普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅱ文数含答案.docx
《普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅱ文数含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅱ文数含答案.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅱ文数含答案
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共5页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上
答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合A={x|x1}，B{x|x2}，则A∩B=
A．（-1，+∞）B．（-∞，2）
C．（-1，2）D．
2．设z=i（2+i），则z=
A．1+2iB．-1+2i
C．1-2iD．-1-2i
3．已知向量a=（2，3），b=（3，2），则|a-b|=
A．2B．2
C．52D．50
4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只
测量过该指标的概率为
A．
2
3
B．
3
5
C．
2
5
D．
1
5
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：
我的成绩比乙高．
第1页共9页
乙：
丙的成绩比我和甲的都高．
丙：
我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
x
6．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）=e1
，则当x<0时，f（x）=
x
A．e1
x
B．e1
x
C．e1
x
D．e1
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
8．若x1=
，x2=
是函数f（x）=sinx（>0）两个相邻的极值点，则=
44
A．2B．
3
2
C．1D．
1
2
22
xy
9．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆
2=2px（p>0）的焦点是椭圆
3pp
1
的一个焦点，则p=
A．2B．3
C．4D．8
10．曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为
A．xy10B．2xy210
C．2xy210D．xy10
11．已知a∈（0，
π
），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
2
A．
1
5
B．
5
5
C．
3
3
D．
25
5
第2页共9页
12．设F为双曲线C：
22
xy
2+y2=a2
221
（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x
ab
交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．2B．3
C．2D．5
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
2x3y60，
13．若变量x，y满足约束条件
xy30，则z=3x–y的最大值是___________.
y20
，
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有
20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率
的估计值为___________.
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但
南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边
形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶
点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为
_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
第3页共9页
（1）证明：
BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥EBB1C1C的体积．
18．（12分）
已知{}
a是各项均为正数的等比数列，a12,a32a216.
n
（1）求{}
a的通项公式；
n
（2）设bnlog2an，求数列{bn}的前n项和．
19．（12分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度
相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
y的分组[0.20,0）[0,0.20）[0.20,0.40）[0.40,0.60）[0.60,0.80）
企业数22453147
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）．（精确到0.01）
附：
748.602.
20．（12分）
已知
F1,F2是椭圆
22
xy
C:
1（ab0）
22
ab
的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得
PFPF，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
12
第4页共9页
21．（12分）
已知函数f（x）（x1）lnxx1．证明：
（1）f（x）存在唯一的极值点；
（2）f（x）=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
（二）选考题：
共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点M（0,0）（00）在曲线C:
4sin上，直线l过点A（4,0）且与OM
垂直，垂足为P.
（1）当0=
时，求
3
0及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知f（x）|xa|x|x2|（xa）.
（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；
（2）若x（,1）时，f（x）0，求a的取值范围.
第5页共9页
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
1．C2．D3．A4．B5．A6．D
7．B8．A9．D10．C11．B12．A
13．914．0.9815．
3π
4
16．26；21
17．解：
（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，
故
BCBE．
11
又
BEEC，所以BE⊥平面EB1C1．
1
（2）由
（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以AEBA1EB145，故AE=AB=3，
AA12AE6.
作
EFBB，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EFAB3．
1
1
所以，四棱锥
EBBCC的体积V36318．
11
3
18．解：
（1）设an的公比为q，由题设得
2
2q4q16，即
2280
qq．
解得q2（舍去）或q=4．
因此
n12n1
a的通项公式为a242．
nn
2
（2）由
（1）得bn（2n1）log222n1，因此数列bn的前n项和为
132n1n．
19．解：
（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为
第6页共9页
147
100
0.21
．
产值负增长的企业频率为
2
100
0.02
．
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企
业比例为2%．
（2）
1
y（0.1020.10240.30530.50140.707）0.30，
100
5
1
2
snyy
ii
100
i1
2
1
100
22222
（0.40）2（0.20）240530.20140.407
=0.0296，
s0.02960.02740.17，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．
20．解：
（1）连结PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，F1PF290，PF2c，PF13c，
于是
c
2aPFPF（31）c，故C的离心率是31
e
12
a
.
22
xy
（2）由题意可知，满足条件的点P（x,y）存在．当且仅当1||216
yy
yc，1，
221
，
2xcxcab
即c|y|16，①
222
xyc，②
22
xy
221
，③
ab
由②③及
222
abc得
2
y
4
2
b
c
，又由①知
2
y
2
16
2
c
，故b4．
由②③得
2
a
222
xcb
2
c
，所以
22
cb，从而
2222232,
abcb故a42.
当b4，a42时，存在满足条件的点P．
所以b4，a的取值范围为[42,）．
21．解：
（1）f（x）的定义域为（0，+）.
第7页共9页
x11
f（x）lnx1lnx
xx
.
因为ylnx单调递增，
y
1
x
单调递减，所以f（x）单调递增，又f
（1）10，
1ln41
f，故存在唯一x0（1,2），使得fx00.
（2）ln20
22
又当xx0时，f（x）0，f（x）单调递减；当xx0时，f（x）0，f（x）单调递增.
因此，f（x）存在唯一的极值点.
（2）由
（1）知
fx0f
（1）2，又
22
f，所以f（x）0在x0,内存在唯一根
ee30
x.
由
1
x01得1x0.
又f111ln111f（）0，故1是f（x）0在
0,x的唯一根.
0
综上，f（x）0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
22．解：
（1）因为M0,0在C上，当0
3
时，04sin23
3
.
由已知得||||cos2
OPOA.
3
设Q（,）为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中，cos||2
OP，
3
经检验，点P（2,）在曲线cos2
33
上．
所以，l的极坐标方程为cos2
3
．
（2）设P（,），在Rt△OAP中，|OP||OA|cos4cos,即4cos．
因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,
42
.
所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,,
42
.
23．解：
（1）当a=1时，f（x）=|x1|x+|x2|（x1）.
第8页共9页
当x1时，
2
f（x）2（x1）0；当x1时，f（x）0.
所以，不等式f（x）0的解集为（,1）.
（2）因为f（a）=0，所以a1.
当a1，x（,1）时，f（x）=（ax）x+（2x）（xa）=2（ax）（x1）<0.
所以，a的取值范围是[1,）．
第9页共9页
升级会员 