初中数学鲁教版五四制七年级上册第三章 勾股定理3 勾股定理的应用举例章节测试习题.docx
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初中数学鲁教版五四制七年级上册第三章勾股定理3勾股定理的应用举例章节测试习题
章节测试题
1.【答题】在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A.13m
B.12m
C.4m
D.10m
【答案】B
【分析】
根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【解答】
如图：
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．BC=5m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴x2+52=（x+1）2，
解得x=12，
∴旗杆的高12m．
选B.
2.【答题】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A.0.7米
B.1.5米
C.2.2米
D.2.4米
【答案】C
【分析】根据勾股定理解答即可。
【解答】
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．选C.
3.【答题】一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5m，消防车的云梯底端距地面1m，云梯的最大伸长为13m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（ ）
A.16m
B.13m
C.14m
D.15m
【答案】B
【分析】根据勾股定理解答即可。
【解答】
如图所示，由题意可知AB=13米，BC=5米，由勾股定理可得，AC=
，又消防车的云梯底端距地面1m，所以云梯可以达到该建筑物的最大高度=12+1=13m，选B.
4.【答题】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1m），却踩伤了花草（ ）
A.4
B.6
C.7
D.8
【答案】D
【分析】根据勾股定理解答即可。
【解答】根据勾股定理可得斜边长是
=10m.
则少走的距离是6+8−10=4m，
∵2步为1米，
∴少走了8步，
故答案为D.
5.【答题】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行______米．
【答案】10
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：
小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：
如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），
在Rt△AEC中，
AC=
=10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：
10．
6.【答题】将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,如图,设筷子露在杯子外面的长是hcm,则h的取值范围是______
.
【答案】11cm≤h≤12cm
【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【解答】
∵将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，x=12，
最长时等于杯子斜边长度是：
x=
=13，
∴h的取值范围是：
（24-13）cm≤h≤（24-12）cm，
即11cm≤h≤12cm．
7.【题文】如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了500
米到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．
【答案】1000m．
【分析】根据BE∥AD，得出∠DAB=∠ABE=60°，再根据平角的定义得出30°+∠CBA+∠ABE=180°，求出∠CBA的度数，判断出△ABC是直角三角形，最后根据勾股定理求出AC的值即可．
【解答】
解：
∵BE∥AD，
∴∠DAB=∠ABE=60°，
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°，
∴∠CBA=90°，
∴△ABC为直角三角形，
∵BC=500，AB=500
，
∴AC2=BC2+AB2，
∴AC=
=1000（m）．
答：
A、C两点间的距离是1000m．
8.【题文】如图，一架25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端沿墙垂直下滑4米至E，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？
（3）如果梯子与地面的夹角小于30°时，梯子就会滑倒，那么在第
（2）问中，梯子会滑倒吗？
请说明理由．
【答案】
（1）24m；
（2）8米；（3）梯子不会滑倒．
【分析】
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理，即分别求出AC和DC，求二者之差即可解答；
（3）设∠E′DC=30°时，在Rt△E′CD中，求得E′C=
ED=12.5m．由于CE＞E′C，于是得到结论．
【解答】
解：
（1）根据题意得：
AB=25，BC=7，
∴AC=
=24m，
答：
这个梯子的顶端距地面有24m；
（2）∵AE=4，
∴CE=20，
∵ED=AB=25，
∴CD=
=15m，BD=CD﹣BC=8m，
∴梯子的底部在水平方向滑动了8米；
（3）设∠E′DC=30°时，
∵E′D=25，
在Rt△E′CD中，E′C=
ED=12.5m．
∵CE＞E′C，
∴梯子不会滑倒．
9.【题文】如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2．8米处吹断裂，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9．6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高?
（旗杆粗细、断裂磨损忽略不计）
【答案】12．8米．
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由旗杆高度=AB+BC即可解答．
【解答】
解：
旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，
旗杆的高
10.【答题】如图，圆柱形纸杯高8cm，底面周长为12cm，在纸杯内壁离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，在C点正对面的外壁距杯口2cm的点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁要爬到C处饱餐一顿至少要爬（ ）
A.2
cm B.6
cm C.10cm D.以上答案都不对
【答案】C
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′C的长度即为所求．
【解答】
解：
如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，由题意可得出：
A′D=6cm，CD=8cm，A′C=
=10（cm），
选C.
11.【答题】一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）______cm.
【答案】30
【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值.
【解答】解：
展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短.由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=
=30cm.
故答案为：
30cm.
12.【答题】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高是______m.
【答案】12
【分析】本题设旗杆高为xm，表示出绳子的长，利用勾股定理列出方程即可.
【解答】设旗杆的高AB为xm，
则绳子AC的长为（x+1）m.
在Rt△ABC中，
AB2+BC2=AC2，
即x2+52=（x+1）2.
解得x=12.∴AB=12m.
∴旗杆高12m.
13.【答题】如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是______cm.
【答案】15
【分析】根据题意，可以画出长方体的展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理，可以解答本题.
【解答】解：
如右图所示，点A到B的最短路径是：
=15cm，
故答案为：
15.
14.【答题】如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2
.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=______.
【答案】8
【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可.过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M.则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值.
【解答】解：
过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=4，连接A′B，与直线b交于点N，过M作直线a的垂线，交直线a于点N，连接AN，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图.
∵AA′⊥a，MN⊥a，
∴AA′∥MN.
又∵AA′=MN=4，
∴四边形AA′NM是平行四边形，
∴AM=A′N.
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小.
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B.
∵AE=2+3+4=9，AB=
，
∴BE=
=
，
∵A′E=AE﹣AA′=9﹣4=5，
∴A′B=
=8
所以AM+NB的最小值为8.
故答案为：
8.
15.【答题】如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离是______.
【答案】25
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】解：
如图所示：
台阶平面展开图为长方形，AC=20，BC=5+5+5=15，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：
AB2=AC2+BC2，即AB2=202+152，∴AB=25，故答案为：
25．
16.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F上，则DF的长为______.
【答案】6
【分析】根据矩形的性质得出CD=AB=8，∠D=90°，根据折叠性质得出CF=BC=10，根据勾股定理求出即可.
【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=8，∠D=90°.
∵将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，
∴CF=BC=10.
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
DF=
=6.
17.【答题】如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF=______.
【答案】6
【分析】设BC=x，AF可用含x的式子表示，CF可以根据勾股定理求出，然后用x表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理，可建立关于x的方程，即可得出BF的长.
【解答】解：
由折叠的性质知：
AD=AF，DE=EF=8﹣3=5；
在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：
CF=4，
若设AD=AF=x，则BC=x，BF=x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，
故BF=x﹣4=6.
故答案为：
6.
18.【答题】如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=18，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于点E，EC=5，则BC的长为______.
【答案】12
【分析】先求得AE=13，然后由翻折的性质可知BE=13，最后在Rt△BCE中由勾股定理求得BC的长即可.
【解答】解：
∵AC=18，EC=5，
∴AE=13.
由翻折的性质可知：
BE=AE=13.
在Rt△EBC中，由勾股定理得：
BE2=EC2+BC2.
∴BC=
=12.
故答案为：
12.
19.【答题】如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则CE的长为______.
【答案】5
【分析】如图，求出AC的长度；证明EF=EB（设为λ），得到CE=8﹣λ；列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题.
【解答】解：
如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°，DC=AB=6；
由勾股定理得：
AC2=AD2+DC2，而AD=8，
∴AC=10；由题意得：
∠AFE=∠B=90°，
AF=AB=6；EF=EB（设为λ），
∴CF=10﹣6=4，CE=8﹣λ；
由勾股定理得：
（8﹣λ）2=λ2+42，解得：
λ=3，
∴CE=5，
故答案为5.
20.【答题】如图，圆柱体的高为12cm，底面周长为10cm，圆柱下底面A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是______cm.
【答案】13
【分析】要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开，得到一个矩形，然后利用勾股定理求两点间的线段即可.
【解答】解：
如图，把圆柱的侧面展开，得到如图所示的图形，
其中AC=5cm，BC=12cm，
在Rt△ABC中，AB=
=13cm.
故答案为13
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