面对高考初高中数学衔接教材.doc
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初高中数学衔接教材
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式；
（2）完全平方公式．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式；
（2）立方差公式；
（3）三数和平方公式；
（4）两数和立方公式；
（5）两数差立方公式．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
第一讲因式分解
因式分解的主要方法有：
十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1分解因式：
（1）x2－3x＋2；
（2）x2＋4x－12；
（3）；（4）．
解：
（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有
x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）．
－ay
－by
x
x
图1．1－4
－2
6
1
1
图1．1－3
－1
－2
1
1
图1．1－2
－1
－2
x
x
图1．1－1
说明：
今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．
（2）由图1．1－3，得
x2＋4x－12＝（x－2）（x＋6）．
（3）由图1．1－4，得
－1
1
x
y
图1．1－5
＝
（4）＝xy＋（x－y）－1
＝（x－1）（y+1）（如图1．1－5所示）．
习题一
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1）__________________________________________________。
（2）__________________________________________________。
（3）__________________________________________________。
（4）__________________________________________________。
（5）__________________________________________________。
（6）__________________________________________________。
（7）__________________________________________________。
（8）__________________________________________________。
（9）__________________________________________________。
（10）__________________________________________________。
2、
3、若则，。
二、选择题：
（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式
（1）
（2）（3）（4）
（5）中，有相同因式的是（）
A、只有
（1）
（2） B、只有（3）（4）
C、只有（3）（5） D、
（1）和
（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式得（）
A、B、C、D、
3、分解因式得（）
A、B、
C、D、
4、若多项式可分解为，则、的值是（）
A、，B、，C、，D、，
5、若其中、为整数，则的值为（）
A、或B、C、D、或
三、把下列各式分解因式
1、2、
3、4、
第二讲一元二次方程
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
，，
则有
；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x 2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x 2＝－p，x1·x2＝q，
即p＝－（x1＋x 2），q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－（x1＋x 2）x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－（x1＋x 2）x＋x1·x2＝0．因此有
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2－（x1＋x 2）x＋x1·x2＝0．
例1已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：
由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：
∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
解法二：
设方程的另一个根为x1，则2x1＝－，∴x1＝－．
由（－）＋2＝－，得k＝－7．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
例2已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析：
本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：
设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得
x1＋x2＝－2（m－2），x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21，
∴（x1＋x2）2－3x1·x2＝21，
即[－2（m－2）]2－3（m2＋4）＝21，
化简，得m2－16m－17＝0，
解得m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：
（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例3已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：
我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：
设这两个数分别是x，y，
则x＋y＝4，①
xy＝－12．②
由①，得y＝4－x，
代入②，得
x（4－x）＝－12，
即x2－4x－12＝0，
∴x1＝－2，x2＝6．
∴或
因此，这两个数是－2和6．
解法二：
由韦达定理可知，这两个数是方程
x2－4x－12＝0
的两个根．
解这个方程，得
x1＝－2，x2＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：
从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
习题二
A组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）
（A）－3（B）3（C）－2（D）2
（2）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）
（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．
（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．
（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是
．
（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．
3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－（2m＋1）x＋1＝0有两个不相等的实数根？
有两个相等的实数根？
没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．
B组
1．选择题:
若关于x的方程x2＋（k2－1）x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（）
（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．
（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．
3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2（x1＋x2）＞x1x2，求实数k的取值范围．
C组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）
（A）（B）3（C）6（D）9
（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值为（）
（A）6
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