回溯算法实例一.docx

1、回溯算法实例一【问题】填字游戏问题描述：在33个方格的方阵中要填入数字1到N（N10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，使得所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。可用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当前方格找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将该解输出，并调整第九个的填入的整数，寻找下一个解。为找到一个满足要求的9个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序（如从小到大的顺

2、序）每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整数是否能满足要求。在满足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求，就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数，都不能满足要求，就得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查，直到找到一个满足问题要求的解，将解输出。回溯法找一个解的算法：int m=0,ok=1;int n=8;doif (ok)扩展;else调整;ok=检查前m个整数填放的合理性;while (!ok|m!=n)&(m!=0)if (m!=0)输出解;else输出无解报告；如果程序要找全部解，则在

3、将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解。相应的算法如下：回溯法找全部解的算法： int m=0,ok=1;int n=8;doif (ok)if (m=n)输出解；调整；else扩展;else调整;ok=检查前m个整数填放的合理性;while (m!=0);为了确保程序能够终止，调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验，即要求按某种有许模型生成填数序列。给解的候选者设定一个被检验的顺序，按这个顺序逐一形成候选者并检验。从小到大或从大到小，都是可以采用的方法。如扩展时，先在新位置填入整数1，调整时，找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。将上述扩展、调整、检验都

4、编写成程序，细节见以下找全部解的程序。【程序】# include ;# define N12void write(int a )int i,j;for (i=0;i3;i+)for (j=0;j;0;i+)if (m=primes)return 1;for (i=3;i*i=m;)if (m%i=0)return 0;i+=2;return 1;int checkmatrix 3=-1,0,-1,1,-1,0,-1,1,3,-1,2,4,-1,3,-1,4,6,-1,5,7,-1;int selectnum(int start)int j;for (j=start;j=N;j+)if (bj)

5、 return jreturn 0;int check(int pos)int i,j;if (pos;=0;i+)if (!isprime(apos+aj)return 0;return 1;int extend(int pos)a+pos=selectnum(1);bapos=0;return pos;int change(int pos)int j;while (pos;=0&(j=selectnum(apos+1)=0)bapos-=1;if (pos;=0)void main()int i;for (i=1;i=N;i+)b=1;find();五、回溯法 回溯法也称为试探法，该方法首

6、先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。 1、回溯法的一般描述 可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，xn）组成的一个状态空间E=（x1，x2，xn）xiSi ，i=1，2，n，给定关于n元组中

7、的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。 解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。 我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，xi的所有约束意味着j（jj。因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，xj）违反D中仅涉及x1，x2，xj的一个约束，

8、就可以肯定，以（x1，x2，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，xj，xj+1，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。 回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类似于检索树，它可以这样构造： 设Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，n。从根开始，让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权xi+1

9、(1) ，xi+1(2) ，xi+1(mi) ，i=0，1，2，n-1。照这种构造方式，E中的一个n元组（x1，x2，xn）对应于T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1，x2，xn，反之亦然。另外，对于任意的0in-1，E中n元组（x1，x2，xn）的一个前缀I元组（x1，x2，xi）对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1，x2，xi，反之亦然。特别，E中的任意一个n元组的空前缀（），对应于T的根。 因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n

10、个权x1，x2，xn满足约束集D的全部约束。在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组（x1i）、前缀2元组（x1，x2）、，前缀I元组（x1，x2，xi），直到i=n为止。 在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点，它对应于问题P的一个解。 【问题】 组合问题 问题描述：找出从自然数1、2、n中任取r个数的所有组合。 例如n=5，r=3的所

11、有组合为： （1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5 （4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4、5 （7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5 （10）3、4、5 则该问题的状态空间为： E=（x1，x2，x3）xiS ，i=1，2，3 其中：S=1，2，3，4，5 约束集为： x1x2ai，后一个数字比前一个大； （2） ai-i=n-r+1。 按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下： 首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选

12、组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a2上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a2回溯到a1，这时，a1=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a0再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下： 【程序】 # define MAXN 100 int aMAXN; void comb(int m,int r) int i,j; i=0; ai=1; do if (ai-i=m-r+1 if (i=r-1) for (j=0;jr;j+) printf(“%4d”,aj); printf(“”); ai+; continue; else if (i=0) return; a-i+; while (1) main() comb(5,3);