全等三角形知识点讲解经典例题含答案.docx
《全等三角形知识点讲解经典例题含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全等三角形知识点讲解经典例题含答案.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全等三角形知识点讲解经典例题含答案
全等三角形
一、目标认知
学习目标:
1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素;
2.探索三角形全等的条件,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式。
重点:
1.使学生理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式;
2.三角形全等的性质和条件。
难点:
1.掌握用综合法证明的格式;
2.选用合适的条件证明两个三角形全等
经典例题透析
类型一:
全等三角形性质的应用
1、如图,△ABD≌△ACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角.
思路点拨:
AB=AC,AB和AC是对应边,∠A是公共角,∠A和∠A是对应角,按对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边可求解.
解析:
AB和AC是对应边,AD和AE、BD和CE是对应边,∠A和∠A是对应角,∠B和∠C,∠AEC和∠ADB是对应角.
总结升华:
已知两对对应顶点,那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角,第三对角是对应角;再由对应角所对的边是对应边,可找到对应边.
已知两对对应边,第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角.
举一反三:
【变式1】如图,△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗?
为什么?
【答案】证明:
由△ABC≌△DBE,得AB=DB,BC=BE,
则AB-BE=DB-BC,即AE=CD。
【变式2】如右图,
,
。
求证:
AE∥CF
【答案】
∴AE∥CF
2、如图,已知ΔABC≌ΔDEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE的度数与EC的长。
思路点拨:
由全等三角形性质可知:
∠DFE=∠ACB,EC+CF=BF+FC,所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。
解析:
在ΔABC中,
∠ACB=180°-∠A-∠B,
又∠A=30°,∠B=50°,
所以∠ACB=100°.
又因为ΔABC≌ΔDEF,
所以∠ACB=∠DFE,
BC=EF(全等三角形对应角相等,对应边相等)。
所以∠DFE=100°
EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。
总结升华:
全等三角形的对应角相等,对应边相等。
举一反三:
【变式1】如图所示,ΔACD≌ΔECD,ΔCEF≌ΔBEF,∠ACB=90°.
求证:
(1)CD⊥AB;
(2)EF∥AC.
【答案】
(1)因为ΔACD≌ΔECD,
所以∠ADC=∠EDC(全等三角形的对应角相等).
因为∠ADC+∠EDC=180°,所以∠ADC=∠EDC=90°.
所以CD⊥AB.
(2)因为ΔCEF≌ΔBEF,
所以∠CFE=∠BFE(全等三角形的对应角相等).
因为∠CFE+∠BFE=180°,
所以∠CFE=∠BFE=90°.
因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.
所以EF∥AC.
类型二:
全等三角形的证明
3、如图,AC=BD,DF=CE,∠ECB=∠FDA,求证:
△ADF≌△BCE.
思路点拨:
欲证△ADF≌△BCE,由已知可知已具备一边一角,由公理的条件判断还缺少这角的另一边,可通过AC=BD而得
解析:
∵AC=BD(已知)
∴AB-BD=AB-AC(等式性质)
即AD=BC
在△ADF与△BCE中
∴△ADF≌△BCE(SAS)
总结升华:
利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:
(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形,
(2)证明这两个三角形全等;
(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等.
举一反三:
【变式1】如图,已知AB∥DC,AB=DC,求证:
AD∥BC
【答案】∵AB∥CD
∴∠3=∠4
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB(SAS)
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)
∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)
【变式2】如图,已知EB⊥AD于B,FC⊥AD于C,且EB=FC,AB=CD.
求证AF=DE.
【答案】∵EB⊥AD(已知)
∴∠EBD=90°(垂直定义)
同理可证∠FCA=90°
∴∠EBD=∠FCA
∵AB=CD,BC=BC
∴AC=AB+BC
=BC+CD
=BD
在△ACF和△DBE中
∴△ACF≌△DBE(S.A.S)
∴AF=DE(全等三角形对应边相等)
类型三:
综合应用
4、如图,AD为ΔABC的中线。
求证:
AB+AC>2AD.
思路点拨:
要证AB+AC>2AD,由图想到:
AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以AB+AC+BC>2AD,所以不能直接证出。
由2AD想到构造一条线段等于2AD,即倍长中线。
解析:
延长AD至E,使DE=AD,连接BE
因为AD为ΔABC的中线,
所以BD=CD.
在ΔACD和ΔEBD中,
所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).
所以BE=CA.
在ΔABE中,AB+BE>AE,所以AB+AC>2AD.
总结升华:
通过构造三角形全等,将待求的线段放在同一个三角形中。
举一反三:
【变式1】已知:
如图,在RtΔABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD的延长线于E,
求证:
BD=2CE.
【答案】分别延长CE、BA交于F.
因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.
在ΔBEF和ΔBEC中,
所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).
所以CE=FE=
CF.
又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.
所以∠BAC=∠CAF=90°,∠1+∠BDA=90°,∠1+∠BFC=90°.
所以∠BDA=∠BFC.
在ΔABD和ΔACF中,
所以ΔABD≌ΔACF(AAS)
所以BD=CF.所以BD=2CE.
5、如图,AB=CD,BE=DF,∠B=∠D,
求证:
(1)AE=CF,
(2)AE∥CF,(3)∠AFE=∠CEF
思路点拨:
(1)直接通过△ABE≌△CDF而得,
(2)先证明∠AEB=∠CFD,(3)由
(1)
(2)可证明△AEF≌△CFE而得,总之,欲证两边(角)相等,找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等.
解析:
(1)在△ABE与△CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE=CF(全等三角形对应边相等)
(2)∵∠AEB=∠CFD(全等三角形对应角相等)
∴AE∥CF(内错角相等,两直线平行)
(3)在△AEF与△CFE中
∴△AEF≌△CFE(SAS)
∴∠AFE=∠CEF(全等三角形对应角相等)
总结升华:
在复杂问题中,常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件.
举一反三:
【变式1】如图,在△ABC中,延长AC边上的中线BD到F,使DF=BD,延长AB边上的中线CE到G,使EG=CE,求证AF=AG.
【答案】在△AGE与△BCE中
∴△AGE≌△BCE(SAS)
∴AG=BC(全等三角形对应边相等)
在△AFD与△CBD中
∴△AFD≌△CBD(SAS)
∴AF=CB(全等三角形对应边相等)
∴AF=AG(等量代换)
6、如图AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F.
求证:
AF平分∠BAC.
思路点拨:
若能证得得AD=AE,由于∠ADB、∠AEC都是直角,可证得Rt△ADF≌Rt△AEF,而要证AD=AE,就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC,由题意已知AB=AC,∠BAC是公共角,可证得Rt△ABD≌Rt△ACE.
解析:
在Rt△ABD与Rt△ACE中
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)
∴AD=AE(全等三角形对应边相等)
在Rt△ADF与Rt△AEF中
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)
∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等)
∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)
总结升华:
条件和结论相互转化,有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。
举一反三:
【变式1】求证:
有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.
【答案】根据题意,画出图形,写出已知,求证.
已知:
如图,在△ABC与△A′B′C′中.AB=A′B′,BC=B′C′,AD⊥BC于D,A′D′⊥B′C′于D′且AD=A′D′
求证:
△ABC≌△A′B′C′
证明:
在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中
∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′(HL)
∴∠B=∠B′(全等三角形对应角相等)
在△ABC与△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)
【变式2】已知,如图,AC、BD相交于O,AC=BD,∠C=∠D=90°求证:
OC=OD
【答案】∵∠C=∠D=90°
∴△ABD、△ACB为直角三角形
在Rt△ABD和Rt△ABC中
∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL)
∴AD=BC
在△AOD和△BOC中
∴△AOD≌△BOC(AAS)
∴OD=OC.
7、⊿ABC中,AB=AC,D是底边BC上任意一点,DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB垂足分别是E、F、G..
试判断:
猜测线段DE、DF、CG的数量有何关系?
并证明你的猜想。
思路点拨:
寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径
解析:
结论:
DE+DF=CG
方法一:
(截长法)板书此种方法(3分钟)
作DM⊥CG于M
∵DE⊥AB,CG⊥AB,DM⊥CG
∴四边形EDMG是矩形
DE=GM
DM//AB
∴∠MDC=∠B
∵AB=AC
∴∠B=∠FCD
∴∠MDC=∠FCD
而DM⊥CG,DF⊥AC
∴∠DMC=∠CFD
在⊿MDC和⊿FCD中
∴⊿MDC≌⊿FCD(AAS)
MC=DF
∴DE+DF=GM+MC=CG
总结升华:
方法二(补短法)作CM⊥ED交ED的延长线于M(证明过程略)
总结:
截长补短的一般思路,并由此可以引申到截长法有两种截长的想法
方法三(面积法)使用等积转化
引申:
如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”,此时图形如何?
DE、DF和CG会有怎样的关系?
画出图形,写出你的猜想并加以证明
举一反三:
【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。
【答案】证明的过程使用三种证明方法,包括:
(1)截长法
(2)补短法(3)面积法