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大一微积分考试复习资料
大一第一学期“微积分”期末复习指导
第一章函数
一．本章重点
复合函数及分解，初等函数的概念。
二．复习要求
1、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。
2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。
3、牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。
其中
⑴.对于对数函数
不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数
互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算：
⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.
4、掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。
5、知道分段函数，隐函数的概念。
.三．例题选解
例1.试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？
⑴.
⑵.
分析：
分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。
解：
⑴.
⑵.
例2.
的定义域、值域各是什么？
＝？
答：
是
的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知
的定义域是
，值域为
.
四．练习题及参考答案
1.
则f（x）定义域为，值域为
f
（1）=；
.
2.
则f（x）定义域为，值域为
f
（1）=；
.
3.分解下列函数为简单函数的复合：
⑴.
⑵.
答案：
1.（-∞+∞）,
2.
.3.⑴.
⑵.
自我复习：
习题一.（A）55．⑴、⑵、⑶；
习题一.（B）.11.
第二章极限与连续
一．本章重点
极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。
二．复习要求
1．了解变量极限的概念，掌握函数f（x）在x0点有极限的充要条件是：
函数在x0点的左右极限都存在且相等。
2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。
例如：
3.会比较无穷小的阶。
在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有：
当
0时,有：
～
；
～
～
;
～
;
～
～
.…….
（参见教材P79）
4.掌握两个重要极限:
（Ⅰ）.
（Ⅱ）.
记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式（变形式）.并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限（Ⅱ）的如下扩展形式求
型未定式极限：
5.掌握函数连续的概念，知道结论：
初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。
函数f（x）在分段点x0处连续的充要条是：
函数在x0点极限存在且等于
，即：
当分段函数在分段点
的左右两边表达式不相同时，函数f（x）在分段点x0处连续的充要条件则是：
.
6.掌握函数间断点及类型的判定。
函数的不连续点称为间断点，函数
在
点间断，必至少有下列三种情况之一发生：
⑴、
在
点无定义；
⑵、
不存在；
⑶、存在
，但
.
若
为
的间断点，当
及
都存在时，称
为
的第一类间断点，特别
＝
时（即
存在时），称
为
的可去间断点；
时称
为
的跳跃间断点。
不是第一类间断点的都称为第二类间断点。
7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。
8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则（第四章）求函数的极限。
三.例题选解
例1.单项选择题
⑴下列极限中正确的是（）
A.
B.
C.
D.
⑵当
时，
是
的
（）
A.低阶无穷小；B.高阶无穷小；
C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；
D.等价无穷小；
分析与解：
1．A与C显然都不对，对于D,
记
，
则
∴
即D也不对，剩下的B就是正确答案。
2．由于
∴应选择D.
例3.求极限：
解:
此极限为
型
∵当
时，有
～
～
∴
此极限为
型，可用重要极限
。
＝
.
例2．判断函数
的间断点，并判断其类型。
解：
由于
∴
是函数y无定义的点，因而是函数y的间断点。
∵
∴
为函数y的可去间断点；
∵
∴
为函数y的第二类（无穷型）间断。
例3．函数
在点
处连续，求常数k.
分析与解：
由于分段函数
在分段点
的左右两边表达式相同，因此
在
连续的充要条件是
∵
∴
四.练习题及参考答案
1.填空
.当
时，
与
相比，是
__________________无穷小；
.
__________________；
⑶.
______________.
2.单项选择题
．设
，下面说法正确的是________；
A.点
都是可去间断点；
B.点
是跳跃间断点，点
是无穷间断点；
C.点
是可去间断点，点
是无穷间断点；
D.点
是可去间断点，点
是跳跃间断点；
．下面正确的是______________.
A.
；B.
；
C.
不存在；D.
.
答案:
1.
.同阶而不等价的；
.
；⑶.
.
2.
.C;
.B.
自我复习.习题二（A）
11.（4）.24.⑴,（4）,⑺.
27.⑴.（4）.28.⑴,⑵.
30.⑵.37．⑴,⑶.
习题二（B）.14.
第三章导数与微分
一.本章重点.
导数的概念，导数及微分的计算.
二.复习要求
1.掌握函数
在
处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。
导数是一个逐点概念，
在
处的导数的定义式常用的有如下三种形式：
.
2.知道导数的几何意义，会求
在
处的切线方程。
3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数：
运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导；
复合函数求导法；⑶隐函数求导法；⑷取对数求导法。
4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。
5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。
6.掌握函数可微,可导及连续的关系。
三.例题选解
例1.求下列函数的导数：
．
，求
⑵．
=
求
.
⑶．设
=
，求
⑷.
求
解：
⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得：
.
⑵本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。
原方程两边取对数：
上式两边对
求导，视
为中间变量:
=
注：
本题除此方法外，也可以：
3．∵
.
∴
⑷.
例2.设
在
处可导,且
.
求
分析:
将
在
处的导数的定义式理解为结构式:
=
其中
为
或
的函数.且当
时,
即可.
解:
例3．求曲线
在点
处的切线方程。
解：
显然，点
在曲线上，
现求切线的斜率，即
曲线方程两边对x求导：
解得
∴
＝1
切线方程为：
即
例4、设
试讨论
在
处的连续性及可导性。
分析与解：
由已知，
；
（1）讨论
在
处的连续性。
∵
∴
在
处连续。
（2）讨论
在
处的可导性。
分段函数在分段点的导数必须用定义求：
即存在
四.练习题及参考答案
1.单项选择题
.设
下面说法正确的是（）.
A.
在
不连续；
B..
在
连续，但不可导；
C.
在
可导，且
；
D.
在
可导，且
.
2.填空题
在
处可导，且
则
（1）
3.求函数的导数或微分：
求
⑵
求
⑶．
，求
.
4.设
确定
是
的函数，求
，并求出函数在点
的切线方程。
5、证明：
（1）若
是偶函数且可导，那么
是奇函数，
（2）若
是奇函数且可导，那么
是偶函数，
答案：
1.D.2.
3.⑴.
（2）.
；
⑶.
.
4.
；
切线方程：
.
自我复习:
习题三（A）13；21,⑹，⑼；24.⑴，⑵；25；26.⑴,⑺;27.⑸；29.⑵，⑹，⑺；
47.⑴，⑵．54.
习题三（B）1；3；11.
第四章中值定理与导数的应用
一.本章重点
求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；
二.复习要求
1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的
，掌握拉格朗日定理推论的意义。
2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
注意:
⑴洛必达法则只能直接用于求“
”型或“
”型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为“
”型或“
”型未定式才能使用法则。
⑵洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.
⑶．在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。
3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。
4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.
5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.
6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.
三.例题选解
例1.求下列极限
（1）.
（2）.
（3）.
解：
（1）
.
（2）原式为幂指型不定式（
型），利用代数变换：
，得：
其中
（代换）
（
）
.∴原式＝
（3）
=
=
（代换）
（洛必达）
＝
.
例2.求函数
的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。
解：
函数
的定义域为
，
。
令
，得驻点
，
；无不可导点。
两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：
x
0
极小
极大
令
得
，无
不存在的点。
曲线的
凹向及拐点列表讨论如下：
x
0
-
0
+
0
-
0
+
拐点
拐点
拐点
由上面的讨论看出：
函数
的单减区间为
；
单增区间为
。
极小值是
，
极大值是
。
曲线
的凸区间是
凹区间是
。
曲线
的拐点有三个：
，
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