清华大学自主招生试题含答案.docx
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清华大学自主招生试题含答案
1.设复数
2
z=cos+isin
3
2，则
3
11-z11z2
（A）0（B）1（C）
（D）
2.设数列{an}为等差数列，
p,q,k,
l为正整数，则“
p+q>k+l”是“apaqakal”的（）条件
既不充分也不必要
（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充要（D）
3.设A、B是抛物线y=x2上两点，
O是坐标原点，若
OA⊥OB,则（）
（A）|OA|·|OB|≥2（B）|OA|+|OB|（C）直线AB过抛物线y=x2的焦点（D）O到直线AB的距离小于等于
4.设函数f（x）的定义域为（-1,1），且满足：
①f（x）>0,x∈（-1,0）；②f（x）+f（y）=f（xy），1xy
x、y∈（-1,1），则f（x）为
（A）奇函数（B）偶函数（C）减函数（D）有界函数
F（x）=f（x）?
kx有（?
?
?
?
）
5.如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，则
（D）3个极小值点
sinC+sin（B?
A）?
2sin2A=0,则有（?
?
）
6.△ABC的三边分别为a、b、c．若c=2，∠C=，且
3
（A）b=2a（B）△ABC的周长为2+23（C）△ABC的面积为23（D）△ABC的外接圆半径为2333
7.设函数f（x）（x23）ex，则（?
?
?
?
）
（C）x1x2=a，y1y2=b（D）
22
a2b2=2ax12by1
222
9.已知非负实数x,y,z满足4x24y2z2+2z=3，则5x+4y+3z的最小值为（?
?
?
?
）
（A）1（B）2（C）3（D）4
10.设数列｛an｝的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则（?
?
?
?
）
（A）｛an｝可能为等差数列（B）｛an｝可能为等比数列
（C）｛an｝的任意一项均可写成｛an｝的两项之差（D）对任意正整数n，总存在正整数m，使得an=Sm
11.
运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：
4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：
3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：
1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：
4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此
人是（?
?
?
）
（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁
的值有2个
（A）若S=4，则k的值唯一（B）若S=1，则k
2
（C）若D为三角形，则04
3
14.△ABC的三边长是2,3,4，其外心为
O，则OAABOBBC
（A）0（B）?
15（C）?
21（D）?
2
29
2
15.设随机事件A与B互相独立，且P（B）=0.5，P（A?
B）=0.2，则（?
?
?
?
（A）P（A）=0.4（B）P（B?
A）=0.3（C）P（AB）=0.2（D）P（A+B）=0.9
16.过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（
3445
（A）最小值为（B）最小值为（C）最大值为（D最大值为
4534
17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（?
?
?
?
）
（A）105种（B）225种（C）315种（D）420种
18.已知存在实数
r，使得圆周x2y2r2上恰好有n个整点，则n可以等于（?
?
?
?
（A）4（B）6（C）8（D）1219.设复数z满足2|z|≤|z?
1|，则（?
?
?
?
1
（A）|z|的最大值为1（B）|z|的最小值为（C）z的虚部的最大值为
3
21
（D）z的实部的最大值为33
β），其中α,β∈[0,2π）α,β
20.设m,n是大于零的实数，a=（mcosα,msinα），b=（ncosβ,nsin
22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（
1111
（A）ρ=（B）ρ=（C）ρ=（D）ρ=
cossin2sin2cos12sinsinx
23.设函数f（x）2，则（?
?
?
?
）
x2x1
4
（A）f（x）≤（B）|f（x）|≤5|x|（C）曲线y=f（x）存在对称轴（D）曲线y=f（x）存在对称中心
3
24.△ABC的三边分别为a,b,c，若△ABC为锐角三角形，则（?
?
?
?
）
（A）sinA>cosB（B）tanA>cotB（C）a2b2c2（D）a3b3c3
25.设函数f（x）的定义域是（?
1,1），若f（0）=f（0）=1，则存在实数δ∈（0,1），使得（?
）
（C）f（x）>1，x∈（0,δ）（D）f（x）>1，x∈（?
δ,0）
26.在直角坐标系中，已知A（?
1,0），B（1,0）．若对于y轴上的任意n个不同的点Pk（k=1,2,⋯,n），总
1
存在两个不同的点Pi,Pj，使得|sin∠APiB?
sin∠APjB|≤，则n的最小值为（?
）
3
（A）3（B）4（C）5（D）6
27.设非负实数x,y满足2x+y=1，则x+x2y2的（?
?
）
4212
（A）最小值为（B）最小值为（C）最大值为1（D）最大值为
553
28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（?
?
?
?
）
（A）存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多（B）存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
（C）存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个（D）存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到
的不同的五位数有（?
?
?
?
）
（A）300个（B）450个（C）900个（D）1800个
30.设曲线L的方程为y4（2x22）y2（x42x2）=0，则（?
?
?
?
）
（A）L是轴对称图形（B）L是中心对称图形
（C）L?
{（x,y）
x2y
≤1}
（D）L?
{（x,y）
?
1≤y≤1}
22
##Answer##
cos
（2）isin
（2）
33
3（cosisin）
2
2sini2sincos
333
cos0isin0
17
[cos（）isin（）]
2sin[cos（）isin（）]366
366
（cosisin
66
1i）=1，选B
2
2.【简解】apaq（akal）=[（p+q）-（k+l）]d，与公差d的符号有关，选D
确；f（x）=-tanx满足已知条件，但无界，（D）错误。
选A,C2
5.【简解】将直线平移知：
斜率为k的直线，与曲线y=f（x）至多有五个公共点，其中在此直线先下方
后上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故
F（x）有三个极大值点，两个极小值点。
选BC
c42
6.【解析】2R==R=3,D正确；
sinC33
又sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosAcosA=0或sinB=2sinAA=
2或b=2a;A=时，b=23,a=43,周长为2+3，面积为23；b=2a时，
2333c2=a2b22abcosCa=23,B=,同样有周长为2+3，面积为23。
选BCD
323
7.【简解】f（x）=（x+3）（x-1）ex,f极大（x）f（3）63,f极小（x）f
（1）-2e，作出其大致图象，e
如图选BD
8.【解析】已知即半径相等的两圆⊙O:
x2y2r2与⊙C:
（xa）2（yb）2r2交于相异的两点
222
P1（x1,y1）、P2（x2,y2）。
0<|OC|<2|r|0总之，选BCD
d≥2ab-3=2|a||b|cos（a,b）-3=213cos（a,b）-3,作图知
（a,b）最大值是b与OY夹角，此时d≥2133-3=3。
选C
13
41
别为、1,都比大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为
52
仍然是三角形，（C）错误；围成五边形，斜率大于直线PC的斜率
14.【简解】取AB的中点D,则OAAB=OA×AB×cos（π-∠OAB）=-AB×（OA×cos∠OAB）=-1AB2,同理
2
1212122229
OBBC=BC2，OCCACA2，原式=（AB2BC2CA2）.选D
2222
15.【简解】设P（AB）=x，则P（A）=0.2+x，根据P（AB）=P（A）P（B）有x=（0.2+x）×0.5x=0.2;P（A）=0.4，
（A）正确；P（B-A）=0.5-0.2=0.3,（B）正确；P（AB）=0.2，（C）正确；P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.7,（D）错误。
选ABC
16.【解析】设△ABC的重心为G,面积为1，过点G的直线与三角形边AB、AC分别相交于D、E，
1
AD=xAB,AE=yAC,则有AB×ACsinA=1,如图
2
特别的x,y∈{0,1}时，DE为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为1
11
当x,y∈（0,1）时，△ADE面积S=AD×AEsinA=xAB×yACsinA=xy,D、G、E三点共线存在实数
22
λ，使得DGDEAGAD=λ（AEAD）AG=（1-λ）AD+λAE=（1-λ）xAB+λ
yAC,又AG=1AB+1AC
33
（1）x
1
y3
1111
消去λ得到=3，因≥
xyxy
24
等号成立当且仅当x=y=23DE∥BC,故S最小值为94，1-S的
2015=5×13×31，不可能是三个连续整数之积，（B）正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方
数，（C）（D）错误。
选AB
1
22.【简解】（A）去分母，化成直角坐标方程为x+y=1，表示直线；（B）为ρ=2表示椭圆；
1
1cos（）22
1
（C）为ρ=2表示椭圆；（D）为ρ=表示双曲线。
选BC
1
1cos12cos（）22
421
23.【解析】f（x）≤g（x）=4x24x43sinx≥0,g极小值（x）=g（）=0,（A）正确；|f（x）|≤
32
5|x||sin
32
πx|≤|x3x2x|.作图象知成立,（B）正确；x=
1是其一条对称轴，（C）正确；
2
f（ax）
f（ax）不可能为常数，故（D）错误。
选ABC
24.【简解】A+B>A>-BsinA>sin（-B）=cosB,tanA>tan（
22
-B）=cotB,（A）（B）正确；锐角三
2
3
C53种方法，如选了123；在确定不重复用的
数字，有C3种方法，如选3；对数字3安排有A5种方法，余下的对数字1安排有C4种方法，剩下的两位安排2；有C53C31A51C42=900.选C
222
30.【简解】解方程得到y2x214x21，易知它关于两坐标轴及原点都对称，
（A）（B）正确；
x2y2=4x211≤1有-3≤x≤3条件，但已知中无此条件，故（C）错误；设2x=tan
22
∈（-
2
132111
2）,y=-4sec+secθ-4,当secθ=2时，ymax=4，-2≤y≤2,（D）正确。
选
θ,θ
ABD
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