高中数学第一章常用逻辑用语112量词学案新人教B版选修21.docx

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高中数学第一章常用逻辑用语112量词学案新人教B版选修21

1.1.2　量词

1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及

全称命题和存在性命题的意义．（重点）

2．掌握全称命题与存在性命题真假性的判定．（重点）

[基础·初探]

教材整理1　全称量词与全称命题

阅读教材P4～P5“思考与讨论”下面第3自然段，完成下列问题．

1．全称量词与全称命题

短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．

2．全称命题的形式

设p（x）是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p（x）”的命题，用符号简记为∀x∈M，p（x）．

下列命题：

①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；

②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；

③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；

④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．

其中是全称命题的为________．

【解析】　①中的量词“至少有一个”和④中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．②③中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题．

【答案】　②③

教材整理2　存在量词与存在性命题

阅读教材P5“思考与讨论”下面第3自然段以下部分内容，完成下列问题．

1．存在量词与存在性命题

短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．

2．存在性命题的形式

设q（x）是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q（x）”的命题，用符号简记为∃x∈M，q（x）．

判断下列存在性命题的真假：

（1）有一个实数x0，使x

＋2x0＋3＝0；

（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；

（3）有些整数只有两个正因数．

【解】　

（1）由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以存在性命题“有一个实数x0，使x

＋2x0＋3＝0”是假命题．

（2）由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．

（3）由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

________________________________________________________

解惑：

________________________________________________________

疑问2：

________________________________________________________

解惑：

________________________________________________________

疑问3：

________________________________________________________

解惑：

________________________________________________________

全称命题和存在性命题的判定

　指出下列命题是全称命题还是存在性命题．

（1）∀x∈N,2x＋1是奇数；

（2）存在一个x0∈R，使

＝0；

（3）对任意向量a，|a|＞0；

（4）有一个角α，使sinα＞1.

【精彩点拨】　判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路：

判命题―→看量词―→下结论

【自主解答】　

（1）因为含有“∀”，所以是全称命题．

（2）因为含有“存在”，所以是存在性命题．

（3）因为含有全称量词“任意”，所以该命题是全称命题．

（4）因为含有存在量词“有一个”，所以该命题是存在性命题．

判定一个命题是全称命题还是存在性命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词．当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断．

[再练一题]

1．给出下列四个命题：

①所有梯形的对角线相等；

②对任意实数x，均有x＋2>x；

③存在实数x，使x2＋x＋1<0；

④有些三角形不是等腰三角形．

其中为全称命题的序号是________，为存在性命题的序号是________．

【答案】　①②　③④

全称命题与存在性命题真假的判断

判断下列命题的真假：

（1）∀x∈R，x2＋1>0；

（2）∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；

（3）∃x∈Q，x2＝3；

（4）∃x∈R，x2－x＋1＝0.

【精彩点拨】　结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断．

【自主解答】　

（1）由于∀x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1>0，所以“∀x∈R，x2＋1>0”是真命题．

（2）因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶数，所以“∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题．

（3）由于使x2＝3成立的实数只有±

，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．

（4）因为对于x2－x＋1＝0，Δ<0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“∃x∈R，x2－x＋1＝0”是假命题．

全称命题与存在性命题真假的判断方法

1．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p（x）成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p（x0）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）．

2．要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p（x0）成立即可；否则，这个存在性命题就是假命题．

[再练一题]

2．下列命题中的假命题是（　　）

【导学号：

15460003】

A．∃x∈R，lgx＝0　　　　　B．∃x∈R，tanx＝1

C．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R,2x>0

【解析】　选项A，lgx＝0⇒x＝1；选项B，tanx＝1⇒x＝

＋kπ（k∈Z）；选项C，x3>0⇒x>0；选项D,2x>0⇒x∈R.

【答案】　C

[探究共研型]

全称命题与存在性命题的应用

探究　已知关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围．

【提示】　不等式有解问题是存在性命题，只需Δ≥0即可．因此（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，即a≥

.

　已知函数f（x）＝x2－2x＋5，是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．

【精彩点拨】　

（1）m＋f（x）>0恒成立→m>－f（x）恒成立→

求y＝－f（x）的最大值→m大于－f（x）的最大值

【解】　不等式m＋f（x）>0可化为m>－f（x），

即m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.

要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．

故存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.

应用全称命题与存在性命题求参数范围的两类题型

1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用集合中相应元素的具体性质求解；也可以根据函数等数学知识来解决．

2．存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．

[再练一题]

3．若命题“∀x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________.

【导学号：

15460004】

【解析】　“∀x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题，即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.

【答案】　[－4,0]

[构建·体系]

1．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是（　　）

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使

>2

【解析】　A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为

＋（－

）＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有

<0，所以D是假命题．

【答案】　B

2．下列命题为存在性命题的是（　　）

A．偶函数的图象关于y轴对称

B．正四棱柱都是平行六面体

C．不相交的两条直线是平行直线

D．有很多实数不小于3

【解析】　A，B，C都是全称命题，D命题可以改为“有一些实数不小于3”，是存在性命题．

【答案】　D

3．下列命题中是真命题的有________．（填序号）

①∀x∈R，x2＋2x＋1＞0；

②∃x∈R，|x|≤0；

③∀x∈N*，log2x＞0；

④∃x∈R，cosx＝

.

【解析】　①∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，

∴命题是假命题．

②∵当x＝0时，|x|≤0成立，

∴命题是真命题．

③∵当x＝1时，log2x＝0，

∴命题是假命题．

④∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而

＞1，

∴不存在x∈R，使cosx＝

，

∴命题是假命题．

【答案】　②

4．命题p：

∃x0∈R，x

＋2x0＋5＜0是________（填“全称命题”或“存在性命题”），它是_____命题（填“真”或“假”）．

【解析】　命题p：

∃x0∈R，x

＋2x0＋5＜0是存在性命题．因为x2＋2x＋5＝（x＋1）2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．

【答案】　存在性命题　假

5．已知命题p：

ax2＋2x＋1＞0，若对∀x∈R，p是真命题，求实数a的取值范围．

【解】　由题意可得，∀x∈R，ax2＋2x＋1＞0恒成立．

（1）当a＝0时，ax2＋2x＋1＝2x＋1＞0，显然不恒成立，不合题意．

（2）当a≠0时，要使ax2＋2x＋1＞0恒成立，

则

解得a＞1.

综上可知，所求实数a的取值范围是（1，＋∞）．

我还有这些不足：

（1）________________________________________________________

（2）________________________________________________________

我的课下提升方案：

（1）________________________________________________________

（2）________________________________________________________

学业分层测评

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．下列命题为存在性命题的是（　　）

A．奇函数的图象关于原点对称

B．棱台只有两个面平行

C．棱锥仅有一个底面

D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0

【解析】　A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是存在性命题，故选D.

【答案】　D

2．下列命题为真命题的是（　　）

A．∀x∈R，cosx<2

B．∃x∈Z，log2（3x－1）<0

C．∀x>0,3x>