概率论与数理统计习题3详解讲解.docx

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概率论与数理统计习题3详解讲解

一、第三章习题详解:

求p{l

解：

因为F（2,5）=l—2-2—2"+2・，F（L5）=l-2-!

-2-5+2-6

尸⑵3）=1——2-3+2y,F（U）=1—2^—27+

所以P（1

”25+21帶唱3.2盒中装有3个黑球,2个白球•现从中任取4个球，用X表示取到的黑球的个数，用Y表示取到的白球的个数，求（X.Y）的概率分布.

解：

因为X+K=4,所以（X,F）的可能取值为（2,2）,（3,1）

cc3

p（x=2』=l）=o,P（X=2,y=2）=-^-=-=0.6

C3cl2

P（X=3,y=1）==-=0.4,P（X=3,y=2）=0

故（Xf）的概率分布为

XY

1

2

2

0

0.6

3

0.4

0

3.3将一枚均匀的硕币抛掷3次，用X表示在3次中出现正面的次数，用丫表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求（x,r）的概率分布.

解：

因为Y=|X—（3—X）冃2X—3I，又X的可能取值为0丄2,3所以（X,7）的可能取值为（0,3）,（1,1）,（2,1）,（3,3）

且p（x=o,r=3）=4）3=|,P（x=i,r=i）=C；（较（穿=|

2o22o

P（X=2,y=l）=,P（X=3,r=3）=（i）3=i

故（Xf）的概率分布为

XY

1

3

0

0

1/8

1

3/8

0

2

3/8

0

3

0

1/8

3.4设二维随机向量（X，Y）的概率密度函数为:

（1）确定常数a;

⑵求p{x

解：

（1）因为匸匸/（x，y"xdy=[[d（6-X-y）dxdy

=a[[_刁（6_兀_y）2k/x=y£[（6-x）2-（4-x）2Vx

=2g（（5-x）dx=9a

I（兀）刃访=1,得9a=L故a=l/9・

J-xJ-x

（2）

P（X

1,5f1fo,539,

0g=胡g（6-x）飞炖

1严51r

=詁0[（6_小-㊁厂

P{（X,y）GD}=jj/Uy）dxdy=£dx^y）dy

12e"（2r+v）

3.5设二维随机向量（X』）的概率密度函数为：

/（X,V）=<'

〔0.

x>0,y>0,其他

（1）求分布函数F（兀刃;

（2）求P{Y

（1）求分布函数F（x,y）;当x>0』>0.

F（x,y）=jjf（u,v）dudv=££2e~（2,,+v）dudv=2J；e~2udu^e~vdv=（l-e~2x）（l-e~y）

其他情形，由于/（x』）=o,显然有尸（兀刃=0。

综合起来，有

（2）求P{Y

P{XvY}=则"2e~（2x+y）dx=2Qdy广e'2xdx

3.6向一个无限平面靶射击，设命中点（X,Y）的概率密度函数为

求命中点与靶心（坐标原点）的距离不超过G的概率.

解：

叱+厂如广颂册严

3.7设二维随机向量（X』）的概率分布如下表所示，求X和Y的边缘概率分布.

XY

0

2

5

1

0.15

0.25

0.35

3

0.05

0.18

0.02

解：

因为P（X=1）=0.15+0.25+0.35=0.75

P（X=3）=0.05+0.18+0.02=0.25

所以，X的边缘分布为

X

1

3

P

0.75

0.25

因为p（y=0）=0.15+0.05=0.20

P（y=2）=0.25+0.18=0.43

P（y=5）=0.35+0.02=0.37

所以，Y的边缘分布为

Y

0

2

5

P

0.20

0.43

0.37

3.8设二维随机向量（X,Y）的概率密度函数为

求边缘概率密度fx（X）.fY（y）・解：

因为，当0K2时，人（兀）=匚/（兀刃心=（寸勺&心=*勺》=即其他情形,

显然fxW=0.所以，X的边缘分布密度为

其他情形，显然人（y）=o.所以，丫的边缘分布密度为

0

其他

3.9设二维随机向量（X,Y）的概率密度函数为

求边缘概率密度fx（x）Jy（y）・解，积分区域显然为三角形区域，当0

fx（x）=匚f（x,y）dy=£4.8y（2-x）dy=2.4（2-x）y2[=2.4（2-x）x2；

其他情形，显然fx（x）=0.所以，X的边缘分布密度为

同理，当OWyS1时，y

其他情形，显然人（y）=o.所以，丫的边缘分布密度为

3.10设二维随机向量（X，Y）的概率密度函数为

X2

其他

（1）确定常数C的值.

（2）求边缘概率密度fx（x）JY（y）.

解：

⑴因为£x£xf（x,y）dxdy=£cdy

所以c=6・

⑵因为，当1时，fx（x）=/（x,y）dy=£'cdy=6（x-x2）

所以，X的边缘分布密度为

所以，Y的边缘分布密度为

6（"-刃0

p（y=2|x=i）=^|=|

0其他

（1）当X=1时，Y的条件分布为

P（Y=0IX=1）=—1=—

'0.755

p（y=2|x=i）=—=—

10.7515

Y

0

2

5

P

15

13

7/15

（2）当X=3时，丫的条件分布为

p（y=01X=3）==1P（y=2IX=3）=2d|=j|

p（y=2|x=i）=—=—

10.2525

Y

0

2

5

P

15

18/25

2/25

（3）当｝M）时，X的条件分布为

pg,°）普丐

X

1

3

P

34

1/4

（4）当Y=2时，X的条件分布为

02气01R

P（X=l|y=2）=—^-=0.581P（X=3|y=2）=^=0.419

10.4310.43

X

1

3

P

0.581

0.419

（5）当Y=5时，X的条件分布为

3.12设X在区间（0,1）上随机地取值，当观察到X=x（0

所以（XY）的联合密度为

故y的密度函数为

fy（y）=\

lii0

1一）’0其他

3.13设二维随机向量（X#）的概率密度函数为

“、卜+学0

/（兀刃3

0,其他

求条件概率密度fx\y（x\y）,fY\x（沖）,以及P{r<|x=|}.

a解：

因为，当OWxW1时，fx（x）=/（x,y）dy=£（x2+-yXv=+x

所以，在Y=v的条件卞X的条件概率密度为

在X=x的条件卞Y的条件概率密度为

P{X=1}=0.75,P{Y=2}=0.43，而P{X=1』=2}=0.25，显然

P{X=]}xP{Y=2}HP{X=1,Y=2}=0.25、从而X与Y不相互独立.

3.15设二维随机向量（X』）的概率分布如下表所示，求X和Y的边缘概率分布.

XY

0

2

5

1

0.15

0.25

0.35

3

0.05

0.18

0.02

问取何值时,X与丫相互独立?

解:

因为p（x=i）=|44=r

要X和Y相互独立，贝I」P（X=1"=2）=P（X=1）P（Y=2）

得宀

p（X=2）=l-P（X=1）=1-|=|

3.16问习题3.8和习题3.9中的X与丫是否相互独立？

解：

由习题3.8,二维随机向量（X,Y）的概率密度函数为

由习题3.9,维随机向量（X，Y）的概率密度函数为

r12.4x2（2-x）0

人（x）斗'）“八，丫的边缘分布密度为

[o其他

/<■（）'）=f2-4X3"04y+y2）。

需1,显然有/（占）"£（0/心），x与y不独立.

3.17设二维随机向量（X、Y）的概率密度函数为

xe~A,0

/（兀刃={（1+刃'丿，问X与Y是否相互独立?

0,其他

解：

因为fx⑴=「7（兀y）dy=rxQ1、dy

j_xjo（1+yy

对于x>0,y>0,都有/（兀刃=/x（x）/r（>?

），所以，X与Y是相互独立的.

3.18设二维随机向量（X"）的分布函数为

讨论的独立性.

Fx（X）=InnF（兀刃=1_广”

v-»W

FY（y）=InnF（x.y）=1-Q（y>0）

由于

Fx{x）Fy（y）=（1-e~xXI-e~y）=l-e~x-e~y+e_（x+>，）=F（x,y）（x>0,y>0）

所以，X与丫是相互独立的。

3.19设X与丫是两个相互独立的随机变量，并且均服从区间01）上的均匀分布，求X+Y的概率密度函数.

解：

由于x与丫均服从区间（0,1）上的均匀分布，故x与丫的边缘密度函数分别为:

iSZ=X+匕由于X与Y是两个相互独立的随机变量，根据书中72页（3.7.3）式,Z的概率密度函数可以写为

£⑵訂fx（x）fy（Z-X）dx

当o

l〃=z；若XV0或x'z，被积函数为0,此

时显然有AU）=0・

当1Szv2时，若z-lvxvl,则£（?

）=「ldx=2-z若xvz-l或兀》1，被积函'Jc-l

数为0,此时显然有E（z）=o；

Z的其他情开幻显然有厶⑵二人（x）人（z-x）dr二0.综合起来，有

2,0

乙⑵=2-z,1

、0,其他

此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是，当l

3.20设X与丫是两个相互独立的随机变量，概率密度函数分别为

jl丄〔1』

AW=2，'A（y）=3，）'

0,x<0[o,y<0

求X+Y的概率密度函数.

解：

iEZ=X+Y,由于X与Y是两个相互独立的随机变量，根据书中72页（3.7.3）式,

Z的概率密度函数可以写为£（込）=人（x）fy（z-x）dx,于是有

3.21设二维随机向量（X、Y）的概率密度函数为

（（2-x-y\0

[0,其他

求乙二乂+丫的概率密度函数.

解：

根据书中72页（3.7.1）式,Z的概率密度函数可以写为

p-^QO

当0

则£（7）=J*。

（2-x-y皿=J；（2-x-（z-x））dx=（2-z）xi=（2-z）z，若xvO或x>z，被积函数为0,此时显然有£（羽=0；

当1

则乙⑵=£_]（2-兀一）川=1（2-x-（z-x））dx=（2-Z）x|^=（2-z）2,若xvz—1或xni,被积函数为0,此时显然有£⑵=0；z的其他情形,显然有£（z）=0・综合起来，有

2（2-z）,0

（2-Z）2,1

、0,其他

3.22设随机变量X〜（/[0,1],Y服从参数为1的指数分布，并且X与Y相互独立，求max{X』}的概率密度函数.

解：

由于X〜U[O,1]，所以分布函数为

0、x<0,

Fx（x）=x,01.

由于Y服从参数为1的指数分布，所以分布函数为

X与Y相互独立，故niax{X,r}的分布函数为

Qz<0,

Fg⑵=Fx⑵你⑵z（i-e-z）,Q

（1一严），Z>1,

对分布函数求导以后得niax{X,r}的密度函数

Qz

/max⑵=尸二⑵=<1-厂（1-Z）,O

e~z9Z>1,

3.23设随机变量X〜U[0,1],丫〜U[0,2],并且X与丫相互独立，求nun{X,/}的概率密度函数.

解：

由于X〜"[0,1]，所以分布函数为

0、x<0,

Fx（x）=x.0

J,x>1.

由于丫〜（/[0.2],所以分布函数为

X与Y相互独立，故niax{X,r}的分布函数为

0,ZV0,

化uJZ）=1-[1-耳⑵][1-耳⑵]=<

-^Z（3-z）,0

1,Z>1,

15-乙

0,

其他

对分布函数求导以后得niax{X,y}的密度函数

3.24设随机变量…，乙相互独立,并且都服从正态分布NQlQ、求（/血…几）的概率密度函数.

解：

由于XpX/rX”相互独立，根据P76公式（3.8.4）,易知

Z=X]+X?

X”~N（“]+“?

+…“”，5~+<7；c~）,于是（XjX?

…,X”）的

概率密度函数为：

/（心兀，…兀J=…人」兀J=——；—

（2龙卢K

其中,-03

/.

3.25对某种电子装置的输出测量了5次，得到观察值X1?

X2,X3,X4,X5.设它们是相互独

立的随机变量，且有相同的概率密度函数/（x）=<4^8，X~°,求

0,x<0,

Z=max{X“X"X3,X,X5}的分布函数.

解：

由题意，£-0=1,2,…〃）的分布函数为：

.AT

伦（心）=”-八，CO

0、x<0

又由于XrX2,X3?

X45X5,是相互独立的随机变量，根据书中77页（3.8.6）式,

Z=niax{XrX2,X3,X45X5}的分布函数为:

巧⑵=卜"6"0

0,Z<0

3.26设电子元件的寿命X（单位：

小时）的概率密度函数为rf0.0015e-°ool5\x>0

f（x）=

[0,x<0.

今测试6个元件，并记录卞它们各自的失效时间.求

（1）到800小时时没有一个元件失效的概率；

（2）到3000小时时所有元件都失效的概率.

解：

电子元件的寿命X（单位：

小时）的分布函数为:

（1）一个元件使用到800小时时没有一个失效的概率为

P（X>800）=l-P（X<800）=l-F（800）=^12,由于6个元件显然彼此独立,因此,

到800小时时没有一个元件失效的概率为（e'L2）6=e'12

连续型

对于二维随机向量f=（X,Y）,如果存在非负函数

fix,刃（一8

有

P{{XyY）eD}=^f^y）dxdy,

1）

则称§为连续型随机向量；并称/（兀刃为,（X,y）的分布密

度或称为（X,Y）的联合分布密度。

分布密度/（x,y）具有下面两个性质：

⑴/（x,y）$O；

（2）L]j（x,y）dxdy=l.

（2）二维随机变量的本质

^X=x,Y=刃==刃

（3）联合分布函数

设（X,Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

F（x,y）=P{X

称为二维随机向量（X,Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

{（©,6?

J1Y）VX（©）

2）

数。

分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）0

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>xk时’有尸（兀,刃》尸（兀,刃；当儿>）1时，有F（x,y2）>F（x9y\）；

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

y）=F（x+0,y）,尸（x,y）=F（x,y+0）;

（4）F（—8,—8）=F（-O0,y）=F（X,-8）=0,尸（+8,+8）=1.

（5）对于兀

f（e，y2）-F（x2,儿）一尸（呂，儿）+尸（“，yjno.

（4）离散型与连续型的关系

P（X=x,X=j）«P（x

（5）边缘分布

离散型

X的边缘分布为

pj9=p（x=xi）=yjpi}（/；j=1,2,--■）：

j

Y的边缘分布为

P.j=P{Y=yj）=Y心QJ=1,2,…）。

i

连续型

X的边缘分布密度为

£（x）=口（力,刃心；

Y的边缘分布密度为

/*-x

A（y）=1/gy）dx・

400

（6）条件分布

离散型

在己知/X的条件下，Y取值的条件分布为

P（Y=yj\X=xi）=^L；

Pi・

在已知卩=力的条件下，X取值的条件分布为

P（X=x,.|r=y.）=^,

P・j

连续型

在已知Y二y的条件下，X的条件分布密度为fy（y）

在已知X二X的条件下，Y的条件分布密度为

fx（X）

（7）独立性

■般型

F（X,Y）=Fx（x）Fv（y）

离散型

Pij=PwP・j有零不独立

连续型

f（x,y）=fx（x）fv（y）直接判断，充要条件：

1可分离变量

2正概率密度区间为矩形

二维正态分

布

1[{2内j"/〉J"：

「]

/d）=eL」，

p=0

随机变量的函数

若Xl,X=,Xrl,・・・Xa相互独立,h,g为连续函数，则:

h（X：

X：

＞-Xo）和g（Xxf•••Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和名（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，则：

3X+1和5丫-2独立。

（9）二维正态分布

设随机向量（X,Y）的分布密度函数为

C、12（1-P2）\6丿6冬'J丿

/（忑刃一/e」，

2脑.6丁1-“

其中“““2,6>0,6>0,|p|vl是5个参数，则称（X,Y）服从二维正态分

布，

记为（X,Y）〜N（H，“2.b；，b；,p）.

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分

布，

即X〜N（"1,cr；）,Y〜MX,b；）•

但是若X〜N（“i，bj）,Y〜N（“2.b；），（X，Y）未必是二维正态分布。

（10）函数分布

Z=X+Y

根据定义计算：

Fz（Z）=P（Z

-Hx

对于连续型，f：

（z）=jf（x,z-x）dx

-00

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（“[+“2，cr；+cr;）on个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

“二工宀工

ir

Z=max、min（

xbx2,-xn）

若…X”相互独立，其分布函数分别为

F“（x）,化,（x）…FXn（x）,则Z=maxjimi（Xi,X2,-Xn）的分布函数为：

F“（x）=F®（x）•F“（x）-FXn（x）

化込（兀）=1-[1-F“（x）]•[1-FXz⑴]…[1—FXn（x）]

才分布

设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和

Z=1

的分布密度为

U>0,

U<0.

我们称随机变量W服从自由度为n的F分布，记为W〜F（”），其中

（j]\严乂--1

*寸=「屮e~xdx.

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

力‘分布满足可加性：

设

X-*（儿），

则

k

z=》乙+耳+・•+©•）・

<=1

可以证明函数

的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T〜t（n）o心（n）=~（a（"）

F分布

设X〜〜力"心），且X与Y独立，可以证明e證的概率密度函数为

0』<0

我们称随机变量F服从第一个自由度为n：

第二个自由度为氐的F分布，记为F〜f（m,n：

）.

£（W）=

]

代（心弘）