电大经济数学基础形成性考核册答案.docx
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电大经济数学基础形成性考核册答案
电大经济数学基础形成性考核册及参
B.lim
x0
考答案
C.
i
limxsin1
x0
（一）填空题
x0X
3.
设y
lg2x,则dy（
B）.
0
A.
丄dx
B.1
dx
2
0
0,
2x
xln10
2.
设f（x）
X1,X
k,x
在X
0处连续，
C.
ln10
1
dxD.—dx
X
X
则
k
.答案
:
1
4.
若函
数f（x）在点
X0处可导，
则
3.
曲线y
x在
（1,1）
的切
线方程
（B
）
是错误的.
.答案:
答案:
是
A.函数f（x）在点Xo处有定义
1
2
1
y2x
1.lim—
D.lim沁1
Xx
4.设函数f（x1）x22x5
B.limf（x）A,但Af（x0）
xXo
f（x）
.答案：
2x
函数f（X）在点Xo处连续
5.设f（x）xsinx,贝Sf（n）
2
答案：
n
2
（二）单项选择题
D.函数f（x）在点Xo处可微
5.当x0时，下列变量是无穷小量的
1.函数y
X
2
1
的连续区间是
X
x2
（D）
A
（,1）
（1,）
B・（,
2）（
2,
）
C
（
2）
（2,1）
（1,）
D.（,
2）（
2,
）或（
1）
（1,）
（1）
2X
sinx
C.ln（1X）D
（三）解答题
1.计算极限
Xm1
x23x2
x21
cosx
原式lim（X1）（X2）
x1（x1）（x1）
lim
X1
2.下列极限计算正确的是（B）
A.lim—1
x0x
（2）
2
x5x61
lim厂
x2x6x82
匹（x2）
limsin（x2）
x2x2
原式=||m（x-2）（x-3）
x2（x-2）（x-4）
x
lim
x2x
•1」
0
xsinb,
x
x
a,
x
0,
sinx
x
0
x
2.设函数f（x）
问：
（1）当a,b为何值时，f（x）在x0
（3）
lim1x1
处有极限存在？
原式=lim
x0
（1x1）（1xx（Jx1）
1）
=lxm0
（4）
lim
2
x
2
3x
51
x
3x
2x
43
1
3
5
原式:
x
2
x=
：
1
3
3
x
4
2
x
3
sin3x3
（2）当a,b为何值时，f（x）在x0处连续.
解：
（1）limf（x）b,limf（x）1
x0x0
当
ab1时，有f（0）1
（2）.
当ab1时，有IJmf（x）f（0）1
函数f（x）在x=0处连续.
3.计算下列函数的导数或微分：
（1）
2xlog2x22,求y
（5）lim
x0sin5x5
sin3x
原式=3lim=-
5x0sin5x5
5x
答案:
y2x2xln2—
xln2
（2）
（①代器4
a（cx
原式=102
x2
sin（x2）
（3）
axcxd
d）c（axb）（cxd）2
adbc
（cxd）2
答案：
y
2（3x
5）
（4）
xex,求y
x,1x
（1
（5）
dy
（6）
（7）
（e
X、1
xeF
xx
exe
eaxsinbx,求dy
1
、1x2
（10）
cot!
2x
（eax）（sinbxeax（sinbx）
axaesinbx
eax（sinbx
eax（asinbx
1
yex
beaxcosbx
bcosbx）
bcosbx）dx
求dy
cos1
y2x
4.下列各方程中
二dy
ycosxe
ysinx（x）
dy
（8）y
sin
答案:
（9）y
ln（x
1!
2ex
x
2ex）dx
x
x2
求dy
（x2）
sinx
2xex2
sinx
（「2；
xSinnx,
n1
nsinx
■1x2）,
2
2xex）dx
cosxncosnx
yx—卜x2「（x1x2）
x1
2x
1x2
3x2
2x
求y
.x
5
案
1
（X至
1
x"
、•2）
1n-
1
1
1
1
ln2（cos-）
x
1cos_
2xln2
6、x5
x2'\x3
...1x2x
y是x的隐函数，试求
y或dy
（1）方程两边对x求导：
2x2yyyxy30
（2yx）yy2x3因•此dy-2x3dx
2yx
（2）方程两边对x求导:
cos（xy）（1y）exy（yxy）4
[cos（xy）xexy]y4cos（xy）yexy
因此y4COSdJ）雋
cos（xy）xexy
5.求下列函数的二阶导数：
（1）yln（1x2）,求y
答案：
（1）y2
1x
y
2（1x2）2x2x
22x2
（1x2）2
（1x2）2
（2）y
121
（x2x2）丄
2
31f
x2x2
2
y
3213
x2x2
44
y
（1）
311
44
作业
（二）
（一）填空题
1.若
f（x）dx2x2x
c,则
f（x）
.答案：
2xln22
2.（sinx）dx
.答案:
sinxc
3.若
f（x）dxF（x）c,则
2
xf（1x）dx
.答案：
12
-F（1x）c
2
4.设函数—1n（1x2）dxdx1
答案:
0
的原函数.
122
A.-cosxB.2cosx
2
C.-2cosx2D.-1cosx2
2
2.下列等式成立的是（C）.
A.sinxdxd（cosx）
B.Inxdxd（—）x
C.2xdx1d（2x）
In2
D.
-^dxd丘
x
3.
下列不定积分中,
常见分部积分法
计算的是（C）.
A.
cos（2x1）dx,
B.x1x2dx
C.
xsin2xdxD.
笃dx
1x2
4.
下列定积分
计算正确的是
（D）.
A1
A.2xdx2
1
16
B.dx15
1
C.（x2x3）dx0
D.sinxdx0
5.
若P（x）
01dt
则
x-1t2
P
（x）.
答案：
一
1_
V1
*2
（
二）单项选择题
1.
下列函数中，（
D）
是xsinx2
5.下列无穷积分中收敛的是
（B）.
A.1dx
1x
B.
1x2dx
C.exdxD.
sinxdx
0
1
（三）解答题
1.计算下列不定积分
（+）0
（1）
3x
（-）xdx
•••原式=2xcos|4嗚
（8）ln（x1）dx
（?
）
e
ln3
e
3x
ex（ln31）
（-）
答案：
t（+）
x1
（2）（1x）2dx答案:
Jx
13
=（x22、xx2）dx
c14325
=2x2x2x2c
35
二原式=xln（x
1）X
—dx
1
xln（x
1）（1
xln（x1）
ln（x
1）
2
（3）T^dx答案
2.计算下列定积分
=（x2）dx1x22xc
（1）
1xdx
（4）
2xdx
1d（12x）
1ln
1
1（1
x）dx
2
1（X
1）dx
212x
12x
（5）x.2x2dx答案
=12x2d（2x2）=1（2
23
（6）sinxdx答案
=2sin•xdx2cosxc
（7）xsin—dx
2
答案：
T（+）
.x
sin
2
2cos-
2
1
（1x
x）2
（2）
（3）
e3
1
e；
2dx
x
）d-=
x
1
ex
1
e2
dx
x、1lnx
1x、1lnx
d（1lnx）=2』1lnx
（4）^xcos2xdx
0
（-）1
（+）0
4
•••原式=（2xsin2x
-cos2x）02
4
e
（5）xlnxdx
1
答案：
•「（+）
Inx
（-）
原式=1x21nx
2
-exdx
21
（
一）填
空题
1
04
5
1.
设矩阵
A3
23
2,
则A的元
2
16
1
素
a23
.答案:
3
2.
设A,B均为3
阶矩阵，
且A
lB3,
则
2ABt
=
.答案：
72
3.
设A,
B均为
n阶矩阵，
则等式
（A
B）2
2
A2AB
B2成立的充分必要条
件;
曰，
答案：
A
BBA
4.
设A,B均为n
阶矩阵
（I
B）可逆,
则
矩
阵
ABX
X
的解
X
.答案:
（I
B）1A
1
00
5.
设
矩阵
A0
20
则
003
e212
x
24
1（e21）
4
4
（6）0（1xex）dx
答案：
•••原式=4
4xexdx
0
又T（+）x
ex
（-）1
（+）0
4
xe
0
dx
x
（xee
）4
5e41
故:
原式=5
5e4
100
A1.答案：
A0丄0
2100
3
（二）单项选择题
1.以下结论或等式正确的是（C）.
A.若代B均为零矩阵，则有AB
B.若ABAC,且AO,贝SBC
C.对角矩阵是对称矩阵
D.若AO,BO,贝卩ABO
作业三
2.设A为34矩阵，B为52矩阵，且
乘积矩阵acbt有意义，则CT为（A）
三、解答题
矩阵.
D.
（2）
.立
（AB）
19
12
4
B.
5.
1.计算
A.0B.1C.2D.3
12
3
123
B
11
2
0-1-1
0
01
1
011
因此|AB
A|E
320
0
12
4
4.设矩阵
A
2
1,确定的值,
11
0
使r（A）最小。
1
2
4
②①
（2）
1
2
4
A
2
1
③①
（1）
0
4
7
（②，③
1
1
0
0
1
4
1
7
420
0
9
521
0
0
000
0
0
000
因此秩
r（A）=2。
6.
求下列矩阵的逆矩阵
:
13
2
（1）
A30
1
11
1
答
案
解
:
1
2
4
0
1
1432
10
0②①3
132
AI
4
3701
01
0③①
（1）
097
111
00
1
04
③②（4）
0
因此当9时,
4
2
5.求矩阵A51
4
答案
25321
58543
A
17420
41123
094
秩r（A）最小为2。
5
3
2
1
8
5
4
3
3的秩。
7
4
2
0
1
1
2
3
:
解：
17420
58543
25321
41123
1
X7X7X7VA
524
1
7
4
2
0
1
7
4
2
0
0
27
15
6
3
（②，③）
0
9
5
2
（2）
0
9
5
2
1
0
27
15
6
3
0
27
15
6
3
0
27
15
6
27-93
oO1
01-90
1-31
134-9
121-3
O01-9
O1O
1oO
O
379
134
123
136
42
21
34
9
123oO1
O1O
1oO
13
6
31
0
0
1
AI
4
2
10
1
0
①③
74
2
1
10
0
1
2
②①
4
1
1
4
1
0
7
③①（
2）
0
2
15
4
1
28
②③
0
1
7
2
0
13
①②（
1）
1
0
4
1
1
8
①③4
③②
0
1
8
2
1
15
②③（8）
0
0
1
0
1
2
1
30
因此A
1
2
71
。
0
12
14
证1明0
：
7T
AB1
B1A,AB2
B2A
21
01
0
11
0二0
1
A（B1
B2）
AB1
AB2
B1AB2A
（B1B2）A
11
4
10
7
01
8
21
15
01
7
20
13
1A（B01
B20）A1
B1B32
B01AB
2B1B2A（
B1B2）A
01
00
0即2
10
7
B11
1
B22,
B1B2也与A
可交换。
2.
试证：
对于任意
方阵A,
AAT,
AAT
ATA是对称矩阵。
证
明
：
・・
7．设矩阵A1325,B1232,求解矩
（AAT）TAT（AT）TATAAAT
（AAT）T（AT）T（A）TAAT
阵方程XAB．
答案:
XBA
AI
1210
②①（3）
12
3501
01
①②
（2）1052
0131
152
A1
31
XBA1125210
233111
四、证明题
1.试证：
若Bi,B2都与A可交换
BiB2,B1B2也与A可交换。
（ATA）T（A）T（AT）TATA
二aA,aA,Aa是对称矩
10阵②。
（1）1210
310131
3.设A,B均为n阶对称矩阵,则AB对称
的充分必要条件是：
ABBA。
证明：
充分性
TATA,BTB,（AB）TAB
/.AB（AB）tbtatba
必要性
TATA,BTB,ABBA
则
二（AB）t（BA）tatbtab
即AB为对称矩阵
4.设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B1Bt,证明B1AB是对称矩阵。
证明：
TAtA,B1Bt
（B1AB）TBTAT（B1）TB1A（BT）1B1A（B1）
即B1AB是对称矩阵。
作业（四）
（一）填空题
1.函数f（x）x
1在区间
内
是单调减少的.
x
答案：
（
1,0）
（0,1）
2.函数y3（x
1）2的驻点是
极值点是，
它是极
值点.
答案：
x1,x1,小
3.设某商品的需求函数为
p
q（p）肿,
则需求弹性Ep
答案：
2p
111
4.行列式D
111
111
答案：
4
5.设线性方程组AXb,且
1116
A0132，贝卩t时,
00t10
方程组有唯一解.答案：
1
（二）单项选择题
1.
下列函数在指疋区间
（,
）上单调
1增加的是（B）.
A.sinx
B.ex
C.
x2D.3-
x
2.
已知需求函数q（p）
100
20.4p当
p
10时，需求弹性为（C）
A.
424pln2B.4ln2
C.-4ln2
D.
-424pln2
3.
下列积分计算正确的是
（
A）.
A.
1e：
xx
—dx0
1
2
B.
dxx
1ee0
dx0
12
C.
1
xsinxdx0
-1
D.
；（x2x3）dx0
4.
设线性方程组AmnX
b有无穷多解
的充分必要条件是（D）
A
.r（A）r（A）m
B
.r（A）n
C.
mnD.r（A）r（A）n
X1
X2
a1
5.
设线性方程组X2
X3
a2,则
方程组有解的充分必要条件是
2
eln（x1）（eln（
2
1）（x1）3dxC）（x1）2（（x1）2（x
a3
B.
（x
1）2（（x
1）dxC）（x1）2（-1x2
xC）
a3
（2）
2xsin2x
D.
三、
解答题
1.求解下列可分离变量的微分方程
（1）yexy
答案：
原方程变形为
巴edx
答案:
分离变量得：
e
ydyexdx
两边积分得:
eyd（y）
exdx
原方程的通解为：
1dx1dx*
（e2xsin2xdxC）e（
3.求解下列微分方程的初值问题
（1）ye2xy,y（°）°
答案：
原方程变形为：
黑严
分离变量得：
eydye2xdx
ex2xsin2xdx
原方程的通解为：
两边积分得：
eydye2xdx
（2）dyxexdx3y2
原方程的通解为：
ey」e2x
2
将x°,y°代入上式得：
答案：
分离变量得：
3y2dy
xexdx
则原方程的特解为：
ey
两边积分得：
3y2dy
xexdx
C」
2
1
2
原方程的通解为：
y3xex
⑵xyyex°,y
（1）°
ex
2.求解下列一阶线性微分方程
答案：
原方程变形为：
（1）
y-^y（x1）3
x1
原方程的通解为：
答案:
原方程的通解为：
—dx—dx
ex1（ex1（x1）3dx
C）
—d（x1）ex1
-dx丄dxex
yex（ex—dx
2x
~7d（x1）3
（ex1（x1）3dxC）
1
丄（exC）
x
C）
Ine
1（eln
x
edxC）
将x1，y0代入上式得：
Ce则原方程的特解为：
y丄（exe）
x
4.求解下列线性方程组的一般解：
X1
2x3x40
（1）
X1
X2
3x32x40
2x1
X2
5x33x40
答案
:
原方
程的
勺系数矩阵变形过程为：
10
2
1②①102
A
11
3
.2③①
（2）011
21
5
3011
由于秩（A）=2416
XiX3X4
555（其中X3,X4为自由未
X25孰扌
知量）。
5•当
为何值时，
线性方程组
1
102
1
1③1②
X205瑯4X4
12
12X1
X203X30X4
01
3X1
2X22X33X4
3
由于秩（A）=2X12X3X4（其中X3,X4为自由未知
X2X3X4
7Xi5x29x3IOX4
有解，并求一般解。
答案：
原方程的增广矩阵变形过程为
1
1
5
4
2
②①
（2）
1
1
5
4
A
2
1
3
1
1
③
④
①
①
（3）
（7）
0
1
13
C
3
2
2
3
3
0
1
13
C
261
2x1
X2
X3
X41
（2）
X1
2x2
X3
4x42
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