小升初数学必备专题之数论模块.docx

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小升初数学必备专题之数论模块

目录

整除5

奇数与偶数及奇偶性的应用9

质数、合数与分解质因数12

因数与倍数17

余数21

数论综合一24

进位制与取整符号27

数论综合二30

数论综合三32

数论知识网络

整除

考试要求：

知识模块：

一．整除——约数和倍数

一般地，如a、b、c为整数，b≠0且a÷b=c,即整数a除以b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数为0）,我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a），记作b︱a.否则，称之为a不能被b整除（或者说b不能整除a），记作b

a.

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b叫做a的约数。

相关知识衔接

整除——在自然数范围内两个数相除，除的商是整数而没有余数的情形。

除尽——两个数相除，所得的商是整数或有限小数。

整除是除尽的一种特殊情况。

除不尽——一个整数除以另一个非零自然数，得到一个无限小数时的情形。

二．数的整除性质

性质1：

如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

[和/差的整除性]

即：

如果c︱a，c︱b，那么c︱（a＋b）或c︱（a－b）。

性质2：

如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.[积的整除性]

即：

如果bc︱a，那么b︱a，c︱a。

性质3：

如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：

如果b︱a，c︱a，且（b，c）=1，那么bc︱a。

性质4：

如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

[整除的传递性]

即：

如果c︱b，b︱a，那么c︱a。

三.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：

个位数字是0、2、4、6、8的整数.

②能被5整除的数的特征：

个位数字是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：

各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：

末两位数能被4（或25）整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：

末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：

这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字

之和的差（大减小）是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：

一个整数的末三位数与末三位以前的数字

所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

教学一对一：

1.下面有9个自然数：

14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。

在这些自然数中，请问：

（1）有哪些数能被2整除？

哪些能被4整除？

哪些能被8整除？

（2）有哪些数能被5整除？

哪些能被25整除？

哪些能被125整除？

2.有如下9个三位数：

452，387，228，975，525，882，715，775，837。

这些数中哪些能被3整除？

哪些能被9整除？

哪些能同时被2和3整除？

3.一个三位数

的十位数字未知。

请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值：

（1）如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于多少？

（2）如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于多少？

（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“□”可能等于多少？

4.新学年开始了，同学们要改穿新的校服。

小悦收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。

老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费

元”，其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清楚了。

冬冬看了看，很快就算出了方格处的数字。

聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？

5.四位数

能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数.

6.四位偶数

能被11整除，求出所有满足要求的四位数．

7.多位数

能被11整除，满足条件的n最小是多少？

8．一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“1234口6口8”的号码可以申请，也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动，王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码．请问：

他申请的号码可能是多少？

9．一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除，这个四位数最大是多少？

10．

（1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0．如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？

（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？

11．判断下面11个数的整除性：

（1）这些数中，有哪些数能被4整除？

哪些数能被8整除？

（2）哪些数能被25整除？

哪些数能被125整除？

（3）哪些数能被3整除？

哪些数能被9整除？

（4）哪些数能被11整除？

12.

是一个四位数．数学老师说：

“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9、11、8整除，”问：

数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？

13.五位数

能同时被11和25整除，这个五位数是多少？

14．牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上，但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“

”，其中方框表示被烧出的洞．牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元，请问：

这45名工人的总工资有可能是多少元呢？

15．六位数

能同时被9和11整除．这个六位数是多少？

16．请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数．这个五位数最大是多少？

17．小悦写了一个两位数59，冬冬写了一个两位数89，他们让阿奇写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数

，使得这个五位数能被7整除，请问：

阿奇写的数是多少？

18.已知

能被13整除，中间方格内的数字是多少？

19．用数字6、7、8各两个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．

20.冬冬和阿奇玩一个数字游戏，冬冬先将一个三位数的百位与个位填好，然后阿奇来填写这个三位数的十位，如果最后这个三位数能被11整除，那么阿奇获胜，否则冬冬获胜．冬冬想了一会，想到了一个必胜的办法，请问：

冬冬想到的办法是什么？

21．对于一个自然数N，如果具有以下的性质就称为“破坏数”：

把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除．请问：

一共有多少个不大于10的破坏数？

22.一个五位数，它的末三位为999.如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？

奇数与偶数及奇偶性的应用

考试要求：

知识模块:

教学一对一：

1.设

，那么A从个位数字向左数，共会出现______个连续的零。

2.五位数3□6□5没有重复数字，如果它可以被75整除，求这个五位数。

3.某个数可以被11整除，而且它的各位数字和为13，那么这样的数中最小的是___________。

4.已知七位数

是72的倍数，求这样的七位数。

5.在523的后面写三个数字，使得形成的六位数可以被7、8、9整除，求这三个数字的和。

6.3□□7aa能被99整除，那么一共有______种不同的写法。

7.要使乘积

□□的末五位都是零，方框中应填入的两个数字分别是____、____。

8.如果四位数6□□8能被73整除，那么商是_______。

9.一个四位数“

”加上36后能够被99整除，减去32后能被8整除，那么满足条件的最大数是_____。

10.某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除。

它的末三位组成的三位数是_____。

11.各位数字之和为43且能被11整除的五位数有多少个？

12.数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…的前2007项中有多少个偶数？

13.能否在下式中填入加号和减号，使得等式成立？

9□8□7□6□5□4□3□2□1＝10.

14.桌子上放着7个杯子，杯口都朝上。

每次同时翻转任意两个杯子。

是否能在一定次数的翻转之后使得所有杯子的杯口都朝下？

如果每次翻转6个杯子呢？

15.学生们参加数学竞赛，一共50道题。

答对得5分，不答得1分，答错减3分。

已经知道大家都得到比零分多的分数，问学生最后得到的分数是奇数还是偶数？

16.在黑板上写出下1、3、5三个数，然后任意擦去其中的一个，换成剩下两个数的和。

这样进行100次之后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？

它们的乘积是奇数还是偶数？

17.一个班的教室座位恰好是7行7列的方格点阵共49名学生。

现在要调换座位，让每个学生都与自己前后左右相邻的某一名同学交换座位，这样的换位是否可以实现？

18.在一个19×19的正方表格中放置棋子，每格至多放1枚棋子。

所有棋子关于它右上角到左下角的对角线呈对称分布，而且每行恰好有9枚棋子，那么这条对角线上至少有1枚棋子。

为什么？

19.任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数字顺序改变一下，组成一个新的五位数。

问能不能使得这两个五位数加起来等于99999？

20.平面上有9个点，任意三点不共线，那么过这些点最多可以画几条线？

能否恰好从每个点都只引出3条线与其他某三个点相连？

21.有1005颗红豆和1004颗绿豆，每次取走两颗。

如果取走的两颗同色，就补回一颗绿豆；如果取走的两颗不同色，就把其中的红豆放回。

经过2007次取放之后，还剩下几颗豆？

它们是什么颜色的？

22.把1、1、2、2、3、3、4、4、5、5这十个数字排成一列，使两个1之间有一个数，两个2之间有两个数，两个3之间有三个数，两个4之间有四个数，两个5之间有五个数。

如果可以，给出排列，如果不能，给出理由。

质数、合数与分解质因数

考试要求：

知识模块：

教学一对一：

1．

（1）如果两个质数相加等于16，这两个质数有可能等于多少？

（2）如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？

（3）如果两个质数相加等于29，这样的两个质数存在吗？

2．有人说：

“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．

3．请写出5个质数，使得它们正好构成一个公差为12的等差数列．

4．请把下面的数分解质因数：

（1）160；

（2）598；（3）211.

5．三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数，请求出这三个数．

6．用一个两位数除330，结果正好能整除，请写出所有可能的两位数．

7．三个连续自然数的乘积等于39270.这三个连续自然数的和等于多少？

8．请将2、5、14、24、27、55、56、99这8个数分成两组，使得这两组数的乘积相等．

9．请问：

算式lx2x3×…×15的计算结果的末尾有几个连续的0?

10．请问：

连续两个两位数乘积的末尾最多有几个连续的0?

11．一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数．

12．9个连续的自然数中，最多有多少个质数？

13．

（1）两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？

（2）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？

14．一请把下面的数分解质因数：

（1）360;

（2）539;（3）373;（4）12660.

15．有一些最简真分数，它们的分子与分母的乘积都等于140．把所有这样的分数从小到大排列，其中第三个分数是多少？

16．冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字5看成了8，由此得乘积为1104．正确的乘积是多少？

17．甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪．三人各自中靶的环数之积都是60，且环数是不超过10的自然数．把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙．请问：

靶子上4环的那一枪是谁打的？

18．975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，方框内最小应填什么数？

19．

（1）算式1×2×3×…×29×30的计算结果的末尾有几个连续的0？

（2）算式31×32×33×…×150的计算结果的末尾有几个连续的0？

20．把从l开始的若干个连续的自然数1，2，3，…，乘到一起．已知这个乘积的末尾13位恰好都是0．请问：

在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？

21．168乘以一个大于0的整数后正好是一个平方数．乘的这个整数至少是多少？

所得乘积又是多少的平方？

22．

（1）60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数．这个三位数至少是多少？

（2）72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这样的三位数一共有多少个？

因数与倍数

考试要求：

知识模块：

教学一对一：

1．

（1）请写出105的所有约数；

（2）请写出72的所有约数．

2．

（1）20000的约数有多少个？

（2）720的约数有多少个？

3．计算：

（1）（28,72）,[28,72];

（2）（28,44,260）,[28,44,260].

4．两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？

5．

（1）求1085和1178的最大公约数和最小公倍数；

（2）求3553，3910和1411的最大公约数．

6．教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工．请问：

用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？

在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？

7．一块长方形草地，长120米，宽90米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：

最少要种多少棵树？

8．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那么乙数是多少？

9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍．已知甲数是2、4、6、8、10、12、14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数．乙数是多少？

10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35，最小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？

11．72共有多少个约数？

其中有多少个约数是3的倍数？

12．5400共有多少个约数？

并求出所有约数乘积的质因数分解形式．

13．两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1．这两个数分别是多少？

14．计算：

（1）（391,357）,[391,357];

（2）（18,24,36）,[18,24,36].

15．1547、1573、1859这三个数的最大公约数是多少？

最小公倍数是多少？

16．张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没分出去，请问：

每个小朋友分了多少个苹果？

17．一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80.这个数是多少？

18．两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216.这两个数分别是多少？

19．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？

20．有4个不同的正整数，它们的和是1111.请问：

它们的最大公约数最大能是多少？

21．甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126.请问：

甲数是多少？

22．甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，它们的最大公约数是12.请问：

甲、乙两数之和是多少？

余数

考试要求：

知识模块：

教学一对一：

1.72除以一个数，余数是7．商可能是多少？

2.100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？

3.20080808除以9的余数是多少？

除以8和25的余数分别是多少？

除以11的余数是多少？

4.4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：

比赛盘数最多的运动员打了多少盘？

5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：

最后一包有多少个零件？

6．

（1）220除以7的余数是多少？

（2）1414除以11的余数是多少？

（3）28121除以13的余数是多少？

7．

除以5的余数是多少？

8．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？

9．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：

这个数除以12余数是几？

10．100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问：

一共有多少名小朋友？

11．1111除以一个两位数，余数是66.求这个两位数．

12．

（1）

除以4和125的余数分别是多少？

（2）

除以9和11的余数分别是多少？

13．一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：

最后一包有多少个零件？

14．自然数

的个位数字是多少？

15．算式

计算结果的个位数是多少？

16．一个自然数除以49余23，除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少？

17．一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？

18．刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：

刘叔叔一共养了多少只兔子？

19．

除以99的余数是多少？

20．把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：

剩下个数最多的水果剩下多少个？

21．有一个大于l的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．

22．用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，如果这个数大于1，那么这个数是多少？

数论综合一

内容概述:

运用已学过的数论知识，解决综合性较强的各类数论问题；学会利用简单代数式处理数论问题．

教学一对一：

1．如果某整数同时具备如下三条性质：

①这个数与1的差是质数；

②这个数除以2所得的商也是质数；

③这个数除以9所得的余数是5．

那么我们称这个整数为“幸运数”，求出所有的两位幸运数．

2．一个五位数

，空格中的数未知，请问：

（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？

（2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？

3．在小于5000的自然数中，能被11整除、并且所有数字之和为13的数共有多少个？

4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少？

5．26460的所有约数中，6的倍数有多少个？

与6互质的有多少个？

6．一个自然数N共有9个约数，而N-1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？

7．一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？

8．有一个算式6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？

9．一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20.问：

这个两位数是多少？

10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送．对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用．有一天我军截获了敌军的一串密文：

A3788421C，字母表示还没有被破译出来的数字．如果知道密码满足如下条件：

①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；

②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；

③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数．

你能破解此密文吗？

11．已知

×

是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：

三位数

是多少？

12.11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？

13．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？

14．有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：

“这个数能被2整除”，3号接着说：

“这个数能被3整除”……依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号一一作了验证：

只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对．问：

（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？

（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？

15．有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有编号为1至2008的2008个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？

16．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳

米，黄鼠狼每次跳

米，它们每秒钟都只跳一次，在比赛道路上，从起点开始每隔

米设有一个陷阱．请问：

当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？

17．一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：

这个偶数是多少？

18．一个合数，其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数．

19．已知a与b是两个正整数，且a>b．请问：

（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？

（2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？

20．已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350.满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？

21．已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两个两位数．

22．如图8-1，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）．小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔，他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B孔，他又试着每隔4个孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6个孔跳一步，正好回到A孔．问：

这个圆圈上共有多少个孔？

进位制与取整符号

内容概述:

掌握进位制的概念及相关计算，掌握自然数在不同进位制之间的转化方法，并学会恰当利用进位制解决一些数论问题．掌握取