回溯算法实例一.docx

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回溯算法实例一

【问题】 填字游戏问题描述：

在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N（N≥10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，使得所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。

试求出所有满足这个要求的各种数字填法。

可用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数。

如不能为当前方格找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。

当第九个方格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将该解输出，并调整第九个的填入的整数，寻找下一个解。

为找到一个满足要求的9个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序（如从小到大的顺序）每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整数是否能满足要求。

在满足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。

如果最近填入的整数不能满足要求，就改变填入的整数。

如对当前方格试尽所有可能的整数，都不能满足要求，就得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。

如此重复执行扩展、检查或调整、检查，直到找到一个满足问题要求的解，将解输出。

回溯法找一个解的算法：

{ intm=0,ok=1; intn=8; do{  if（ok） 扩展;  else  调整;  ok=检查前m个整数填放的合理性; } while（（!

ok||m!

=n）&&（m!

=0）） if（m!

=0） 输出解; else  输出无解报告；}如果程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解。

相应的算法如下：

回溯法找全部解的算法：

{ intm=0,ok=1; intn=8; do{  if（ok） { if（m==n） { 输出解；调整；}else 扩展;   }   else  调整;  ok=检查前m个整数填放的合理性; } while（m!

=0）;}为了确保程序能够终止，调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验，即要求按某种有许模型生成填数序列。

给解的候选者设定一个被检验的顺序，按这个顺序逐一形成候选者并检验。

从小到大或从大到小，都是可以采用的方法。

如扩展时，先在新位置填入整数1，调整时，找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。

将上述扩展、调整、检验都编写成程序，细节见以下找全部解的程序。

【程序】#include<>;#define N 12voidwrite（inta[]）{ inti,j; for（i=0;i<3;i++） { for（j=0;j<3;j++）   printf（“%3d”,a[3*i+j]）;  printf（“\n”）; } scanf（“%*c”）;}

intb[N+1];inta[10];intisprime（intm）{ inti; intprimes[]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1}; if（m==1||m%2=0） return0; for（i=0;primes>;0;i++）  if（m==primes） return1; for（i=3;i*i<=m;） { if（m%i==0） return0;  i+=2; } return1;}

intcheckmatrix[][3]={ {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},     {2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};intselectnum（intstart）{ intj; for（j=start;j<=N;j++）  if（b[j]）returnj return0;}

intcheck（intpos）{ inti,j; if（pos<0）  return0; for（i=0;（j=checkmatrix[pos]）>;=0;i++）  if（!

isprime（a[pos]+a[j]）   return0; return1;}

intextend（intpos）{ a[++pos]=selectnum

（1）; b[a][pos]]=0; returnpos;}

intchange（intpos）{ intj; while（pos>;=0&&（j=selectnum（a[pos]+1））==0）  b[a[pos--]]=1; if（pos<0）  return–1 b[a[pos]]=1; a[pos]=j; b[j]=0; returnpos;}

voidfind（）{ intok=0,pos=0; a[pos]=1; b[a[pos]]=0; do{  if（ok）   if（pos==8）   { write（a）;    pos=change（pos）;   }   else pos=extend（pos）;  else pos=change（pos）;  ok=check（pos）; } while（pos>;=0）}

voidmain（）{ inti; for（i=1;i<=N;i++）  b=1; find（）;}

五、回溯法  回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。

当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。

如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。

在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。

扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：

对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。

其中Si是分量xi的定义域，且|Si|有限，i=1，2，…，n。

我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。

解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。

但显然，其计算量是相当大的。

我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着j（j

换句话说，只要存在0≤j≤n-1，使得（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及到x1，x2，…，xj的约束之一，则以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）一定也违反D中仅涉及到x1，x2，…，xi的一个约束，n≥i>j。

因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。

回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。

回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。

树T类似于检索树，它可以这样构造：

  设Si中的元素可排成xi

（1），xi

（2），…，xi（mi-1），|Si|=mi，i=1，2，…，n。

从根开始，让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。

这mi个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权xi+1

（1），xi+1

（2），…，xi+1（mi），i=0，1，2，…，n-1。

照这种构造方式，E中的一个n元组（x1，x2，…，xn）对应于T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1，x2，…，xn，反之亦然。

另外，对于任意的0≤i≤n-1，E中n元组（x1，x2，…，xn）的一个前缀I元组（x1，x2，…，xi）对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1，x2，…，xi，反之亦然。

特别，E中的任意一个n元组的空前缀（），对应于T的根。

  因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1，x2，…，xn满足约束集D的全部约束。

在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组（x1i）、前缀2元组（x1，x2）、…，前缀I元组（x1，x2，…，xi），…，直到i=n为止。

  在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点，它对应于问题P的一个解。

【问题】  组合问题问题描述：

找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。

例如n=5，r=3的所有组合为：

（1）1、2、3    

（2）1、2、4    （3）1、2、5    （4）1、3、4    （5）1、3、5    （6）1、4、5    （7）2、3、4    （8）2、3、5    （9）2、4、5    （10）3、4、5则该问题的状态空间为：

E={（x1，x2，x3）∣xi∈S，i=1，2，3}  其中：

S={1，2，3，4，5}约束集为：

  x1

问题的状态空间树T：

2、回溯法的方法  对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T，利用T的层次结构和D的完备性，在T中搜索问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为：

  从T的根出发，按深度优先的策略，系统地搜索以其为根的子树中可能包含着回答结点的所有状态结点，而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的搜索，以提高搜索效率。

具体地说，当搜索按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时，即“激活”该状态结点，以便继续往深层搜索；否则跳过对以该状态结点为根的子树的搜索，而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯，一边“杀死”其儿子结点已被搜索遍的祖先结点，直到遇到其儿子结点未被搜索遍的祖先结点，即转向其未被搜索的一个儿子结点继续搜索。

在搜索过程中，只要所激活的状态结点又满足终结条件，那么它就是回答结点，应该把它输出或保存。

由于在回溯法求解问题时，一般要求出问题的所有解，因此在得到回答结点后，同时也要进行回溯，以便得到问题的其他解，直至回溯到T的根且根的所有儿子结点均已被搜索过为止。

  例如在组合问题中，从T的根出发深度优先遍历该树。

当遍历到结点（1，2）时，虽然它满足约束条件，但还不是回答结点，则应继续深度遍历；当遍历到叶子结点（1，2，5）时，由于它已是一个回答结点，则保存（或输出）该结点，并回溯到其双亲结点，继续深度遍历；当遍历到结点（1，5）时，由于它已是叶子结点，但不满足约束条件，故也需回溯。

3、回溯法的一般流程和技术  在用回溯法求解有关问题的过程中，一般是一边建树，一边遍历该树。

在回溯法中我们一般采用非递归方法。

下面，我们给出回溯法的非递归算法的一般流程：

在用回溯法求解问题，也即在遍历状态空间树的过程中，如果采用非递归方法，则我们一般要用到栈的数据结构。

这时，不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点，而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。

例如在组合问题中，我们用一个一维数组Stack[]表示栈。

开始栈空，则表示了树的根结点。

如果元素1进栈，则表示建立并遍历

（1）结点；这时如果元素2进栈，则表示建立并遍历（1，2）结点；元素3再进栈，则表示建立并遍历（1，2，3）结点。

这时可以判断它满足所有约束条件，是问题的一个解，输出（或保存）。

这时只要栈顶元素（3）出栈，即表示从结点（1，2，3）回溯到结点（1，2）。

【问题】  组合问题问题描述：

找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。

采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：

（1）  a[i+1]>a[i]，后一个数字比前一个大；

（2）  a[i]-i<=n-r+1。

按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：

  首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。

因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件

（1），候选组合改为1，2。

继续这一过程，得到候选组合1，2，3。

该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。

在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。

由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。

重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。

按上述思想写成程序如下：

【程序】#define  MAXN  100inta[MAXN];voidcomb（intm,intr）{  inti,j;  i=0;  a[i]=1;  do{    if（a[i]-i<=m-r+1    {  if（i==r-1）      {  for（j=0;j

（1）}main（）{  comb（5,3）;}