八年级几何辅助线专题训练.docx

八年级几何辅助线专题训练.docx

《八年级几何辅助线专题训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级几何辅助线专题训练.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

八年级几何辅助线专题训练

常见的辅助线的作法

1.等腰三角形“三线合一”法：

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2.倍长中线：

倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线：

（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，

（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4.垂直平分线联结线段两端：

在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

5.用“截长法”或“补短法”：

遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：

有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形.

7.角度数为30度、60度的作垂线法：

遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.面积方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、等腰三角形“三线合一”法

1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，

求证：

CE=BD.

中考连接：

（2014•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，

OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（　　）

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

二、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，

则中线AD的取值范围是_________.

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

中考连接：

（09崇文）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：

AM与DE的关系．

（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转（0<<90）后，如图②所示，

（1）问中得到的两个结论是否发生改变？

并说明理由．

三、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=OD

2、如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（AD+AB）.问：

∠1和∠2有何关系？

中考连接：

（）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

四,垂直平分线联结线段两端

1.（2014•广西贺州，第17题3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，

∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，

则∠A的度数是　　．

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC

于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

中考连接：

（20xx年广东汕尾，第19题7分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．

（1）求∠ADE；（直接写出结果）

（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．

补充：

尺规作图

过直线外一点做已知直线的垂线

五、截长补短

1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。

3、如图，已知在△ABC内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，

求证：

5.如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：

AE－BE＝DF．

6.如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，判断AC的长与AE+CD的大小关系并证明.

7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，判断CF与GB的大小关系并证明。

六、综合

1、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

2、如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。

求的度数。

3、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．

当绕点旋转到时（如图1），易证．

当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

4、D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

5、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．

图1图2图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时；

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，

若AN=，则Q=（用、L表示）．

中考连接：

（2014•抚顺第25题（12分））

已知：

Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．

（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，

（1）中的结论是否成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．

参考答案与提示

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

解：

延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知

AB-BE<2AD

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

解：

（倍长中线,等腰三角形“三线合一”法）延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,

显然BG＝FC，

在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知

EG＝EF

在△BEG中，由三角形性质知

EG

故：

EF

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

解：

延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,

显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD

由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC

在△ADB与△ADG中，

BD＝AC=DG，AD＝AD，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE

应用：

1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：

AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，

线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转（0<<90）后，如图②所示，

（1）问中得到的两个结论是否发生改变？

并说明理由．

解：

（1），；

证明：

延长AM到G，使，连BG，则ABGC是平行四边形

∴，

又∵

∴

再证：

∴，

延长MN交DE于H

∵

∴

∴

（2）结论仍然成立．

证明：

如图，延长CA至F，使，FA交DE于点P，并连接BF

∵，

∴

∵在和中

∴（SAS）

∴，

∴

∴

又∵，

∴，且

∴，

二、截长补短

1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

解：

（截长法）在AB上取中点F，连FD

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知

DF⊥AB，故∠AFD＝90°

△ADF≌△ADC（SAS）

∠ACD＝∠AFD＝90°即：

CD⊥AC

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

解：

（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE

△ADE≌△AFE（SAS）

∠ADE＝∠AFE，

∠ADE+∠BCE＝180°

∠AFE+∠BFE＝180°

故∠ECB＝∠EFB

△FBE≌△CBE（AAS）

故有BF＝BC

从而;AB＝AD+BC

3、如图，已知在△ABC内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

解：

（补短法,计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP

在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°

从而∠BDP＝40°＝∠ACP

△ADP≌△ACP（ASA）

故AD＝AC

又∠QBC＝40°＝∠QCB故BQ＝QC

BD＝BP

从而BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，

求证：

解：

（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD

△BDF≌△BDC（SAS）

故∠DFB＝∠DCB，FD＝DC

又AD＝CD

故在等腰△BFD中

∠DFB＝∠DAF

故有∠BAD+∠BCD＝180°

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

解：

（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD

△ABP≌△AFP（SAS）

故BP＝PF

由三角形性质知

PB－PC＝PF－PC

应用：

分析：

此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。

解：

有

连接AC，过E作并AC于F点

则可证为等边三角形

即，

∴

又∵，

∴

又∵

∴

在与中

，，

∴

∴

∴

点评：

此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。

三、

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=OD，DC+AE=AC

证明（角平分线在三种添辅助线,计算数值法）∠B=60度,

则∠BAC+∠BCA=120度;

AD,CE均为角平分线,

则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;

∠AOC=120度.

在AC上截取线段AF=AE,连接OF.

又AO=AO;∠OAE=∠OAF

.则⊿OAE≌ΔOAF（SAS）,

OE=OF;AE=AF;

∠AOF=∠AOE=60度.

则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;

又CO=CO;∠OCD=∠OCF.

故⊿OCD≌ΔOCF（SAS）,

OD=OF;CD=CF.

OE=OD

DC+AE=CF+AF=AC.

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

解：

（垂直平分线联结线段两端）连接BD，DC

DG垂直平分BC，故BD＝DC

由于AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有

ED＝DF

故RT△DBE≌RT△DFC（HL）

故有BE＝CF。

AB+AC＝2AE

AE＝（a+b）/2

BE=（a-b）/2

应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

解：

（1）FE与FD之间的数量关系为

（2）答：

（1）中的结论仍然成立。

证法一：

如图1，在AC上截取，连结FG

∵，AF为公共边，

∴

∴，

∵，AD、CE分别是、的平分线

∴

∴

∴

∵及FC为公共边

∴

∴

∴

证法二：

如图2，过点F分别作于点G，于点H

∵，AD、CE分别是、的平分线

∴可得，F是的内心

∴，

又∵

∴

∴可证

∴

五、旋转

例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

证明：

将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG

则GE=GB+BE=DF+BE=EF

又AE=AE，AF=AG，

所以三角形AEF全等于AEG

所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF

又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90

所以∠EAF=45度

例2D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

解：

（计算数值法）

（1）连接DC，

D为等腰斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DA

CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°

由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°

由于CD⊥AB，有∠CDA＝90°

从而∠CDE＝∠FDA＝

故有△CDE≌△ADF（ASA）

故有DE=DF

（2）S△ABC=2,S四DECF=S△ACD=1

例3如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为；

解：

（图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法）AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，

又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

∵在△DMN和△DEN中，

   DM=DE

∠MDN=∠EDN=60°

DN=DN

∴△DMN≌△DEN，

∴MN=NE

∵在△DMA和△DEF中，

   DM=DE

∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF（∠CDE=∠BDM）

∠DAM=∠DFE=30°

∴△DMN≌△DEN（AAS），

∴MA=FE

的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6

应用：

1、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．

当绕点旋转到时（如图1），易证．

当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

解：

（1）∵，，，

∴（SAS）；

∴，

∵，

∴，为等边三角形

∴，

∴

（2）图2成立，图3不成立。

证明图2，延长DC至点K，使，连接BK

则

∴，

∵，

∴

∴

∴

∴

∴

∴

即

图3不成立，AE、CF、EF的关系是

2、（西城09年一模）已知:

PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.

（1）如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

（2）当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

分析：

（1）作辅助线，过点A作于点E，在中，已知，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：

可将绕点A顺时针旋转得到，可得，求PD长即为求的长，在中，可将的值求出，在中，根据勾股定理可将的值求出；解法二：

过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根据勾股定理可将PD的值求出；

（2）将绕点A顺时针旋转，得到，PD的最大值即为的最大值，故当、P、B三点共线时，取得最大值，根据可求的最大值，此时．

解：

（1）①如图，作于点E

∵中，，

∴

∵

∴

在中，

∴

②解法一：

如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将绕点A顺时针旋转得到，，可得，，

∴，，

∴，

∴；

解法二：

如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G．

在中，可得，，

在中，可得，

在中，可得

（2）如图所示，将绕点A顺时针旋转,得到，PD的最大值，即为的最大值

∵中，，，且P、D两点落在直线AB的两侧

∴当、P、B三点共线时，取得最大值（如图）

此时，即的最大值为6

此时

3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．

图1图2图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时；

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，

若AN=，则Q=（用、L表示）．

分析：

（1）如果，，因为，那么，也就有，直角三角形MBD、NCD中，因为，，根据HL定理，两三角形全等。

那么，，三角形NCD中，，，在三角形DNM中，，，因此三角形DMN是个等边三角形，因此，三角形AMN的周长

，三角形ABC的周长，因此．

（2）如果，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。

延长AC至E，使，连接DE．

（1）中我们已经得出，，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，，，因此两三角形全等，那么，，．三角形MDN和EDN中，有，，有一条公共边，因此两三角形全等，，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为，因此．Q与L的关系的求法同

（1），得出的结果是一样的。

（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同

（2）过D作，三角形BDM和CDH中，由

（1）中已经得出的，我们做的角，，因此两三角形全等（ASA）．那么，，三角形MDN和NDH中，已知的条件有，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道，因为，因此，因为，那么

，因此，这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN和DNH就全等了．那么，三角形AMN的周长

．因为，，因此三角形AMN的周长．

解：

（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系：

；此时．

（2）猜想：

结论仍然成立．

证明：

如图2，延长AC至E，使，连接DE

∵，且

∴

又是等边三角形

∴

在与中

∴（SAS）

∴，

∴

在与中

∴（SAS）

∴

故的周长

而等边的周长

∴

（3）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若，则（用x、L表示）．

点评：

本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。