新人教版数学八年级上册教案三角形.docx

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新人教版数学八年级上册教案三角形

§11.1.1三角形的边

[教学目标]

〔知识与技能〕

1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；

2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题.

〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；

〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

[重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点.

[教学过程]

一、情景导入

三角形是一种最常见的几何图形，[投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象.

那么什么叫做三角形呢？

二、三角形及有关概念

不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

注意：

三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接.

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点.

三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.

三、三角形三边的不等关系

探究：

[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?

各条路线的长一样吗?

为什么？

有两条路线：

（1）从B→C，

（2）从B→A→C；不一样，AB+AC＞BC①；因为两点之间线段最短.

同样地有AC+BC＞AB②

AB+BC＞AC③

由式子①②③我们可以知道什么？

三角形的任意两边之和大于第三边.

四、三角形的分类

我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形.

按角分类:

三角形直角三角形锐角三角形

钝角三角形钝角三角形

斜三角形

那么三角形按边如何进行分类呢？

请你按“有几条边相等”将三角形分类.

三边都相等的三角形叫做等边三角形；

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.

显然，等边三角形是特殊的等腰三角形.

按边分类:

三角形不等边三角形

等腰三角形底和腰不等的等腰三角形

等边三角形

五、例题

例用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形.

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？

为什么？

分析：

（1）等腰三角形三边的长是多少？

若设底边长为x㎝，则腰长是多少？

（2）“边长为4㎝”是什么意思？

解：

（1）设底边长为x㎝，则腰长2x㎝.

x+2x+2x=18

解得x=3.6

所以，三边长分别为3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝.

（2）如果长为4㎝的边为底边，设腰长为x㎝，则

4+2x=18

解得x=7

如果长为4㎝的边为腰，设底边长为x㎝，则

2×4+x=18

解得x=10

因为4+4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4㎝的等腰三角形.

由以上讨论可知，可以围成底边长是4㎝的等腰三角形.

五、课堂练习

课本4页练习1、2题.

六、课堂小结

1、三角形及有关概念；

2、三角形的分类；

3、三角形三边的不等关系及应用.

作业：

课本8页1、2、6；

教学反思：

本节课的一个突出特点就在于学生的实际动手操作上，具体体现在以下两个环节：

一是导入部分：

学生从5根小棒中任意拿出3根，摆一摆，可能出现什么情况？

结果有的学生摆成了三角形，而有的学生没有摆成三角形，此时，老师接过话题：

能否摆成三角形估计与三角形的“边的长度”有关系，它们之间有着怎样的关系呢？

今天我们就一起来研究这个问题.这样很自然地就导入了新课，为后面的新课做了铺垫.

§11.1.2三角形的高、中线与角平分线

〔教学目标〕

〔知识与技能〕

1、经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；毛

2、会画三角形的高、中线与角平分线；3、了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点.

〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯

〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

〔重点难点〕三角形的高、中线与角平分线是重点；三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高是难点.

〔教学过程〕

一、导入新课

我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高.三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究.

二、三角形的高

请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法.

从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D.

注意：

高与垂线不同，高是线段，垂线是直线.

请你再画出这个三角形AB、AC边上的高，看看有什么发现？

三角形的三条高相交于一点.

如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图.

显然，上面的结论成立.

请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高.

上面的结论还成立.

三、三角形的中线

如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC.

请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？

三角的三条中线相交于一点.

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

请画图回答.

上面的结论还成立.

四、三角形的角平分线

如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC.

思考：

三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的.

请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？

三角形三个角的平分线相交于一点.

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

请画图回答.

上面的结论还成立.

想一想：

三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.

五、课堂练习

课本5頁练习1、2题.

六、课堂小结

1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法.

2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律.

七作业：

课本8页3、4；

八、教学反思：

本节内容着重介绍了三角形的三种非常重要的线段，学生已经学过过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识，是学习本节新知识的基础，所以我在复习提问环节不但要求学生说出上述概念的文字语言，还要求学生说出符号语言，为后面三角形的高、中线与角平分线的几何语言做好铺垫.同时我在创设问题情境时我觉得很成功，激起了学生的浓厚兴趣，同时在后面又作为例题进行讲解，既解决了问题情境中提出的问题，又填补了例题的空缺，同时应用三角形的高、中线知识进行解决，得出三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形的结论.

§11.1.3三角形的稳定性

[教学目标]

〔知识与技能〕

1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用.

〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯

〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

[重点难点]三角形稳定性及应用.

[教学过程]

一、情景导入

盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？

二、三角形的稳定性

〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变.

2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

会改变.

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变.

从上面的实验中，你能得出什么结论？

三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性.

三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用

三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产

和生活中都有广泛的应用.如：

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用

四边形的不稳定性.

你还能举出一些例子吗？

四、课堂练习

1、下列图形中具有稳定性的是（）

A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形

2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？

3、课本7页练习.

五作业：

8页5；9页10题.

六、教学反思：

在教学三角形的稳定性时，我利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释为什么要用上三角形和用三角形解决生活中的问题.学生清楚地认识到“不易变形”是三角形的稳定性的一个表现，一种应用.而不是将三角形的稳定性与“不易变形”划等号.这样的教学既使得学生对稳定性有了正确清楚的认识，也为以后进一步学习三角形的稳定性和“全等三角形”的判定方法奠定了认知的基础.

§11.2.1三角形的内角

[教学目标]

〔知识与技能〕

掌握三角形内角和定理.

〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯

〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

[重点难点]三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点.

[教学过程]

一、导入新课

我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？

二、三角形内角和的证明

回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出

∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.[投影1]

图1

想一想，还可以怎样拼？

①剪下∠A，按图

（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.

图2

②把

和

剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.

如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？

已知△ABC，求证：

∠A+∠B+∠C=1800.

证明一

过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，

又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800

∴∠A+∠B+∠ACB=1800.

即：

三角形的内角和等于1800.

由图2、图3你又能想到什么证明方法？

请说说证明过程.

三、例题

例如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

分析：

怎样能求出∠ACB的度数？

根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可.

∠CAB等于多少度？

怎样求∠CBA的度数？

解：

∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300

∵AD∥BE∴∠BAD+∠ABE=1800

∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000

∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600

∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900

答：

从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是900.

四、课堂练习

课本13頁1、2题.

五作业：

16页：

1、3、4；

六、教学反思：

教学重、难点是让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程.

本节课教学设计符合新课程理念，转变学生的学习方式，能让学生以小组合作的形式进行问题的探索与研究，学生在整节课中学得轻松.整节课的教学设计，条理清晰，层次清楚，学生思维活跃，教学一开始从学生熟悉的三角板抽象出特殊的三角形探讨三角形的内角和是180°,接下来很自然地引导学生探讨所有的三角形的内角和是不是也是180，过渡自然且有吸引力.

§11.2.2三角形的外角

[教学目标]

〔知识与技能〕

理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题.

〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯

〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

[重点难点]三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点.

[教学过程]

一、导入新课

〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？

它们有什么关系？

是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800.

若延长BC至D，则∠ACD是什么角？

这个角与△ABC的三个内角有什么关系？

二、三角形外角的概念

∠ACD叫做△ABC的外角.也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

想一想，三角形的外角共有几个？

共有六个.

注意：

每个顶点处有两个外角，它们是对顶角.研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.

三、三角形外角的性质

容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？

〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？

∵CE∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2

又∠ACD=∠1+∠2

∴∠ACD=∠A+∠B

你能用文字语言叙述这个结论吗？

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

由加数与和的关系你还能知道什么？

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

即

，

.

四、例题

〔投影3〕例如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？

分析：

∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？

∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？

解：

∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，

∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400

又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800

∴∠1+∠2+∠3==3600.

你能用语言叙述本例的结论吗？

三角形外角的和等于3600.

五、课堂练习

课本15頁练习；

六、课堂小结

1、什么是三角形外角？

2、三角形的外角有哪些性质？

七、作业：

课本17页5、6；

八、教学反思：

 把复杂的数学知识直观形象的让学生自己探索得出，这种讲课思路值得我们借鉴，新课程倡导教师用教材而不是简单的教教材，教师要创造性地使用教材，要融入自己的科学精神和智慧，要对教材知识进行重新组和，选取更好的事例对教材深加工，设计出活生生的、丰富多彩的课来，充分有效的将教材的知识激活，形成有教师教学个性的教材知识，所以我们可结合学生实际适当改变例题，充分发掘教材中的情感因素，化生为熟化难为易化理为趣增强数学的魅力，激起学生学习的信心和兴趣，形成课堂教与学的合力，我们要让学生感悟数学，真正成为学习的主人，教师要做好学生学习道路上的引路人.

§11．3．1多边形

[教学目标]

〔知识与技能〕

1、了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．2、区别凸多边形与凹多边形．

〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯

〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

[重点难点]多边形及有关概念、正多边形的概念是重点；区别凸多边形与凹多边形是难点.

[教学过程]

一、情景导入

[投影1]看下面的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？

二、多边形及有关概念

这些图形有什么特点？

由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接．

这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形.这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形.

与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角.[投影2]

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

四边形有几条对角线？

五边形有几条对角线？

画图看看.

你能猜想n边形有多少条对角线吗？

说说你的想法.

n边形有1/2n（n－3）条对角线.因为从n边形的一个顶点可以引n－3条对角线，n个顶点共引n（n－3）条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的，所以，n边形有1/2n（n－3）条对角线.

三、凸多边形和凹多边形

[投影3]如图，下面的两个多边形有什么不同？

在图

（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图

（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形.

注意：

今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．

四、正多边形的概念

我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

[投影4]下面是正多边形的一些例子.

五、课堂练习

课本21頁练习1、2.

3、有五个人在告别的时候相互各握了一次手，他们共握了多少次手？

你能找到一个几何模型来说明吗？

六、课堂小结

1、多边形及有关概念.

2、区别凸多边形和凹多边形.

3、正多边形的概念.

4、n边形对角线有1/2n（n－3）条.

七、作业：

课本24页1.

八、教学反思：

课的开始我从学生已有的认识水平和知识经验出发，出示长方形、正方形的地砖各一块，让学生看一看，数一数，说说自己的发现，激发了学生强烈的好奇心和学习兴趣，让学生在轻松快乐的氛围中展开学习，为下面的分类探究作好准备.动手实践、自主探索、亲身体验是学生学习数学的重要方式.在学生认识了五边形和六边形之后，我又呈现了9个多边形（四边形、五边形、六边形各3个）让学生来分类，并说说分类的理由，激发了学生主动探究的热情，最后学着样子按“边”的条数来分一分，初步体验到多边形“边”的特征，帮助学生进一步巩固所学新知.最后，让学生在搭一搭、折一折、画一画、剪一剪的学习活动中体会有关平面图形的特征，感受不同图形间的联系，发现一些有趣的几何现象或问题，如用一张长方形的纸可以依次折出一个五边形，一个六边形和一个四边形，再如在一张正方形纸上剪下一个三角形，剩下的是什么图形？

当学生发现得到的结果可能是五边形，也可能是四边形或三角形时，都被图形的多变多幻所吸引住了，在这一系列的学习过程中，不仅培养了学生的动手能力和合作意识，还强化了学生对多边形的感知.操作活动，让学生初步体验图形之间的联系，比赛又激发了学生的创造欲望，培养学生的创新意识和同学间的合作意识.

§11．3．2多边形的内角和

[教学目标]

〔知识与技能〕

1、了解多边形的内角、外角等概念；

2、2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．

〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯

〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

[重点难点]多边形的内角和与多边形的外角和公式是重点；多边形的内角和定理的推导是难点.

[教学过程]

一、复习导入

我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？

二、多边形的内角和

〔投影1〕如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？

它们将四边形分成几个三角形？

那么四边形的内角和等于多少度？

可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°.

类似地，你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗？

〔投影2〕观察下面的图形，填空：

五边形六边形

从五边形一个顶点出发可以引对角线，它们将五边形分成三角形，五边形的内角和等于；

从六边形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，六边形的内角和等于；

〔投影3〕从n边形一个顶点出发，可以引对角线，它们将n边形分成三角形，n边形的内角和等于.

n边形的内角和等于（n一2）·180°．

从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求.现在以五边形为例，你还有其它的分法吗？

分法一〔投影3〕如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形.

∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°.

图1图2

分法二〔投影4〕如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形.

∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°

如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和＝（n一2）×180°．

三、例题

〔投影6〕例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．

分析：

∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系？

解：

∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360°

又∠A＋∠C＝180°

∴∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=180°

这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．

〔投影7〕例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．

分析：

多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？

六边形的内角和是多少度？

解：

∵∠1+∠BAF=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BAD=180°

∠4+∠CDE=180°∠5+∠DEF=180°∠6+∠EFA=180°

∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°

又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°

∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360