1初中规律探究学案.docx

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1初中规律探究学案

规律题应用知识汇总

初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：

一、基本方法——看增幅

（一）如增幅相等（实为等差数列）：

对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：

a1+（n-1）b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，（n-1）b为第一位数到第n位的总增幅。

然后再简化代数式a+（n-1）b。

例：

4、10、16、22、28……，求第n位数。

分析：

第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：

4+（n-1）6＝6n－2

（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加,如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。

（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：

2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.

（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加,此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法

二、基本技巧

（一）标出序列号：

找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

找出的规律，通常包序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：

0，3，8，15，24，……。

试按此规律写出的第100个数是100

，第n个数是n

。

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。

我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：

0，3，8，15，24，……。

序列号：

1，2，3，4，5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。

因此，第n项是

-1，第100项是

—1

（二）公因式法：

每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。

例如：

1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（

），

1，2，3，4，5．。

。

。

。

。

。

，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。

（三）看例题：

A：

2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18

答案与3有关且是n的3次幂，即：

n

+1

B：

2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即：

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用

（一）、

（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。

再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：

2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：

0、3、8、15、24……，

序列号：

1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为

。

再看原数列是同时减2得到的新数列，则在

的基础上加2，得到原数列第n项

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例：

4，16，36，64，？

，144，196，…？

（第一百个数）

同除以4后可得新数列：

1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n

，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4n

，则求出第一百个数为4*100

=40000

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。

当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。

三、对于数表

1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律

2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差

0，3，8，15，24，······2，5，10，17，26，·····0，6，16，30，48······

（1）第一组有什么规律？

（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？

（3）取每组的第7个数，求这三个数的和？

3、观察下面两行数

2，4，8，16，32，64，．．．

（1）

5，7，11，19，35，67．．．

（2）

根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。

（要求写出最后的计算结果和详细解题过程。

）

　四、数字推理基本类型

　　按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：

　　1.和差关系。

又分为等差、移动求和或差两种。

（1）等差关系。

　　12，20，30，42，（）

　　127，112，97，82，（）

（2）移动求和或差。

从第三项起，每一项都是前两项之和或差。

　　1，2，3，5，（），13

　　A.9B.11C.8　D.7

　　0，1，1，2，4，7，13，（）

　　A.22　B.23　C.24　D.25

　　5，3，2，1，1，（）

　　A.-3B.-2C.0　D.2

2.乘除关系。

又分为等比、移动求积或商两种

（1）等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。

　　8，12，18，27，（）

　　6，6，9，18，45，（）

（2）移动求积或商关系。

从第三项起，每一项都是前两项之积或商。

　　2，5，10，50，（）

　　100，50，2，25，（）

　　3，4，6，12，36，（）

　　1，7，8，57，（）

3.平方关系

　　1，4，9，16，25，（），49

　　66，83，102，123，（），

4.立方关系

　　1，8，27，（），125

　　3，10，29，（），127　

0，1，2，9，（）　

5.分数数列。

关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案

（）

6.、质数数列

　　2，3，5，（），11

　　4，6，10，14，22，（）

20，22，25，30，37，（）

7.、双重数列。

又分为三种：

（1）每两项为一组，如

　　1，3，3，9，5，15，7，（）　

2，5，7，10，9，12，10，（）

　　1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，（）　

（2）两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。

　　22，39，25，38，31，37，40，36，（）

（3）数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数列。

　　2.01，　4.03，8.04，16.07，（）

8.、组合数列。

最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。

需要熟悉前面的几种关系后，才能较好较快地解决这类题。

　　1，1，3，7，17，41，（）

　　A.89　B.99C.109D.119

65，35，17，3，（）

　　A.1B.2C.0D.4

4，6，10，18，34，（）

　　A.50B.64C.66D.68

　　6，15，35，77，（）

　　A.106　B.117　C.136　D.143

　　2，8，24，64，（）

　　A.160　B.512C.124D.164

　　0，6，24，60，120，（）

　　A.186　B.210　C.220　D.226

　1，4，8，14，24，42，（）

　　A.76B.66C.64D.68

　　9.、其他数列。

　　2，6，12，20，（）

　　A.40B.32C.30D.28

　1，1，2，6，24，（）

　　A.48　B.96　C.120　D.144

1，4，8，13，16，20，（）

　　A.20B.25C.27D.28

　　27，16，5，（），1/7

　　A.16B.1C.0D.2

五、解题规律

　　数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。

　　1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。

　　2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。

　　3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项在中间的可以两边同时推导。

（一）等差数列

　　相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。

等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。

它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式：

　　自然数数列：

1，2，3，4，5，6……

　　偶数数列：

2，4，6，8，10，12……

　　奇数数列：

1，3，5，7，9，11，13……

　　例题1：

103，81，59，（），15。

　　A.68B.42C.37D.39

　　例题2：

2，5，8，（）。

　　A.10B.11C.12D.13

　　例题3：

123，456，789，（）。

　　A.1122B.101112C.11112D.100112

例题4：

11，17，23，（），35。

　　A.25B.27C.29D.31

　　例题5：

12，15，18，（），24，27。

　　A.20B.21C.22D.23

（二）等比数列

　　相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减。

等比数列在数字推理测验中，也是排列数字的常见规律之一。

　　例题1：

2，1，1/2，（）。

　　A.0B.1/4C.1/8D.-1

　　例题2：

2，8，32，128，（）。

　　A.256B.342C.512D.1024

　　例题3：

2，-4，8，-16，（）。

　　A.32B.64C.-32D.-64

（三）平方数列

　　1、完全平方数列：

　　正序：

1，4，9，16，25

　　逆序：

100，81，64，49，36

　　2、一个数的平方是第二个数。

　　1）直接得出：

2，4，16，（）

　　2）一个数的平方加减一个数等于第二个数：

　　1，2，5，26，（）

　　3、隐含完全平方数列：

　　1）通过加减一个常数归成完全平方数列：

0，3，8，15，24，（）

　　2）相隔加减，得到一个平方数列：

　　例：

65，35，17，（），1

　　A.15B.13C.9D.3

（四）立方数列

　　立方数列与平方数列类似。

　　例题1：

1，8，27，64，（）

　　例题2：

0，7，26，63，（）

　　例3：

-2，-8，0，64，（）

　　A.64B.128C.156D250

　　例4：

0，9，26，65，124，（）

　（五）、加法数列

　　数列中前两个数的和等于后面第三个数：

n1+n2=n3

　　例题1：

1，1，2，3，5，（）。

　　A8B7C9D10

　　　　例题2：

4，5，（），14，23，37

　　A6B7C8D9

　　　　例题3：

22，35，56，90，（）

　　A162B156C148D145

　　　（六）、减法数列

　　前两个数的差等于后面第三个数：

n1-n2=n3

　　例题1：

6，3，3，（），3，-3

　　A0B1C2D3

　　（七）、乘法数列

　　1、前两个数的乘积等于第三个数

　　例题1：

1，2，2，4，8，32，（）

　　例题2：

2，12，36，80，（）

　　A.100B.125C.150D.175

　　2、两数相乘的积呈现规律：

等差，等比，平方等数列。

　　例题2：

3/2，2/3，3/4，1/3，3/8（）

　　A1/6B2/9C4/3D4/9

　　（八）、除法数列

　　与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式：

　　1、两数相除等于第三数。

　　2、两数相除的商呈现规律：

顺序，等差，等比，平方等。

（九）、质数数列

　　由质数从小到大的排列：

2，3，5，7，11，13，17，19…

（十）、循环数列

　　几个数按一定的次序循环出现的数列。

　　例：

3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4

图形设计类规律探究

规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在往年“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，今年又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型，现将历年来中考规律类中考试题分析如下：

1、设计类

【例1】在数学活动中，小明为了求

的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求

的值为         。

（2）请你利用图b，再设计一个能求

的值的几何图形。

【例2】观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：

（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；

（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。

2、动态类

【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，…。

若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。

则第10圈的长为           。

【例4】已知甲运动方式为：

先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：

先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。

在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,……。

依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是                    。

【例5】把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为                    。

【例6】下面是一个有规律排列的数表……上面数表中第9行、第7列的数是                    。

5、图形类

【例7】（2005年淄博市中考题）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。

观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点共有                    个。

【例8】“

”代表甲种植物，“

”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。

按此规律，第六个图案中应种植乙种植物                    株。

【例9】如图，是用积木摆放的一组图案，观察图形并探索：

第五个图案中共有                    块积木，第n个图案中共有                    块积木。

综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，考生在回答此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成功。

图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面-层有一个圆圈，以下各层均比上-层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n=

．

如果图1中的圆圈共有12层，

（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；

（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．

例如、观察下列数表：

二、要抓题目里的变量

找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。

所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。

所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。

例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖块，第

个图形中需要黑色瓷砖块（用含

的代数式表示）.

三、要善于比较

“有比较才有鉴别”。

通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。

找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

揭示的规律，常常包含着事物的序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：

0，3，8，15，24，……。

试按此规律写出的第100个数是。

”

如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。

解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。

譬如，“已知下列等式：

①13＝12；

②13＋23＝32；

③13＋23＋33＝62；

④13＋23＋33＋43＝102；

…………

由此规律知，第⑤个等式是．”

四、要善于寻找事物的循环节

有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。

譬如：

“观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……

从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个。

”

规律发现专题训练

1．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：

第（4）个图案中有黑色地砖4块；那么第（

）个图案中有白色地砖块。

2.我国著名数学家华罗庚曾说过：

“数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”如图，在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为

，

，

，…，

的矩形彩色纸片（n为大于1的整数）。

请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算

=。

3.有一列数：

第一个数为x1=1，第二个数为x2=3，第三个数开始依次记为x3，x4，…，xn；从第二个数开始，每个数是它相邻两个数和的一半。

（如：

x2=

）

（1）求第三、第四、第五个数，并写出计算过程；

（2）根据

（1）的结果，推测x8=；

（3）探索这一列数的规律，猜想第k个数xk=.（k是大于2的整数）

4.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）.继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到_条折痕.如果对折n次，可以得到条折痕.

5.观察下面一列有规律的数

，根据这个规律可知第n个数是（n是正整数）

6.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为。

7.按照一定顺序排列的一列数叫数列,一般用a1，a2，a3，…，an表示一个数列，可简记为{an}.现有数列{an}满足一个关系式：

an+1=

-nan+1,（n=1,2,3,…,n）,且a1=2.根据已知条件计算a2,a3,a4的值，然后进行归纳猜想an=_________.（用含n的代数式表示）

8.观察下面一列数：

-1，2，-3，4，-5，6，-7，．．．，将这列数排成下列形式

按照上述规律排下去，那么第10行从左边第9个数是.

9.观察下列等式9-1=8

16-4=12

25-9=16

36-16=20

…………

这些等式反映自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为.

10．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，

图中阴影部分为红色。

若每个小长方形的面积都1，

则红色的面积是。

11．如下图，从A地到C地，可供选择的方案是

走水路、走陆路、走空中.从A地到B地有2条水

路、2条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，走空中从A地不经B地直接到C地.则从A地到C地可供选择的方案有（）

A．20种B．8种C．5种D．13种

12．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为12，从第2排开始，每一排都比前一排增加a个座位。

（1）请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：

第1排的座位数

第2排的座位数

第3排的座位数

第4排的座位数

…

第n排的座位数

12

12＋a

…

（2）已知第15排座位数是第5排座位数的2倍，求a的值，并计算第21排有多少座位？

13.探索：

⑴一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成部分，四条直线最多可以把平面分成部分，试画图说明；⑵n条直线最多可以把平面分成几部分？

14.先观察

＝

＝1－

＝

＝

＝1－

＝

再计算

的值．

15..观察下列顺序排列的等式：

9×0＋1＝19×1＋2＝119×2＋3＝219×4＋5＝41

…，猜想：

第21个等式应为：

16.我们把分子为1的分数叫做单位分数.如

，

，

…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如

＝

，

＝

，

＝

，…

○

□

（1）根据对上述式子的观察，你会发现

＝

.请写出□，○所表示的数；

☆

△

（2）进一步思考，单位分数

（n是不小于2的正整数）＝

，请写出△，☆所表示的式。

17．你到过县城的拉面馆吗？

拉面馆的师傅，能把一根很粗的面条，先两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细面条，如下面草图所示。

请问这样第__________次可拉出256根面条。

18．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个格内均有数目不等

的点图，每一行、每一列以及每条对角线上的三个点图的点数之和

均相等．如图，给出了“河图”的部分点图，请你推算出M处所对应

的点图

A．·B．··C．

D．

19.计算

的结果是（）

A.-2008B.-1004C.-1D.0

20．观察右图并寻找规律，x处填上的数字是

A．－136

B．－150

C．－158

D．－162

21．若“！

”是一种数学运算符号，并且1！

=1，2！

=2×1=2，3！

=3×2×1=6，

4！

=4×3×2×1，…，则

的值为

22．如图，平面内有公共端点的六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线OA开始按逆时针依次在射线上写出数字1、2、3、4、