全国卷高考圆锥曲线真题.docx

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全国卷高考圆锥曲线真题

全国卷高考圆锥曲线真题

一．解答题（共21小题）

1．（2015•新课标II）已知椭圆C：

9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

（1）证明：

直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（2）若l过点（

，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？

若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

2．（2015•河北）在直角坐标系xOy中，曲线C：

y=

与直线l：

y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．

（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？

（说明理由）

3．（2014•新课标I）已知点A（0，﹣2），椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为

，O为坐标原点．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

4．（2014•新课标II）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；

（Ⅲ）已知1.4142＜

＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．

5．（2014•广西）已知抛物线C：

y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=

|PQ|．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．

6．（2013•新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：

（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣

=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为

．

（Ⅰ）求M的方程

（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

7．（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：

（x+1）2+y2=1，圆N：

（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

8．（2014•沧州校级一模）已知双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为

．

（I）求a，b；

（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：

|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．

9．（2012•新课标）设抛物线C：

x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为

，求p的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

10．已知抛物线C：

y=（x+1）2与圆

（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．

11．（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足

∥

，

=

•

，M点的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．

12．（2014•马山县校级模拟）已知O为坐标原点，F为椭圆C：

在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣

的直线l与C交于A、B两点，点P满足

．

（Ⅰ）证明：

点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：

A、P、B、Q四点在同一圆上．

13．（2010•全国卷Ⅱ）己知斜率为1的直线l与双曲线C：

相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：

过A、B、D三点的圆与x轴相切．

14．（2010•全国卷Ⅰ）已知抛物线C：

y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．

（Ⅰ）证明：

点F在直线BD上；

（Ⅱ）设

，求△BDK的内切圆M的方程．

15．（2010•宁夏）设F1，F2分别是椭圆

的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

（1）求E的离心率；

（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．

16．（2009•全国卷Ⅱ）已知椭圆

的离心率为

，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

，

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有

成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

17．（2009•全国卷Ⅰ）如图，已知抛物线E：

y2=x与圆M：

（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．

（Ⅰ）求r的取值范围；

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．

18．（2009•宁夏）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，

=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

19．（2014•漳州校级模拟）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|

|、|

|、|

|成等差数列，且

与

同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

20．（2015•南昌校级二模）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若

，求k的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

21．（2008•海南）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：

y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=

．

（Ⅰ）求C1的方程；

（Ⅱ）平面上的点N满足

，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若

，求直线l的方程．