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1、1初中规律探究学案规律题应用知识汇总 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法看增幅 （一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。例：4、10、16、22、28，求第n位数。分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 66n2 （二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加,如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。

2、 (三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加,此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第100个数是 100 ，第n个数是 n。解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以

3、比较： 给出的数：0，3，8，15，24，。 序列号： 1，2，3， 4， 5，。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是-1，第100项是1（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（），1，2，3，4，5。，从中可以看出n=2时，正好是22-1的平方,n=3时，正好是23-1的平方，以此类推。 （三）看例题：A： 2、9、28、65.增幅是7、19、37.，增幅的增幅是12、18答案与3有关且是n的3次幂，即： n+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.

4、 .答案与2的乘方有关即： （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24，序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在的基础上加2，得到原数列第n项 （五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例 ： 4，16

5、，36，64，？，144，196， ？（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4 n，则求出第一百个数为4*100=40000 （六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。 （七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。 三、对于数表1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数

6、的和或差0，3，8，15，24， 2，5，10，17，26， 0，6，16，30，48（1）第一组有什么规律？（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？（3）取每组的第7个数，求这三个数的和？3、观察下面两行数2，4，8，16，32，64， （1）5，7，11，19，35，67（2）根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。（要求写出最后的计算结果和详细解题过程。）四、数字推理基本类型按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。(1)等差关系。12，20，30，42，( )127，112，97，82，( ) (2)移动求和或差。从第三项起，

7、每一项都是前两项之和或差。1，2，3，5，( )，13A.9 B.11 C.8 D.70，1，1，2，4，7，13，( ) A.22 B.23 C.24 D.255，3，2，1，1，( )A.-3 B.-2 C.0 D.2 2.乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种(1)等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。8，12，18，27，( ) 6，6，9，18，45，( )(2)移动求积或商关系。从第三项起，每一项都是前两项之积或商。2，5，10，50，( )100，50，2，25，( )3，4，6，12，36，( ) 1，7，8，57，( ) 3.平方关系1，4，9，1

8、6，25，( )，49 66，83，102，123，( ) ， 4.立方关系1，8，27，( )，125 3，10，29，( )，1270，1，2，9，( )5.分数数列。关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案 ( )6.、质数数列2，3，5，( )，11 4，6，10，14，22，( ) 20，22，25，30，37，( ) 7.、双重数列。 又分为三种：(1)每两项为一组，如1，3，3，9，5，15，7，( )2，5，7，10，9，12，10，( ) 1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，( )(2)两个数列相隔，其中一个数列可能无任何

9、规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。22，39，25，38，31，37，40，36，( )(3)数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数列。2.01，4.03， 8.04， 16.07，( ) 8.、组合数列。最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。需要熟悉前面的几种关系后，才能较好较快地解决这类题。1，1，3，7，17，41，( )A.89 B.99 C.109 D.11965，35，17，3，( )A.1 B.2 C.0 D.44，6，10，18，34，( )A.50 B.64 C.66 D.686，15，35，77，( )A.106B

10、.117C.136D.1432，8，24，64，( )A.160 B.512 C.124 D.1640，6，24，60，120，( )A.186 B.210 C.220 D.2261，4，8，14，24，42，( )A.76 B .66 C.64 D.689.、其他数列。2，6，12，20，( )A.40 B.32 C.30 D.28 1，1，2，6，24，( )A.48 B.96 C.120 D.1441，4，8，13，16，20，( )A.20 B.25 C.27 D.2827，16，5，( )，1/7A.16 B.1 C.0 D.2五、解题规律数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和

11、掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项在中间的可以两边同时推导。(一)等差数列相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。它

12、还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式：自然数数列：1，2，3，4，5，6偶数数列：2，4，6，8，10，12奇数数列：1，3，5，7，9，11，13例题1 ：103，81，59，( )，15。A.68 B.42 C.37 D.39例题2：2，5，8，( )。A.10 B.11 C.12 D.13例题3：123，456，789，( )。A.1122 B.101112 C.11112 D.100112例题4： 11，17，23，( )，35。A.25 B.27 C.29 D.31例题5： 12，15，18，( )，24，27。A.20 B.21 C.22 D.23(二)等比数列相邻数之间的比值

13、相等，整个数字序列依次递增或递减。等比数列在数字推理测验中，也是排列数字的常见规律之一。例题1： 2，1，1/2，( )。A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1例题2： 2，8，32，128，( )。A.256 B.342 C.512 D.1024例题3： 2，-4，8，-16，( )。A.32 B.64 C.-32 D.-64(三)平方数列1、完全平方数列：正序：1，4，9，16，25逆序：100，81，64，49，362、一个数的平方是第二个数。1)直接得出：2，4，16，( )2)一个数的平方加减一个数等于第二个数：1，2，5，26，( ) 3、隐含完全平方数列：1)通过加减一个常数归

14、成完全平方数列：0，3，8，15，24，( )2)相隔加减，得到一个平方数列：例：65，35，17，( )，1A.15 B.13 C.9 D.3 (四)立方数列立方数列与平方数列类似。例题1： 1，8，27，64，( )例题2：0，7，26，63 ，( )例3： -2，-8，0，64，( ) A.64 B.128 C.156 D 250例4：0，9，26，65，124，( ) (五)、加法数列数列中前两个数的和等于后面第三个数：n1+n2=n3例题1： 1，1，2，3，5，( )。 A8 B7 C9 D10例题2： 4，5，( )，14，23，37A 6 B 7 C 8 D 9例题3： 22，

15、35，56，90，( )A 162 B 156 C 148 D 145(六)、减法数列前两个数的差等于后面第三个数：n1-n2=n3例题1：6，3，3，( )，3，-3 A 0 B 1 C 2 D 3 (七)、乘法数列1、前两个数的乘积等于第三个数例题1：1，2，2，4，8，32，( )例题2：2，12，36，80，( )A.100 B.125 C.150 D.1752、两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。例题2：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 ( ) A 1/6 B 2/9 C 4/3 D 4/9 (八)、除法数列与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式：1、两数相除等

16、于第三数。2、两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比，平方等。 (九)、质数数列由质数从小到大的排列：2，3，5，7，11，13，17，19 (十)、循环数列几个数按一定的次序循环出现的数列。例：3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4图形设计类规律探究规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在往年“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，今年又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型，现将历年来中考规律类中考试题分析如下：1、设计类【例1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计

17、如图a所示的图形。（1）请你利用这个几何图形求的值为 。（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。【例2】观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。2、动态类【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，。若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，依此类推。则第10圈的长为 。【例4】已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运

18、动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,。依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是 。【例5】把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、，则第10个数为 。【例6】下面是一个有规律排列的数表上面数表中第9行、第7列的数是 。5、 图形类【例7】(2005年淄博市中考题)在平

19、面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点共有 个。【例8】“”代表甲种植物，“”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植物 株。【例9】如图，是用积木摆放的一组图案，观察图形并探索：第五个图案中共有 块积木，第n个图案中共有 块积木。综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，考生在回答此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成功

20、。图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面-层有一个圆圈，以下各层均比上-层多一个圆圈，一共堆了n层将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+n= 如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和例如、观察下列数表：二、 要抓题目里的变量找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变

21、化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块（用含的代数式表示）. 三、 要善于比较“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第100个数是 。”如果题目比较复杂，或者包含的变量

22、比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。譬如， “已知下列等式： 1312； 132332； 13233362； 13233343102 ； 由此规律知，第个等式是 ”四、要善于寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。譬如：“观察下列球的排列规律(其中是实心球，是空心球)：从第1个球起到第2004个球止，共有实心球 个。”规律发现专题训练1用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖4块；那么第()个图案中有白色地砖 块。2.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家

23、万事非。”如图，在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为，的矩形彩色纸片（n为大于1的整数）。请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算= 。3.有一列数：第一个数为x1=1，第二个数为x2=3，第三个数开始依次记为x3，x4，xn；从第二个数开始，每个数是它相邻两个数和的一半。（如：x2=）(1)求第三、第四、第五个数，并写出计算过程； (2)根据（1）的结果，推测x8= ；(3)探索这一列数的规律，猜想第k个数xk= .（k是大于2的整数）4.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）. 继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕

24、，那么对折四次可以得到_ 条折痕 .如果对折n次，可以得到 条折痕 .5. 观察下面一列有规律的数， 根据这个规律可知第n个数是 （n是正整数）6.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 。7. 按照一定顺序排列的一列数叫数列,一般用a1，a2，a3，an表示一个数列，可简记为an.现有数列an满足一个关系式：an+1=-nan+1,(n=1,2,3,n),且a1=2.根据已知条件计算a2,a3,a4的值，然后进行归纳猜想an=_.（用含n的代数式表示）8.观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，将这

25、列数排成下列形式按照上述规律排下去，那么第10行从左边第9个数是 .9.观察下列等式9-1=816-4=1225-9=1636-16=20这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为. 10如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色。若每个小长方形的面积都1，则红色的面积是 。11如下图，从A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从A地到B地有2条水路、2条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，走空中从A地不经B地直接到C地.则从A地到C地可供选择的方案有( )A20种 B8种 C 5种 D13种12某校的一间阶梯教室，第

26、1排的座位数为12，从第2排开始，每一排都比前一排增加a个座位。（1）请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：第1排的座位数第2排的座位数第3排的座位数第4排的座位数第n排的座位数12 12a（2）已知第15排座位数是第5排座位数的2倍，求a的值，并计算第21排有多少座位？13.探索：一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成 部分，四条直线最多可以把平面分成 部分，试画图说明；n条直线最多可以把平面分成几部分？14.先观察11再计算的值15.观察下列顺序排列的等式：9011 91211 92321 94541，猜想：第21个等式应为： 16.我

27、们把分子为1的分数叫做单位分数. 如，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，（1）根据对上述式子的观察，你会发现. 请写出，所表示的数； （2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数），请写出，所表示的式。17你到过县城的拉面馆吗？拉面馆的师傅，能把一根很粗的面条，先两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细面条，如下面草图所示。请问这样第_次可拉出256根面条。 18我国古代的“河图”是由33的方格构成，每个格内均有数目不等 的点图，每一行、每一列以及每条对角线上的三个点图的点数之和 均相等如图，给出了“河图”的部分点图，请你推算出M处所对应 的点图 A B C D19.计算的结果是（ ） A. -2008 B. -1004 C. -1 D. 020观察右图并寻找规律，x处填上的数字是 A136 B150C158 D16221若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=21=2，3！=321=6， 4！=4321，则的值为 22如图，平面内有公共端点的六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线OA开始按逆时针依次在射线上写出数字1、2、3、4、