深圳市高三年级第二次调研考试数学理试题与答案.docx
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深圳市高三年级第二次调研考试数学理试题与答案
绝密★启用前试卷类型：
A
2019年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（理科）2019.5
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：
锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
圆柱的侧面积
，其中
是圆柱的底面半径，
是圆柱母线长．
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．设
是虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若命题“
或
”与命题“非
”都是真命题，则
A．命题
不一定是假命题B．命题
一定是真命题
C．命题
不一定是真命题D．命题
与命题
同真同假
3．在△ABC中，若
，则
是
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定
4．直线
与圆C：
的位置关系是
A．相交B．相切C．相离D．不确定
5．如图1，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为
和1的直角三角形，则此几何体的体积为
A．
B．1
C．
D．2
6．设
，
，则以下不等式中，不恒成立的是
A．
B．
C．
D．
7．已知
是实数，则函数
的导函数的图象可能是
8．将长度为1的线段随机折成三段，则三段能构成三角形的概率是
A．
B．
C．
D．
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．设全集
，则a的值为．
10．在
的展开式中，
项的系数是．
11．已知双曲线
的两条渐近线的夹角为
，则双曲线的离心率为
．
12．给出以下一个算法的程序框图（图2），如果
，
，
，则输出的结果是．（注：
框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：
＝”）
13．设
是边长为
的正
内的一点，
点到三边的距离分别为
，则
；类比到空间，设
是棱长为
的空间正四面体
内的一点，则
点到四个面的距离之和
=．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，若圆
的极坐标方程为
，若以极点为原点，以极轴为
轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系
中，则在直角坐标系中，圆心
的直角坐标是．
15．（几何证明选讲选做题）
如图3，在
中，
，以
为直径作半圆交
于
，过
作半圆的切线交
于
，若
，
，则
=．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知
，
，设
．
（1）求函数
的最小正周期及其单调递增区间；
（2）若
分别是锐角
的内角
的对边，且
，
，试求
的面积
．
17．（本小题满分12分）
上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如下表所示．
（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？
并在答题卡中补全频率分布直方图（图4），再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在
岁的人数（结果取整数）；
（2）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
分组
（单位：
岁）
频数
频率
5
0.050
①
0.200
35
②
30
0.300
10
0.100
合计
100
1.00
18．（本小题满分14分）
如图5，四边形
是圆柱
的轴截面，点
在圆柱
的底面圆周上，
是
的中点，圆柱
的底面圆的半径
，侧面积为
，
．
（1）求证：
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
19．（本小题满分14分）
设函数
（
，
）．
（1）若函数
在其定义域内是减函数，求
的取值范围；
（2）函数
是否有最小值？
若有最小值，指出其取得最小值时
的值，并证明你的结论．
20．（本小题满分14分）
已知抛物线
：
的焦点为
，过点
作直线
交抛物线
于
、
两点；椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，点
是它的一个顶点，且其离心率
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）经过
、
两点分别作抛物线
的切线
、
，切线
与
相交于点
．证明：
；
（3）椭圆
上是否存在一点
，经过点
作抛物线
的两条切线
、
（
、
为切点），使得直线
过点
？
若存在，求出抛物线
与切线
、
所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．
21．（本小题满分14分）
设
是数列
的前
项和，且
是
和
的等差中项．
（1）求数列
的通项公式；
（2）当
（
均为正整数）时，求
和
的所有可能的乘积
之和
；
（3）设
，求证：
．
2010年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（理科）参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
A
A
B
C
C
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．2．10．
．11．
．12．
（填
也算对）．13．
．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．
．15．
．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（本题考查向量的数量积、两角和的正弦公式、三角形的面积公式、三角函数的性质等知识，考查化归转化的数学思想和运算求角能力）
解：
由已知可知
.……………
分
（1）
的最小正周期是
.…………
分
由
（
），
解得
（
）.
所以
的单调递增区间是
（
）.…………
分
（2）∵
，即
，
∴
，
∵
是锐角三角形.
∴
，
∴
，
∴
，∴
.…………
分
而
，………
分
∴
.…………
分
.（本小题满分
分）
（本题主要考查频率分布表、直方图、分层抽样、分布列、期望等统计概率知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力）
解：
（1）①处填20，②处填0.35；
507个画师中年龄在
的人数为
人……………3分
补全频率分布直方图如图所示.
…………6分
（2）用分层抽样的方法，从中选
取20人,则其中“年龄低于30岁”
的有5人，“年龄不低于30岁”
的有15人。
……7分
故ξ的可能取值为0，1，2；
…………………10分
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
…………11分
所以：
…………12分
.（本小题满分
分）
（本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、圆柱的侧面积、余弦定理等知识，考查数形结合、化归转化的数学思想和方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
解:
（1）（解法一）：
由题意可知
，
解得
，…………
分
在
中，
，…………
分
∴
，
又∵
是
的中点，
∴
. ①…………
分
∵
为圆
的直径，
∴
.
由已知知
，
∴
，
∴
.…………
分
∴
.②
∴由①②可知：
，
∴
.…………
分
（2）由
（1）知：
，
∴
，
，
∴
是二面角
的平面角.…………
分
.
∴
.
.………
分
（解法二）：
建立如图所示的直角坐标系，
由题意可知
.
解得
.
则
，
，
，
，
∵
是
的中点，
∴可求得
.…………
分
（1）
，
，
∴
.
∵
，
∴
.…………
分
（2）由
（1）知,
，
，
，
.
∵
，
.
∴
是平面
的法向量.…………
分
设
是平面
的法向量，
由
，
，
解得
…………
分
.
所以二面角
的平面角的余弦值
.…………
分
19．（本小题满分14分）
（考查函数和方程、函数与导数、不等式的求解等知识，考查化归与转化、分类与整合、函数与方程的数学思想和方法、推理论证能力和运算求解能力）
解:
（1）∵
，
∵
在
上是减函数，
∴
在
恒成立.…………
分
又∵当
时，
，
∴不等式
在
时恒成立，
即
在
时恒成立，…………
分
设
，
，则
，
∴
.…………
分
（2）∵
，
令
，解得:
由于
，
∴
，
，
∴
，…………
分
①当
即
时,在
上
；在
上
，
∴当
时，函数
在
上取最小值.……
分
②当
即
时,在
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