清华大学自主招生试题含答案.docx

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清华大学自主招生试题含答案

1.设复数z=cos-

3

+isin

（A）0（B）1（C）

2冲1

3，则仁

（D）3

2

1

1z2

2.设数列｛aj为等差数列,

p,q,k,l为正整数，则

p+q>k+l”是“ap

aq

akal”的（）条件

既不充分也不必要

（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充要（D）

3.设A、B是抛物线y=x2上两点，0是坐标原点，若OAL0B,则（）

（A）|OA|•|OB|>2（B）|OA|+|OB|（C）直线AB过抛物线y=x2的焦点（D）O至煩线AB的距离小于等于

4.设函数f（x）的定义域为（-1,1），且满足：

①

Xy

f（x）>0,x€（-1,0）；②f（X）+f（y）=f（）,X、y€

1xy

（-1,1），则f（x）为

（A）奇函数（B）偶函数（C）减函数（D）有界函数

5.

如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，则F（x）=f（x）-kx有（

/C=—，且sinC+sin（B-A）-2sin2A=0,则有（

3

（A）b=2a（B）△ABC的周长为2+2-.3（C）△ABC的面积为一空（D）△ABC的外接圆半径为3

7.设函数f（x）（x23）ex，则（）

（A）f（x）有极小值，但无最小值（B）f（x）有极大值，但无最大值

（C）若方程f（x）=b恰有一个实根，则b>-6|（D）若方程f（x）=b恰有三个不同实根，则0

ee

8.已知A={（x,y）1x2

22

yr},

B={（x,y）1（x

222

a）（yb）r,已知AnB={（x1,yJ,（X2,y2）},

则（）

（A）0

（B）

aX

X2）b（y

1y2）0

（C）X1X2=a,y1

y2=b（D）

2a

b2=2ax1

2by1

9.已知非负实数x,y,z

满足4x2

4y2

2

z+2z=3,

则5x+4y+3z的最小值为（

）

（A）1（B）2（C）3（D）4

10.设数列｛an｝的前n项和为Sn，若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am，则（）

（A）｛an｝可能为等差数列（B）｛an｝可能为等比数列

（c）｛an｝的任意一项均可写成｛an｝的两项之差（D）对任意正整数n，总存在正整数m使得an=Sm

11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：

4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：

3道

的选手不可能得第一名；观众丙猜测：

1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：

4,5,6道的选手

都不可能获得第一名•比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是

（）

（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁

1

（A）若S=4,则k的值唯一（B）若S=^，贝Uk的值有2个

2

2

k>4

（C）若D为三角形，则0

3

（A）105种（B）225种（C）315种（D）420种

18.已知存在实数r，使得圆周x2y2r2上恰好有n个整点，则n可以等于（

19.

22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（

421V2

（A）最小值为一（B）最小值为一（C）最大值为1（D）最大值为

553

28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（

（A）存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多

（B）存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多

（C）存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个

（D）存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个

29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数,

同的五位数有（

（A）300个（B）450

其中有两个数字各用两次，例如

12231,则能得到的不

30.设曲线L的方程为

（A）L是轴对称图形

（C）L?

{（x,y）I

##Answer##

1.【解析】丄

1-z

）

个（C）900

y4（2x2

（B）L

个（D）1800个

242

2）y（x2x）=0,则（

是中心对称图形

1

（D）L?

{（x,y）

zz1

zz

1

-2.2

1-cosisin

33

2cos

3

..2

isin

3

2

2isin

3

2sin2i2sincos—

333

cos0isinO

2sin—[cos（—）isin（

-）isin（

3

、、3（cos—

2

-洽2os（

cos（

isin）

2

7）isin（

6

7）]

丄（cos—isin—

.366

△）=1,选B

2

2.【简解】ap

（ak

Q）=[（p+q）-（k+l）]d，与公差

d的符号有关，选

3.【解析】设A（

2

X1,X1）,B（

2uuuuuu

X2,X2）,OAOB=X1X2（1X1X2）=0X2

X1

答案（A）,|0A|lOBI^x^（1好）4（1—1^）=j1X

21

2

X1

1>/22|X1|丄=2,正确;

|X1|

答案

（B）,|OA|+|OB|>2..|OA「|OB|>2.2,正确；答案（C）,直线AB的斜率为

22

2^=X2

x2x1

X1

程为y-xj=（x1

1

）（x-

x1）,焦点（0,1）不满足方程，错误；答案（D），原点到直线AB：

（

4

X1

1

）x-y+仁0

X1

的距离d=

w1,正确。

选ABD

（X1Jr1

4.【解析】x=y=Of（0）=O,y=-xf（x）f（x）,f（x）为奇函数，（A）正确；f（x）.0,（B）错误;

f（xi）>f（X2）f（x）J,（C）正确;

XiX2,f（xj-f（X2）=f（xi）+f（X2）=f®空>0

1xi屜

f（x）=-tanx满足已知条件，但无界，（D）错误。

选A,C

2

5.【简解】将直线平移知：

斜率为k的直线，与曲线y=f（x）至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故F（x）有三个极大值点，两个极小值点。

选BC

6.【解析】2R=

2_

R='、3,D正确;

3

又sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosAcosA=0或sinB=2sinAA=—或

2

0—A=0—

b=2a;A=—时，b=—J3,a=—J3,周长为2+J3,面积为一J3;b=2a时，

2333

222

c=ab2abcosC

2—

a=一J3,B=—:

冋样有周长为

2+..3，面积为2&°

选BCD

32

3

7.【简解】f（x）=（x+3）（x-1）

e,f极大（x）

6

f（3）—,

e

f极小（x）f

（1）-2e,

作出其大致图象，如图

选BD

8.【解析】已知即半径相等的两圆O

222222

O：

xyr与OC：

（xa）（yb）r交于相异的两点

一一222222

垂直且平分，（B）（C）正确；ab=2axi2byi（aXi）（byi）Xiyi|CR||0R|,（D）

正确。

总之，选BCD

作图知

d>2ab-3=2|a||b|cos（a,b）-3=2..13cos（a,b）-3,

（a,b）最大值是b与OY夹角，此时d>213L-3=3。

选C

4（1qn）

1q

m11qn

agm11q常数，也不可能；答案（C）,anSnSn1=amat,满足要求；答案

q

（D）,an=Sm

=at，并非对所有数列成立。

选AC

时,

qz1

10.【解析】答案（A），常数列0,0,0,…满足要求；答案（B）,公比

q=1时因na1za1,结论假,

11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D

12.等体积法，选B

13.【解析】如图：

不等式组表示过点P（-1,-2）的直线的下方与正方形ABCD围成的面积图形

>4,故S=4只有一解，（A）正确；△RAB△P3P4D的面积分别

5

特别的

x,y€{0,1}

时，

DE为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为

1

当x,y

€（0,1）时，

△ADE面积

S=[ADXAEsinA=-xABXyACsinA=xy,D、

GE三点共线存在实数入，使

2

2

UULT得DG

uuur

UULT

UULT

uuur

UULTuuur

UULT

=（1-入）AD+入

UUU

uuu

UULT

DE

AG

AD

=入（

AE

AD）AG：

AE

=（1-

入）xAB

+入

yAC,又

UULT

AG=-

1uuu1uuur—AB+—AC

（1

）x

1

3

1

消去入得到1

1「11

=3,因__

>2.

厂1

2

S

S

2

>S

33

y

1

3

x

yxy

V

xy

3

4245

>-,等号成立当且仅当x=y=DE//BC,故S最小值为一，1-S的最大值为—；故两面积比值有最小值

9399

45

-，最大值-。

选BD

54

17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为A,从A逆时针方向的点依次记为

Ak（k=1,2,3,…,7）,顺时针方向的顶点依次记为Ak（k=1,2,3,…,7）,△A.AAm要构成以A为钝角的钝

角三角形，则n+mc7,有1+2+3+…+6=21个。

于是共可构成15X21=315个钝角三角形。

选C

18.【简解】正数点关于x轴、y轴对称，故一定是4的倍数。

选ACD

122412

19.【简解】设x=x+yi（x,y€R）,代入化简得到（x丄）2y24，表示以（--,0）为圆心，以-为半径的

3933

圆及其内部，根据图形，选ACD

r1r1

20.【解析】a1•a2是一个数值，不是向量，（A）错；

r1r1.....

a2b2=ncoscosnsinsin=、..mncos=.mncos—,（B）正确；

222222

r1r1

|a2b212=（、、mcos—、、ncos—）2+（、、msin—,nsin—）2=m+n-2.mncos

2222

m+n-2mncos—>2mn（1-cos—）=4,mnsin2—,（C）正确;

224

同理（D）正确

选BCD

21.【简解】亠1,迭乘得到an=（n+2）（n+1）n；a.（n1）3n（n+2）<（n1）2,（A）正确；2015=5

ann

X13X31,不可能是三个连续整数之积，（B）正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数，（C）（D）

错误。

选AB

1

22.【简解】（A）去分母，化成直角坐标方程为

x+y=1,表示直线;

（B）为p=-

1

—-表示椭圆;

2cos（2

（C）

1

为p=^2表示椭圆;

1cos

2

4

23.【解析】f（x）c

3

5|x||sinnx|c|x3

（D）为p=表示双曲线。

选BC

12cos（-）

1

g（x）=4x24x43sinx>0,g极小值（x）二g（—）=0,（A）正确；|f（x）|c2

21

xx|.作图象知成立,（B）正确；x=是其一条对称轴，（C）正确；

2

f（ax）f（ax）不可能为常数，故（D）错误。

选ABC

24.【简解】A+B>—a>—-BsinA>sin（—-B）=cosB,tanA>tan（

222

—-B）=cotB,（A）（B）正确；锐角三角形,

2

定有a2

22

bc,（C）正确；三角形三边长为0.5,0.9,1

时，满足锐角三角形条件，但

33

0.50.9

0.854<1,（D）错误。

总之，选ABC

25.【解析】

根据导数定义，对任意£>0,存在3>0,当|x|<

3时，|f（x）f（0）-1|<£x（1-

x

£）+10,知在0附近存在区间,

f（X）>0,（B）正

确；对于函数y=x+1，（D）不正确。

总之，选ABC

21

26.［解析】将所有的|sin/ARBsin/APjB|，按从小到大排序，共有C：

个，其中最小者不大于，最

3

12

大为2，于是-Cn>2,n的最小值为4.选B

3

27.【解析】设x=rcos0,y=rsin0,0€[0,].2x+y=1r=,x+.x2y2=rcos

22cossin

+r=cos1——，记作T；去分母得到Tsin0+（2T-1）cos0=1,,T2（2T

2cossin

2T14

+arctan）=1w、T2（2T1）2,解得T>,等号成立当且仅当0+arctan

TN5

3

+arctan=—,（A）正确；当0=0时T=2,0=一时T=1，最大值为2,（C）正确。

选AC

422

28.[简解】黑球先放好，放白球，选A

1）2sin（

2T1

T

29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来，有

3

C5种方法，如选了123;在确定不重复用的数

字，有C3种方法，如选3;对数字3安排有A；种方法，余下的对数字1安排有C：

种方法，剩下的两位安

排2;有c5c3a1C42=900.选C

30.［简解】解方程得到y2x21\4x21，易知它关于两坐标轴及原点都对称,

（A）（B）正确;

x2y2=•4x211w1有-—3wxw—3条件，但已知中无此条件，故（C）错误；设2x=tan0,0€（——,

222

13111

）,y2=-sec2+sec0-一，当sec0=2时，y2max=,-—wyw,（D）正确。

选ABD

244422