一次函数压轴题含答案.docx
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一次函数压轴题含答案
1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：
BE=DE．
（3）如图3，在
（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（
，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？
若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
一次函数综合题。
分析：
（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；
（2）同
（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；
（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=
S△BCM，求BN，进而得出ON．
解答：
解：
（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，
∴∠OAB=∠QBC，
又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，
∴△ABO≌△BCQ，
∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，
∴C（﹣3，1），
由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：
y=
x+2；
（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，
∵AC=AD，AB⊥CB，
∴BC=BD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF=BH=2，
∴OF=OB=1，
∴DG=OB，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE=DE；
（3）如图3，直线BC：
y=﹣
x﹣
，P（
，k）是线段BC上一点，
∴P（﹣
，
），
由y=
x+2知M（﹣6，0），
∴BM=5，则S△BCM=
．
假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，
则
BN?
=
×
，
∴BN=
，ON=
，
∵BN＜BM，
∴点N在线段BM上，
∴N（﹣
，0）．
点评：
本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
3．如图直线?
：
y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）
（1）求k的值．
（2）若P（x，y）是直线?
在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．
考点：
一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。
专题：
动点型。
分析：
（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；
（2）用OA的长，y分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；
（3）将S=9代入
（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置．
解答：
解：
（1）将B（﹣8，0）代入y=kx+6中，得﹣8k+6=0，解得k=
；
（2）由
（1）得y=
x+6，又OA=6，
∴S=
×6×y=
x+18，（﹣8＜x＜0）；
（3）当S=9时，
x+18=9，解得x=﹣4，
此时y=
x+6=3，
∴P（﹣4，3）．
点评：
本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法．关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示．
7．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．
（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有 10 个（请直接写出结果）；
（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标 （6，2） ；
（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．
考点：
一次函数综合题。
分析：
（1）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=﹣x+6；再分别把x=2、3、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；
（2）首先根据直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标；
（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则此时△CMN的周长最短．由D、E两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据y轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标．
解答：
解：
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把（1，5），（4，2）代入得，
kx+b=5，4k+b=2，
解得k=﹣1，b=6，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；
当x=2，y=4；
当x=3，y=3；
当x=4，y=2；
当x=5，y=1．
∴图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），
（4，1）．
一共10个；
（2）∵直线y=﹣x+6与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6），
∴OA=OB=6，∠OAB=45°．
∵点C关于直线AB的对称点为D，点C（4，0），
∴AD=AC=2，AB⊥CD，
∴∠DAB=∠CAB=45°，
∴∠DAC=90°，
∴点D的坐标为（6，2）；
（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则NC=NE，点E（﹣4，0）．
又∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CM=DM，
∴△CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此时周长最短．
设直线DE的解析式为y=mx+n．
把D（6，2），E（﹣4，0）代入，得
6m+n=2，﹣4m+n=0，
解得m=
，n=
，
∴直线DE的解析式为y=
x+
．
令x=0，得y=
，
∴点N的坐标为（0，
）．
故答案为10；（6，2）．
点评：
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称﹣最短路线问题，综合性较强，有一定难度．
19．已知如图，直线y=﹣
x+4
与x轴相交于点A，与直线y=
x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求S△OPA的值；
（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：
S与a之间的函数关系式．
考点：
一次函数综合题。
分析：
（1）P点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标．
（2）把OA看作底，P的纵坐标为高，从而可求出面积．
（3）应该分两种情况，当在OP上时和PA时，讨论两种情况求解．
解答：
解：
（1）﹣
x+4
=
x
x=3，
y=
．
所以P（3，
）．
（2）0=﹣
x+4
．
x=4．
4×
×
=2
．
故面积为2
．
（3）当E点在OP上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以纵坐标为
a，
∴S=
a?
a﹣
×
a?
a=
a2．
当点E在PA上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以纵坐标为﹣
a+4
．
∴S=（﹣
a+4
）a﹣
（﹣
a+4
）a=﹣
a2+2
a．
点评：
本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，横纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标．
24．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．
（1）直线
经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；
（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若直线l1经过点F（
）且与直线y=3x平行．将
（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．
考点：
一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；平移的性质。
专题：
计算题。
分析：
（1）先求出E点的坐标，根据梯形的面积公式即可求出四边形AECD的面积；
（2）根据已知求出直线1上点G的坐标，设直线l的解析式是y=kx+b，把E、G的坐标代入即可求出解析式；
（3）根据直线l1经过点F（
）且与直线y=3x平行，知k=3，把F的坐标代入即可求出b的值即可得出直线11，同理求出解析式y=2x﹣3，进一步求出M、N的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△MNF的面积．
解答：
解：
（1）
，
当y=0时，x=2，
∴E（2，0），
由已知可得：
AD=AB=BC=DC=4，AB∥DC，
∴四边形AECD是梯形，
∴四边形AECD的面积S=
×（2﹣1+4）×4=10，
答：
四边形AECD的面积是10．
（2）在DC上取一点G，使CG=AE=1，
则St梯形AEGD=S梯形EBCG，
∴G点的坐标为（4，4），
设直线l的解析式是y=kx+b，代入得：
，
解得：
，
即：
y=2x﹣4，
答：
直线l的解析式是y=2x﹣4．
（3）∵直线l1经过点F（
）且与直线y=3x平行，
设直线11的解析式是y1=kx+b，
则：
k=3，
代入得：
0=3×（﹣
）+b，
解得：
b=
，
∴y1=3x+
已知将
（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，则所得的直线的解析式是y=2x﹣4+1，
即：
y=2x﹣3，
当y=0时，x=
，
∴M（
，0），
解方程组
得：
，
即：
N（﹣
，﹣18），
S△NMF=
×[
﹣（﹣
）]×|﹣18|=27．
答：
△NMF的面积是27．
点评：
本题主要考查了一次函数的特点，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的特征，平移的性质等知识点，解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析式．
25．如图，直线l1的解析表达式为：
y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．
（1）求直线l2的解析表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；
（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
一次函数综合题。
专题：
综合题。
分析：
（1）结合图形可知点B和点A在坐标，故设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；
（2）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可得出点D在坐标；联立两直线方程组，求出交点C的坐标，进而可求出S△ADC；
（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，ADC高就是C到AD的距离；
（4）存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在4个这样的点，规律为H、C坐标之和等于A、D坐标之和，设出代入即可得出H的坐标．
解答：
解：
（1）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，
由图象知：
x=4，y=0；
x=3，
，
∴
，
∴
，
∴直线l2的解析表达式为
；
（2）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，
∴x=1，
∴D（1，0）；
由
，
解得
，
∴C（2，﹣3），
∵AD=3，
∴S△ADC=
×
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