初中数学优质专题将军饮马.docx

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初中数学优质专题将军饮马

第六章将军饮马

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

模型1定直线与两定点

模型

作法

结论

当两定点A、B在直线

异侧时，在直线

上找一点P，使PA+PB最小。

连接AB交直线

于点P，点P即为所求作的点。

PA+PB的最小。

当两定点A、B在直线

同侧时，在直线

上找一点P，使PA+PB最小。

作点B关于直线

的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。

PA+PB的最小值为AB′。

当两定点A、B在直线

同侧时，在直线

上找一点P，使

最大。

连接AB并延长交直线

于点P，点P即为所求作的点。

的最大值为AB。

当两定点A、B在直线

同侧时，在直线

上找一点P，使

最大。

作点B关于直线

的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。

的最大值为AB′。

当两定点A、B在直线

同侧时，在直线

上找一点P，使

最小。

连接AB，作AB的垂直平分线交直线

于点P，点P即为所求作的点。

的最小值为0。

模型实例

例1．如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为。

例2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD

上的动点，则

的最大值是多少？

热搜精练

1．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边

上一动点，则EC+ED的最小值是。

2．如图，点C的坐标为（3，

），当△ABC的周长最短时，求

的值。

3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一

动点，求

的最小值与最大值。

模型2角到定点

模型

作法

结论

点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。

分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接

P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。

△PCD周长最小为P′P"。

点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。

作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。

PC+CD的最小值为P′C。

点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。

分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。

PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。

模型实例

例1．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一

点Q，OB上有一点R。

若△PQR周长最小，则最小周长是多少？

热搜精练

1．如图，∠MON=40°，P为∠MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，

当△PAB的周长取最小值时：

（1）找到A、B点，保留作图痕迹；

（2）求此时∠APB等于多少度。

如果∠MON=

，∠APB又等于多少度？

2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别

找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM的度数。

3．如图，在

轴上找一点C，在

轴上找一点D，使AD+CD+BC最小，并

求直线CD的解析式及点C、D的坐标。

4．如图∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，

点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段

AQ+PQ+PB的最小值是多少？

模型3两定点一定长

模型

作法

结论

如图，在直线

上找M、N两

点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=

。

将点A向右平移

个单位到A′，作A′关于直线

的对称点A"，连接A"B交直线

于点N，将点N向左平移

个单位到M，点M、N即为所求。

AM+MN+NB最小为A"B。

如图，

∥

，

，

之间距离为

，在

，

分别找M、N两点，使得MN⊥

，且AM+MN+NB最小。

将点A向下平移

个单位到A′，连接A′B交直线

于点N，将点N向上平移

个单位到M，点M、N即为所求。

AM+MN+NB的最小值为A′B+

。

模型实例

例1．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，

点A在

轴正半轴上，点C在

轴正半轴上，

且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段

OA上，点E在点F左侧，EF=2。

当四边形BDEF

的周长最小时，求点E的坐标。

热搜精练

1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在，

轴、

轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点。

（1）若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

2．村庄A和村庄B位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？