这个问题就是求函数S在区域D内的最小值.
解方程组
S/
x=y+2V（-1/
）=y-2V/
=0,
S/
y=x+2V（-1/
）=x-2V/
=0.
在区域D内解得唯一稳定点（
）.求二阶扁导数
S/
=4V/
S/
x
y=1,
S/
=4V/
.
-
S/
.
S/
=1-16
/
.
在稳定点
=-3<0,且A=2>0,从而,稳定点
是S的极小点.因此,函数S在点
取最小值.当x=
y=
时,
z=V/
=
/2,
即无盖长方形水箱x=y=
z=
/2,所需钢板最省.
[2]在已知周长为2p的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.
解:
设三角形的三个边长是x,y,z..面积是
.有海伦公式,有
=
.
已知x+y+z=2p或z=2p-x-y将它代入上面公式当中,有
=
.
因为三角形的每边长是正数而且小与半周长p,所以
的概念域
D={（x,y）︱0p}.
已知
的稳定点与
/p的稳定点相同.为计算简便,求
=
/p=（p-x）（p-y）（x+y-p）
的稳定点.解方程组
（x,y）=-（p-y）（x+y-p）+（p-x）（p-y）=（p-y）（2p-2x-y）=0.
（x,y）=-（p-x）（x+y-p）+（p-x）（p-y）=（p-x）（2p-2y-x）=0.
在区域D内有唯一稳定点（2p/3,2p/3）.求二阶扁导数
（x,y）=-2（p-y）,
（x,y）=2（x+y）-3p,
（x,y）=-2（p-x）.
-
（x,y）
（x,y）
=4
+4xy+4
-8px-8py+5
.
在稳定点（2p/3,2p/3）,
=-
/3<0,A=-2p/3<0.从而稳定点（2p/3,2p/3）是函数
即
的极大点.由题意,
在稳定点（2p/3,2p/3）必取到最大值.当x=2p,y=2p/3时,z=2p-x-y=2p/3,即三角形三边长的和为定数时,等边三角形的面积最大.
丛林失火了!
消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢?
派的队员越多,丛林的损失越小,可是救援的开支会越大,所以需要综合考虑丛林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系,以总费用最小来决定派出队员的数量.
问题分析损失费通常正比于丛林烧毁的面积,而烧毁面积于失火,灭火的时间有关,灭火时间又与灭火时间长短有关.记失火时刻为t=0,开始救火时刻为t=
灭火时刻为t=
.设在时刻t丛林烧毁面积为B（t）,则造成损失的丛林烧毁面积为B（
）.建模要对函数B（t）的形式作出合理的简单假设.
模型假设需要对烧毁丛林的损失费,救援费及火势蔓延程度
B/
d的形式作出假设.
1.损失费与丛林烧毁面积B（
）成正比,比例系数
为烧毁单位面积的损失费.
2.从失火到开始救火这段时间（0≤t≤
）内,火势蔓延程度
B/
d与时间t成正比,比例系数
称火势蔓延速度.
3.派出消防队员x名,开始救火以后（t≥
）火势蔓延速度降为
-
其中
可视为每一个队员的平均灭火速度.显然应有
<
.
4.每一个消防队员单位时间的费用为
于是每一个队员的救火费用是
（
-
）;每一个队员的依次性支出是
.
（公式里的C（x）是这个优化模型的目标函数,把它输入MATLAB程序可以取得它的最终解.）
无约束最优化问题在实际应用中也比较常见，如工程中常见的参数反演问题。
另外，许多有约束最优化问题可以转化为无约束最优化问题进行求解。
求解无约束最优化问题的方式主要有两类，即直接搜索法（Searchmethod）和梯度法（Gradientmethod）。
直接搜索法适用于目标函数高度非线性，没有导数或导数很难计算的情况，由于实际工程中很多问题都是非线性的，直接搜索法不失为一种有效的解决办法。
常常利用的直接搜索法为单纯形法，另外还有Hooke-Jeeves搜索法、Pavell共轭方向法等，其缺点是收敛速度慢。
在函数的导数可求的情况下，梯度法是一种更优的方式，该法利用函数的梯度（一阶导数）和Hessian矩阵（二阶导数）构造算法，可以取得更快的收敛速度。
函数f（x）的负梯度方向-f（x）即反映了函数的最大下降方向。
当搜索方向取为负梯度方向时称为最速下降法。
当需要最小化的函数有一狭长的谷形值域时，该法的效率很低，如Rosenbrock函数
f（x）=100（x1-x22）2+（1-x1）2
它的最小值解为x=[1,1]，最小值为f（x）=0。
这种类型的函数又称为香蕉函数。
常见的梯度法有最速下降法、Newton法、Marquart法、共轭梯度法和拟牛顿法（Quasi-Newtonmethod）等。
在所有这些方式中，用得最多的是拟牛顿法，这些方式在每次迭代进程中成立曲率信息，组成下式得二次模型问题：
其中，Hessian矩阵H为一正定对称矩阵，c为常数向量，b为常数。
对x求偏导数可以取得问题的最优解
相关函数介绍
fminunc函数
功能：
求多变量无约束函数的最小值。
语法格式：
x=fminunc（fun,x0）
x=fminunc（fun,x0,options）
x=fminunc（fun,x0,options,P1,P2,...）
[x,fval]=fminunc（...）
[x,fval,exitflag]=fminunc（...）
[x,fval,exitflag,output]=fminunc（...）
[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc（...）
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc（...）
描述：
fminunc给定初值，求多变量标量函数的最小值。
常常利用于无约束非线性最优化问题。
x=fminunc（fun,x0）给定初值x0，求fun函数的局部极小点x。
x0可以是标量、向量或矩阵。
x=fminunc（fun,x0,options）用options参数中指定的优化参数进行最小化。
x=fminunc（fun,x0,options,P1,P2,...）将问题参数p一、p2等直接输给目标函数fun，将options参数设置为空矩阵，作为options参数的缺省值。
[x,fval]=fminunc（...）将解x处目标函数的值返回到fval参数中。
[x,fval,exitflag]=fminunc（...）返回exitflag值，描述函数的输出条件。
[x,fval,exitflag,output]=fminunc（...）返回包括优化信息的结构输出。
[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc（...）将解x处fun函数的梯度值返回到grad参数中。
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc（...）将解x处目标函数的Hessian矩阵信息返回到hessian参数中。
注意：
1．对于求解平方和的问题，fminunc函数不是最好的选择，用lsqnonlin函数效果更佳。
2．利用大型方式时，必需通过将设置为'on'来提供梯度信息，不然将给出警告信息。
算法：
大型优化算法若用户在fun函数中提供梯度信息，则缺省时函数将选择大型优化算法，该算法是基于内部映射牛顿法的子空间置信域法，理论描述可参见文献[8],[9]。
计算中的每一次迭代涉及到用PCG法求解大型线性系统取得的近似解。
中型优化算法此时fminunc函数的参数设置为'off'。
该算法采用的是基于二次和三次混合插值一维搜索法的BFGS拟牛顿法。
该法通过BFGS公式来更新Hessian矩阵。
通过将HessUpdate参数设置为'dfp'，可以用DFP公式来求得Hessian矩阵逆的近似。
通过将HessUpdate参数设置为'steepdesc'，可以用最速下降法来更新Hessian矩阵。
但一般不建议利用最速下降法。
缺省时的一维搜索算法，当设置为'quadcubic'时,将采用二次和三次混合插值法。
将设置为'cubicpoly'时，将采用三次插值法。
第二种方式需要的目标函数计算次数更少，但梯度的计算次数更多。
这样，若是提供了梯度信息，或能较容易地算得，则三次插值法是更佳的选择。
局限性：
1． 目标函数必需是持续的。
fminunc函数有时会给出局部最优解。
2． fminunc函数只对实数进行优化，即x必需为实数，而且f（x）必需返回实数。
当x为复数时，必需将它分解为实部和虚部。
3． 在利用大型算法时，用户必需在fun函数中提供梯度（options参数中GradObj属性必需设置为'on'）。
4． 目前，若在fun函数中提供了解析梯度，则options参数DerivativeCheck不能用于大型算法以比较解析梯度和有限差分梯度。
通过将options参数的MaxIter属性设置为0来用中型方式查对导数。
然后从头用大型方式求解问题。
功能：
求解多变量无约束函数的最小值。
语法：
x=fminsearch（fun,x0）
x=fminsearch（fun,x0,options）
x=fminsearch（fun,x0,options,P1,P2,...）
[x,fval]=fminsearch（...）
[x,fval,exitflag]=fminsearch（...）
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch（...）
描述：
fminsearch求解多变量无约束函数的
升级会员 