运筹学复习.docx
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运筹学复习
本科运筹学复习
一、复习思考
1.线性规划数学模型的结构及各要素的特征。
2.求解线性规划问题时其解可能出现哪几种结果，哪些结果反映建模时可能有错误？
3.什么是线性规划问题的标准形式？
如何将一个非标准形式的线性规划问题转化为标准形式？
4.单纯形表是如何工作的，如何确定进基和出基变量，如何进行迭代计算的？
5.如何在单纯形表上去判别问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解？
6.在确定初始可行基时，什么情况下要在约束条件中添加人工变量？
7.线性规划原问题与对偶问题之间的形式对应关系。
8.什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别？
9.最小元素法确定运输问题的初始基可行解的基本思路。
10.为什么用伏格尔法求出的运输问题的初始基可行解，较之用最小元素法确定的更接近于最优解？
11.求解整数规划时先不考虑变量的整数约束条件，而求解其相应的线性规划问题，然后对求解结果中为非整数的变量凑整，这种方法可行吗？
为什么？
12.为什么求解目标规划时要提出满意解的概念，它与最优解有什么区别？
13.多阶段决策问题有哪些特征？
14.建立动态规划模型时应注意几个步骤？
15.图论中的图（Graph）与一般的工程图、几何图的主要区别。
16.图论中的树图（Tree）的特点。
17.对于网络流问题，什么是增广链，为什么只有不存在关于可行流f*的增广链时，f*即为最大流？
18.什么是网络的重心、网络的中心？
二、判断题，判断下列说法是否正确
1.线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
√
2.线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
×
3.如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的唯一一个点。
×
4.用单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。
√
5.对一个有n个变量、m个约束条件的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为Cnm个。
×
6.单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解。
√
7.对偶问题的对偶问题一定是原问题。
√
8.线性规划原问题有可行解则对偶问题一定有可行解。
×
9.若某种资源的影子价格等于C，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5C。
×
10.按最小元素法（或伏格尔法）给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出而且仅能找出唯一的闭回路。
√
11.用位势法求检验数时，位势不同则求出的检验数一定不同。
×
12.指派问题效率矩阵的每个元素都乘上一个常数k，将不影响最优指派方案。
√
13.目标规划问题中的正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值。
×
14.目标规划模型中，应该同时包含绝对约束条件和目标约束条件。
×
15.动态规划问题第k+1阶段的状态Sk+1由第k阶段的决策uk唯一确定。
×
16.采用顺序解法与逆序解法求解一个动态规划问题，将求出不同的最优解。
×
17.序列5，4，3，2，1可以是某个简单图的点的次的序列。
×
18.序列6，6，5，5，3，3可以是某个图的点的次的序列。
√
19.给定图G=（V，E），则G一定有生成树。
×
20.在任一图G中，当点集合V确定后，树图（Tree）是G中边数最少的连通图。
√
21.网络的中心或重心一定唯一。
×
22.求网络最大流问题可以归结为一个线性规划问题。
√
三、单项选择题（将唯一正确答案前面的字母填入题后的括号里。
）
如下是某个目标函数极大化的线性规划问题的初始单纯形表和采用单纯形法迭代至某步的单纯形表，试确定表中括弧里的未知数a～j的值。
基
解
x1
x2
x3
x4
x5
x4
6
（b）
（c）
（d）
1
0
x5
1
-1
3
（e）
0
1
cj-zj
（a）
-1
2
0
0
…………………………………………………
x1
（f）
（g）
3
-1
1/2
0
x5
4
（h）
（i）
1
1/2
1
cj-zj
0
-7
（j）
-1
0
1、a=（A）；A.2B.3C.4D.5
2、b=（B）；A.1B.2C.3D.4
3、c=（C）；A.2B.4C.6D.8
4、d=（A）；A.-2B.-3C.-4D.-5
5、e=（A）；A.2B.3C.4D.5
6、f=（B）；A.2B.3C.4D.5
7、g=（B）；A.0B.1C.2D.3
8、h=（A）；A.0B.1C.2D.3
9、i=（C）；A.2B.4C.6D.8
10、j=（C）；A.2B.3C.4D.5
四、分析、建模、计算题
1、某木材公司经营的木材贮存在仓库中，最大贮存量为20万米3。
由于木材价格随季节变化，该公司于每季初购进木材，一部分当季出售，一部分贮存以后出售。
贮存费为a+bu，其中a=7元/米3，b=10元/米3/季，u为贮存的季数。
由于木材久贮易损，因此当年所有库存木材应于秋末售完。
各季木材单价及销量如下表所示。
为获全年最大利润，该公司各季应分别购销多少木材？
试建立线性规划数学模型（不求解）。
季
购进价格（元/米3）
售出价格（元/米3）
最大销售量（万米3）
冬
春
夏
秋
310
325
348
340
321
333
352
344
10
14
20
16
提示：
各季采购的木材数量与第i季采购用于第j季销售的木材数量分别设置变量。
全年最大利润=总销售量×售出价格-总采购量×购进价格-总贮存费。
答题要点：
决策变量选取；目标确定；约束条件分析；数学模型。
解：
首先将问题数据整理得如下存储季数对应的存储费用
每米3木材存储季数
存储一季
存储两季
存储三季
每米3木材存储费用
17元/米3
27元/米3
37元/米3
a.决策变量是决策者可以自主控制的变量，经分析应选择
Xij——表示第i季购进而在第j季出售的木材数量（米3）为决策变量（其i，j=1，2，3，4分别表冬，春，夏，秋四季）共有10个变量。
b.问题的目标应为全年总利润，优化方向为最大化，即有如下目标函数：
MaxZ=321X11+333（X12+X22）+352（X13+X23+X33）+344（X14+X24+X34+X44）
-[310（X11+X12+X13+X14）+325（X22+X23+X24）+348（X33+X34）+340X44]
-[17（X12+X23+X34）+27（X13+X24）+37X14]
c.该木材购销优化问题受两方面的因素限制：
1）各季最大贮存量限制：
X11+X12+X13+X14≤200000第一季最大贮存量限制
X12+X13+X14+X22+X23+X24≤200000第二季最大贮存量限制
X13+X14+X23+X24+X33+X34≤200000第三季最大贮存量限制
X14+X24+X34+X44≤200000第四季最大贮存量限制
2）各季最大销售量限制：
X11≤100000第一季最大销售量限制
X12+X22≤140000第二季最大销售量限制
X13+X23+X33≤200000第三季最大销售量限制
X14+X24+X34+X44≤160000第四季最大销售量限制
d.综合上述，得如下该问题的线性规划数学模型：
MaxZ=321X11+333（X12+X22）+352（X13+X23+X33）+344（X14+X24+X34+X44）
-[310（X11+X12+X13+X14）+325（X22+X23+X24）+348（X33+X34）+340X44]
-[17（X12+X23+X34）+27（X13+X24）+37X14]
Subjectto：
X11+X12+X13+X14≤200000
X12+X13+X14+X22+X23+X24≤200000
X13+X14+X23+X24+X33+X34≤200000
X14+X24+X34+X44≤200000
X11≤100000
X12+X22≤140000
X13+X23+X33≤200000
X14+X24+X34+X44≤160000
Xij≥0（i，j=1，2，3，4）
2、某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。
现有五种饲料，每千克营养成分含量及单价如表所示，要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。
建立线性规划数学模型（不求解）。
饲料
蛋白质（克）
矿物质（克）
维生素（毫克）
价格（元/千克）
1
2
3
4
5
3
2
1
6
18
1
0.5
0.2
2
0.5
0.5
1.0
0.2
2
0.8
0.2
0.7
0.4
0.3
0.8
解：
该问题是需要解决在保证每头动物每天获取对三种生长营养的条件下，如何选用五种饲料的用量而组成混合饲料来饲养动物，其目标是追求混合饲料的总成本最小。
设决策变量：
Xi——表示第i种饲料选用的数量（i=1，2，3，4，5）
目标函数：
总成本Z=0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5
约束条件：
蛋白质约束3X1+2X2+X3+6X4+18X5≥700
矿物质约束X1+0.5X2+0.2X3+2X4+0.5X5≥30
维生素约束0.5X1+X2+0.2X3+2X4+0.8X5≥100
非负约束X1，X2，X3，X4，X5≥0
由以上分析可得该问题的线性规划模型如下：
MinZ=0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5
3X1+2X2+X3+6X4+18X5≥700
S.T.X1+0.5X2+0.2X3+2X4+0.5X5≥30
0.5X1+X2+0.2X3+2X4+0.8X5≥100
X1，X2，X3，X4，X5≥0
电视机
生产线
单耗（小时/台）
AB
生产线有效工作时间（小时/每月）
装配线
调试线
12
21
400
500
最大需求量（台）
220180
单位利润（百元/台）
32
3、某彩色电视机组装工厂，生产A、B两种规格电视机。
装配工作分别需在装配线和调试线上完成，有关数据如下表：
如何在需求条件下充分发挥生产线能力，使总利润最大？
1）建立问题的线性规划数学模型；
2）图解问题；
3）写出该问题的对偶问题数学模型；
4）图解求调试线的影子价格；
5）如果装配线有效工作时间增加20小时，生产方案又如何？
6）如果电视机A的单位利润增加2（百元/台），生产方案又如何？
解：
1）设决策变量：
A，B分别表示两种规格电视机的生产量，目标为追求总利润最大化，则有线性规划模型如下：
MaxZ=3A+2B
A+2B≤400
2A+B≤500
S.T.A≤220
B≤180
A，B≥0
2）设对偶变量：
Y1，Y2，Y3，Y4则其对偶问题为：
MinW=400Y1+500Y2+220Y3+180Y4
Y1+2Y2+Y3≥3
S.T.2Y1+Y2+Y4≥2
Y1，Y2，Y3，Y4≥0
3）采用图解法求解原问题如下：
从图解可知D点为问题的最优解
解方程组A+2B=400
2A+B=500
可得：
（A，B）=（200，100）
即最优生产方案为：
电视机A生产200台
电视机B生产100台
这样每月可获最大利润：
800（百元）
4）图解求调试线的影子价格
解：
图解表明，当调试线有效工作
时间增加10小时时，最优解改变
为D1点，解方程组：
A+2B=400
2A+B=510
得新的最优解D1（203.3，96.6）
最大利润Z1≌803.1（百元）
故调试线的影子价格为：
（803.1–800）/10≌0.31（百元/小时）。
5）装配线有效工作时间增加20小时
解：
图解表明，当装配线有效工作时间增加20小时时，最优解改变为D2点，解方程组：
A+2B=420
2A+B=500
得新的最优解D2（193.3，113.3），最大利润Z2≌806.5（百元）。
6）如果电视机A的单位利润增加2（百元/台）
解：
此时问题的目标函数改变为
Z3=5A+2B
作出目标函数等值线如图，可解得此时
最优解将改变为点D3
解方程组
2A+B=500
A=220
得D3=（220，60）
最优生产方案为：
电视机A生产220台
电视机B生产60台
可获最大利润Z3=1280（百元）。
4、一农场有3万亩农田，欲栽种玉米、大豆和小麦三种农作物。
各种作物每亩需施化肥分别为0.12吨、0.20吨、0.15吨。
预计秋后玉米每亩可收获500千克，售价为0.24元/千克，大豆每亩可收获200千克，售价为1.20元/千克，小麦每亩可收获300千克，售价为0.70元/千克。
农场年初规划时考虑如下几个方面：
P1：
年终收益尽可能达到并超过350万元；
P2：
总产量最好不低于1.25万吨；
P3：
小麦产量以0.5万吨为宜；
P4：
大豆产量尽量不少于0.2万吨；
P5：
玉米产量最好不超过0.6万吨；
P6：
农场现能提供5000吨化肥；若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购量俞少俞好。
试就该农场生产计划建立数学模型（不需求解）。
（15分）
解：
分析：
该农场有六个决策目标，因此可归结为一个多目标最优决策问题。
（1）设决策变量：
X1，X2，X3分别表示玉米、大豆和小麦三种农作物的栽种面积（亩）；
目标偏差变量：
di+，di-，（i=1，2，…，6）
（2）约束条件：
绝对约束：
X1+X2+X3≤3——————栽种总面积约束
目标约束：
P1：
0.24×5X1+1.2×2X2+0.7×3X3+d1--d1+=35000（百元）——收益目标约束
P2：
0.5X1+0.2X2+0.3X3+d2--d2+=12500（吨）——总产量目标约束
P3：
0.3X3+d3--d3+=5000（吨）——小麦产量目标约束
P4：
0.2X2+d4--d4+=2000（吨）——大豆产量目标约束
P5：
0.5X1+d5--d5+=6000（吨）——玉米产量目标约束
P6：
0.12X1+0.2X2+0.15X3+d6--d6+=5000（吨）——化肥目标约束
非负约束：
X1，X2，X3，di+，di-≥0（i=1，2，…，6）
（3）由以上分析，根据农场决策的六个目标，有如下目标规划模型：
MinZ=P1d1-+P2d2-+P3（d3-+d3+）+P4d4++P5d5++P6d6+
X1+X2+X3≤3
1.2X1+2.4X2+2.1X3+d1--d1+=35000
0.5X1+0.2X2+0.3X3+d2--d2+=12500
s.t.0.3X3+d3--d3+=5000
0.2X2+d4--d4+=2000
0.5X1+d5--d5+=6000
0.12X1+0.2X2+0.15X3+d6--d6+=5000
X1，X2，X3，di+，di-≥0（i=1，2，…，6）
5、下表给出了各个产地和销地的产量和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试求最优运输方案及最小运价。
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
9
4
5
3
9
7
8
4
6
7
5
2
3
3
5
销量
1
3
2
5
11
解：
a.建立运输问题作业表，采用较简单的最小元素法确定初始调运方案如下表：
产地
销地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
0
3
A2
1
2
3
A3
0
5
5
销量
1
3
2
5
b.采用位势法计算以上调运方案的检验数如下表：
产地
销地
B1
B2
B3
B4
位势Ui
A1
2
3
1
0
0
A2
1
9
2
4
-3
A3
0
6
1
5
-2
位势Vj
7
3
7
4
上表中各非基变量的检验数均有ij＞0，可知所得初始调运方案即为最优方案。
最小总运费为MinZ=3×3+0×7+1×4+2×4+0×5+5×2=31
项目，利润表
（百万元）
投资额（百万元）
0
1
2
3
4
A
B
C
0
0
0
2
2
4
4
4
8
9
6
12
12
8
13
6、某公司有资金4百万元，可向A，B，C三个项目投资，已知各个项目不同投资额的相应利润值如表所示，问公司应该如何分配投资资金可使总利润最大，试用动态规划方法分析求解。
（20分）
解：
（1）阶段k=1，2，3，分别表示项目A，B，C；
（2）状态变量Sk：
第k阶段投资时所拥有可供投资的总资金量；
（3）决策变量Uk：
第k阶段的投资额，决策集合：
0≤Uk≤Sk；
（4）状态转移方程：
Sk+1=Sk–Uk；
（5）阶段利润g（Uk）如利润表；
（6）定义fk（Sk）——第k阶段投资时所拥有可供投资的总资金量为Sk时，第k至第3阶段的最大投资总利润：
（7）动态方程：
fk（Sk）=max[g（Uk）+fk+1（Sk+1）]k=3，2，1
f4（S4）=0
（9）求解以上动态方程：
k=3时
U3
S3
g（U3）+f4（S4）
f3（S3）
U*3
0
1
2
3
4
0
0
0
0
1
0
4
4
1
2
0
4
8
8
2
3
0
4
8
12
12
3
4
0
4
8
12
13
13
4
k=2时
U2
S2
g（U2）+f3（S3）
f2（S2）
U*2
0
1
2
3
4
0
0+0
0
0
1
0+4
2+0
4
0
2
0+8
2+4
4+0
8
0
3
0+12
2+8
4+4
6+0
12
0
4
0+13
2+12
4+8
6+4
8+0
14
1
k=1时，此时S1=4
U1
S1
g（U1）+f2（S2）
f1（S1）
U*1
0
1
2
3
4
4
0+14
2+12
4+8
9+4
12+0
14
0，1
答：
由此，得到如下投资方案，各方案均可获得总利润14（百万元）
投资额（百万元）
项目A
项目B
项目C
总利润
方案1
0
1
3
14
方案2
1
0
3
14
7、一家翻译公司有4名翻译员，现在有4本不同的图书需要翻译，已知这4名翻译员翻译各书的时间如下表所示：
请为该翻译公司确定最佳的指派策略，使其4名翻译员翻译出这4本不同的图书所需时间总和最少。
（10分）
图书
翻译员
A
B
C
D
甲
7
9
10
12
乙
13
12
16
17
丙
15
16
14
13
丁
11
12
15
16
解：
问题分析——此问题是典型的标准形式的指派问题，因此，采用匈牙利法求解如下。
求解过程
效率矩阵：
7
9
10
变换
12
13
12
16
17
15
16
14
13
11
12
15
16
0
2
3
5
3
0
4
5
2
3
1
0
0
1
4
5
试指派：
0
2
3
√
5
3
0
4
变换
5
2
3
1
0
√
0
1
4
√
5
0
1
2
√
√
4
4
0
4
5
3
3
1
0
√
0
√
0
3
√
4
解矩阵=
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
2
4
0
2
3
5
5
1
0
0
0
1
2
答：
根据解矩阵可知翻译公司的最佳指派为：
甲——翻译图书C，乙——翻译图书B，丙——翻译图书D，丁——翻译
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