清华大学自主招生试题含答案.docx

1、清华大学自主招生试题含答案1. 设复数2z=cos +isin32 ，则311-z 1 1z2(A)0 (B)1 (C)(D)2.设数列 an 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+qk+ l”是“ ap aq ak al ”的( ) 条件既不充分也不必要(A) 充分不必要 (B) 必要不充分 (C) 充要 (D)3.设 A、 B是抛物线 y= x2上两点，O是坐标原点，若OA OB,则 ( )(A)|OA| |OB| 2 (B)|OA|+|OB| (C) 直线 AB过抛物线 y= x2的焦点 (D)O 到直线 AB的距离小于等于4.设函数 f (x)的定义域为 (-1,1) ，且满足

2、： f(x) 0,x (-1,0) ； f (x) + f (y)= f ( x y)， 1 xyx、 y (-1,1) ，则 f(x) 为(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 减函数 (D) 有界函数F(x)= f(x) ?kx 有( ? ? ? ? )5. 如图，已知直线 y=kx+m 与曲线 y=f(x) 相切于两点，则(D)3 个极小值点sinC+sin(B?A) ?2sin2A=0, 则有( ? ? )6. ABC的三边分别为 a、b、c若 c=2， C= ，且3(A)b=2 a (B) ABC的周长为 2+2 3 (C) ABC的面积为 2 3 (D) ABC的外接圆半径为 2

3、3 337. 设函数 f (x) (x2 3)ex ，则( ? ? ? ? ) (C) x1 x2=a， y1 y2 =b (D)22a2 b2 =2ax1 2by12 2 29.已知非负实数 x,y,z 满足 4x2 4y2 z2 +2z=3，则 5x+4y+3z 的最小值为( ? ? ? ? )(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列 an 的前n项和为 Sn ，若对任意正整数 n，总存在正整数 m，使得 Sn = am ，则( ? ? ? ? )(A) an 可能为等差数列 (B) an 可能为等比数列(C) an 的任意一项均可写成 an 的两项之差 (D) 对任意正整数 n

4、，总存在正整数 m，使得 an=Sm11.运动会上，有 6名选手参加 100米比赛，观众甲猜测： 4道或 5道的选手得第一名；观众乙猜测： 3 道的选手不可能得第一名；观众丙猜测： 1,2,6 道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测： 4,5,6 道的 选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果，此人是( ? ? ? )(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁的值有 2 个(A) 若 S=4，则 k 的值唯一 (B) 若 S=1 ，则 k2(C) 若 D为三角形，则 04314. ABC的三边长是 2,3,4 ，其外心为O，则OA AB OB

5、BC(A)0 (B)?15 (C)?21 (D)?229215.设随机事件 A 与 B 互相独立，且 P(B)=0.5 ，P(A?B)=0.2 ，则( ? ? ? ?(A)P(A)=0.4 (B)P(B?A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过 ABC的重心作直线将 ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的(34 4 5(A) 最小值为 (B) 最小值为 (C) 最大值为 (D 最大值为45 3 417.从正 15 边形的顶点中选出 3 个构成钝角三角形，则不同的选法有( ? ? ? ? )(A)105 种 (B)225 种 (C)315 种 (D)420 种

6、18. 已知存在实数r ，使得圆周 x2 y2 r 2上恰好有 n 个整点，则 n可以等于( ? ? ? ?(A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19. 设复数 z 满足 2|z| |z?1| ，则( ? ? ? ?1(A)|z| 的最大值为 1 (B)|z| 的最小值为 (C)z 的虚部的最大值为321(D)z 的实部的最大值为 33 ) ，其中 , 0,2 ) , 20. 设 m,n 是大于零的实数， a =(mcos ,msin ) ， b =(ncos ,nsin22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有(11 1 1( A) = ( B) = ( C) = ( D) =co

7、s sin 2 sin 2 cos 1 2sin sin x23.设函数 f (x) 2 ，则( ? ? ? ? )x2 x 14(A) f (x) (B)| f (x) | 5|x| (C) 曲线 y= f ( x)存在对称轴 (D) 曲线 y= f ( x)存在对称中心324.ABC的三边分别为 a ,b,c ，若 ABC为锐角三角形，则( ? ? ? ? )(A)sinAcosB (B)tanAcotB (C) a2 b2 c2 (D) a3 b3 c325.设函数 f (x) 的定义域是 (?1,1) ，若 f(0) = f (0) =1，则存在实数 (0,1) ，使得( ? )(C)

8、 f (x) 1， x (0, ) (D) f (x) 1，x(? ,0)26.在直角坐标系中，已知 A(?1,0) ，B(1,0) 若对于 y 轴上的任意 n 个不同的点 Pk (k=1,2, ,n) ，总1存在两个不同的点 Pi , Pj ，使得 |sin APi B?sin APj B| ，则 n 的最小值为( ? )3(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数 x,y 满足 2x+y=1 ，则 x+ x2 y2 的( ? ? )4 2 1 2(A) 最小值为 (B) 最小值为 (C) 最大值为 1 (D) 最大值为55 328.对于 50 个黑球和 49 个白球的任意排列(

9、从左到右排成一行)，则( ? ? ? ? )(A) 存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B) 存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C) 存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D) 存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从 1,2,3,4,5 中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如 12231 ，则能得到的不同的五位数有( ? ? ? ? )(A)300 个 (B)450 个 (C)900 个 (D)1800 个30. 设曲线 L 的方程为 y4 (2x2 2)y2 (x4 2x2 ) =0，则( ? ? ? ? )(A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心

10、对称图形(C)L?(x,y)x2 y1(D)L?(x,y)?1y122#Answer#cos( 2 ) isin( 2 )333(cos isin )22sin i 2sin cos3 3 3cos0 isin017cos( ) isin( )2sin cos( ) isin( ) 3 6 63 6 6(cos isin661i)=1，选 B22. 【简解】 ap aq (ak al ) =(p+q)-(k+l)d ，与公差 d 的符号有关，选 D确； f (x) =-tan x满足已知条件，但无界， (D) 错误。选 A,C 25. 【简解】将直线平移知：斜率为 k 的直线，与曲线 y= f

11、 (x)至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故F(x) 有三个极大值点，两个极小值点。选 BCc 4 26. 【解析】 2R= = R= 3,D 正确；sinC 3 3又 sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA cosA=0 或 sinB=2sinA A=2 或 b=2 a ; A= 时 ， b= 2 3 , a = 4 3 , 周 长 为 2+ 3， 面积为 2 3 ； b=2 a 时 ，2 3 3 3 c2=a2 b2 2ab cosC a=2 3,B= ,同样有周长为

12、2+ 3 ，面积为 2 3。选 BCD32 37.【简解】 f ( x) =(x+3)(x-1) ex, f极大(x) f( 3) 63 , f极小(x) f(1) -2e，作出其大致图象， e如图 选 BD8. 【解析】已知即半径相等的两圆 O: x2 y2 r2与C: (x a)2 (y b)2 r 2交于相异的两点2 2 2P1(x1, y1)、 P2(x2,y2) 。 0|OC|2|r| 0a2 b2 A -B sinAsin( -B)=cosB,tanAtan(22-B)=cotB,(A)(B) 正确；锐角三23C53 种方法，如选了 123 ；在确定不重复用的数字，有 C3 种方法，如选 3；对数字 3 安排有 A5 种方法，余下的对数字 1 安排有 C4 种方法，剩下的两 位安排 2；有 C53C31 A51 C42 =900.选 C2 2 230.【简解】 解方程得到 y2 x2 1 4x2 1 ，易知它关于两坐标轴及原点都对称，(A)(B) 正确；x2 y2 = 4x2 1 1 1 有- 3 x 3 条件，但已知中无此条件，故 (C) 错误；设 2x=tan22(-21 3 2 1 1 12), y =- 4sec +sec - 4,当sec=2时， y max=4，- 2y 2,(D) 正确。选,ABD