 一G 设 AFb.则 DF= 1-6.PA = Fr Pl 理J PB = (=F+f. PC = z(l-),-(l/.PD 1*(l-6)-.又 VPA I PB 4 PC I PDyzAC=2/2、：&題得堆10.MN=RM+DN.fil长 CD 至 M使 MZD BM 讦明 ZSADAT 仝 1BM Zf ,竺 2M7则 Z-VfAN=ZJVfAAr - y ZWrW-15H淡示，八边形八个内角分成冏蛆毎 组四个角都 相等12连结 RN. MP. ZVfPCH4CHN.则 B- 附几又厶RVMS2PCB.则RM- BP.从內典边形 RBPM是平行四边底故UP/RM