数三考研习计划表以及课后需掌握习题同济版精品文档.docx

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第一轮复习：

基础知识自我复习

数学三学习计划

计划对应教材：

考试内容结构

《高等数学上下册》同济大学数学系编高等教育出版社第六版约56%

《工程数学线性代数》同济大学数学系编高等教育出版社第五版约22%

《概率论与数理统计》浙江大学编高等教育出版社第四版约22%

高等数学部分（六个单元）

第一单元---函数、极限、连续

本单元考试要求内容----

1.函数的概念、表示方法，建立应用问题的函数关系;

2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;

3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念;

4.基本初等函数的概念、性质及其图形;

5.数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念；

6.极限的性质及极限存在的两个准则、四则运算法则、掌握利用两个重要极限求极限的方法；

7.无穷小量的概念和基本性质、无穷小量的比较方法,无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；

8.函数连续性的概念（含左、右连续）,判断函数间断点的类型;

9.连续函数的性质和初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会用这些性质.

天数

掌握内容

掌握知识点

习题章节

练习题目

备注

第一天

第1章

第1节

映射与函数

函数的概念;

函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性;

反函数、复合函数、分段函数和隐函数、函数的运算;

初等函数具体概念和形式,函数关系的建立；

习题

1－1

4（3）（6）（8）,5（3）▲,

（2）,15（4）▲,17▲

本节有两部分内容考研不要求:

1.“二、映射”;2.本节最后——双曲函数和反双曲函数

第二天

第1章

第2节

数列的极限

数列极限的概念;

数列极限的性质（唯一性、有界性、保号性）

习题

1－2

（2）（5）（8）▲

1.要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义;2.对于用数列极限的定义证明,理解即可

第1章

第3节

函数的极限

函数极限的概念;

函数的左极限、右极限与极限的存在性;

函数极限的性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质,函数极限与数列极限的关系等）

习题

1－3

2,4▲

1.要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义;

2.对于用函数极限的定义证明,理解即可

第三天

第1章

第4节

无穷小与无穷大

无穷小与无穷大的概念及其关系;

习题

1－4

4,6▲

要搞清楚无穷大与无界的关系

第1章

第5节

极限运算法则

极限的运算法则（6个定理以及一些推论）

习题

1－5

1（5）▲（11）▲（13）▲,

3▲,5

有理分式函数当

的极限要记住结论,以后直接使用

第四天

第1章

第6节

极限存在准则

两个重要极限

函数极限存在的两个准则（夹逼准则,单调有界数列必有极限）;两个重要极限（注意极限成立的条件,熟悉等价表达式）;

利用函数极限求数列极限

习题

1－6

（2）（6）▲,2

（1）（4）▲,

（1）（3）▲

1.利用单调有界原理推导第二个重要极限可以不用细看;

2.“柯西极限存在准则”考研不要求

第1章

第7节

无穷小的比较

无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k阶无穷小）及其应用;

一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法

习题

1－7

1,2,3

（1）,4（3）▲（4）▲

例1和例2中出现的所有等价无穷小都要求熟记

第五天

第1章

第8节

函数的连续性与间断点

函数的连续性,函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点）;判断函数的连续性和间断点的类型

习题

1－8

3（4）,4▲,5

熟记:

1.连续性的定义;2.间断的定义与间断点的分类

第1章

第9节

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性;反函数与复合函数的连续性;初等函数的连续性

习题

1－9

3（4）（6）（7）,

4（4）▲（6）▲,6▲

——

第六天

第1章

第10节

闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理;零点定理与介值定理（零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法）

习题

1－10

1,3▲

考研不要求的内容:

“三、一致连续性”

第七天

第1章

总复习

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题一

（2）,9

（2）（4）（6）,10,13

——

第二单元----一元函数微分学

本单元考试要求内容——

1.导数的概念及可导性与连续性之间的关系，导数的几何意义和经济意义（含边际与弹性的概念）,求平面曲线的切线方程和法线方程；

2.导数和微分的四则运算法则,复合函数的求导法则,基本初等函数的导数公式,求分段函数的导数，求反函数与隐函数的导数;

3.高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数;

4.微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，求函数的微分；

5.理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，以及这四个定理的简单应用;

6.用洛必达法则求未定式的极限；

7.函数极值的概念，函数单调性的判别方法，函数的极值，函数的最大值和最小值的求法及其应用；

8.用导数判断函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点和渐近线；

9.描述简单函数的图形．

天数

掌握内容

掌握知识点

习题章节

练习题目

备注

第一天

第2章

第1节

导数概念

导数的定义、几何意义及经济意义（含边际与弹性的概念）

单侧与双侧可导的关系

可导与连续之间的关系

函数的可导性,导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质

按照定义求导及其适用的情形,利用导数定义求极限

会求平面曲线的切线方程和法线方程

习题

2－1

2,6,7,8,13▲,

（2）▲,17

——

第二天

第2章

第2节

函数的求导法则

导数的四则运算公式（和、差、积、商）

反函数的求导法则

复合函数的求导法则

基本求导法则与导数公式

分段函数的求导

习题

2－2

2（9）▲,3

（2）,4,

7（8）▲,8（5）,

11（6）（9）

考研不要求的内容:

“例17双曲函数与反双曲函数的导数”

第三天3h

第2章

第3节

高阶导数

高阶导数的概念，简单函数的高阶导数

n阶导数的求法（归纳法,莱布尼兹公式）

习题

2－3

1（3）,3

（2）,4

（1）,

8▲,10

（2）▲,

例3例4例5的结论要求记住,以后可直接利用

第2章

第4节

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

隐函数的求导方法,对数求导法

由参数方程确定的函数的求导方法

习题

2－4

（1）,2,3（4）▲,

（1）,5

（2）,10

考研不要求的内容:

“三、相关变化率”

第四天

第2章

第5节

函数的微分

函数微分的定义,几何意义

基本初等函数的微分公式与微分运算法则

一阶微分形式的不变性

习题

2－5

2▲,6

考研不要求的内容:

“四、微分在近似计算中的应用”

第五天

第2章

总复习

复习巩固第2章

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题二

1,3▲,6

（1）,7,11,13,

14▲

——

第六天

第3章

第1节

微分中值定理

费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理及其几何意义

构造辅助函数

习题

3－1

6▲,8▲,11

（1）▲

（2）▲,12▲,15▲

——

第七天

第3章

第2节

洛必达法则

洛必达法则及其应用

习题

3－2

1（10）▲（13）（15）▲,

4▲

——

第八天

第3章

第3节

泰勒公式

泰勒中值定理

麦克劳林展开式

习题

3－3

5,7,10

（2）▲（3）

不用仔细看的内容:

泰勒中值定理的证明

第九天

第3章

第4节

函数的单调性与曲线的凹凸线

函数的单调区间和极值点

函数的凹凸区间和拐点

习题

3－4

3（6）▲,5（4）,6,9（5）▲,10（3）,12

1.总结求单调区间的步骤；

2.总结求拐点的步骤。

第十天

第3章

第5节

函数的极值与最大值最小值

函数极值的存在性：

一个必要条件，两个充分条件

最大值最小值问题

函数类的最值问题和应用类的最值问题

习题

3—5

1（8）▲,4（3）,10

1.总结求极值与最值的步骤；

2.例5例6不用看；

3.例7需重点搞懂。

第十一天

第3章

第6节

函数图形的描绘

用导数作函数图形（一般出选择题）：

函数f（x）的间断点、f’（x）和f’’（x）的零点和不存在的点，渐近线

由各个区间内f’（x）和f’’（x）的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点

习题

3－6

1,4▲

——

第十二天

第3章

总复习

复习巩固第3章

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题三

1,2

（2）,6,7,9,10（4）,11（3）,

12,17

——

第三单元---一元函数积分学（不定积分、定积分）

本单元考试要求内容——

1.原函数与不定积分的概念;

2.不定积分的的基本性质和基本积分公式,不定积分的换元积分法与分部积分法；

3.定积分的概念和基本性质，定积分的中值定理，定积分的换元积分法和分部积分法；

4.积分上限的函数并会求它的导数，牛顿—莱布尼茨公式；

5.反常积分的概念及计算；

6.用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，利用定积分求解简单的经济应用问题．

天数

掌握内容

掌握知识点

习题章节

练习题目

备注

第一天

第4章

第1节

不定积分的概念与性质

原函数和不定积分的概念与基本性质（之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系）

基本的积分公式

原函数的存在性、几何意义

习题

4－1

（1）,2

（1）（6）（8）（13）（17）▲（19）▲（21）▲（25）,5▲

熟记“基本积分表”，公式1—13

第二天

第4章

第2节

换元积分法

第一类换元积分法（凑微分法）

习题

4—2

（1）（3）（6）（9）（13）（15）（16）▲

（17）▲（19）▲（21）▲（30）▲

1.注意：

204页小字部分不用看；

2.熟记P205公式16—24.

第三天

第4章

第3节

分部积分法

习题

4－3

2,5,6▲,9▲,14,17,18▲,19,22,24▲

——

第四天

第4章

第4节

有理函数积分

有理函数积分法，可化为有理函数的积分

习题

4－4

2,4▲,8,20▲,23

注意：

仅“例4”不在考研范围之内。

第五天

第4章

总复习

复习巩固第4章

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题四

1,2,5,9,10▲,12,14▲,16,21,23▲,

33▲,35,38

——

第六天

第5章

第1节

定积分的概念

与性质

定积分的定义与性质（7个性质）

函数可积的两个充分条件

习题

5—1

（1）▲,3

（2）▲（3）,

11▲,12

（2）,13（5）

考研不要求的内容：

1.“三、定积分的近似计算”。

第5章

第2节

微积分的基本公式

积分上限函数及其导数

牛顿－莱布尼兹公式

习题

5—2

（2）,6（5）（8）（11）▲（12）▲,

（2）,10▲,12▲,13▲

可以不看的内容：

1.“一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系”；

2.“例5”.

第七天

第5章

第3节

定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法

定积分的分部积分法

习题

5—3

（2）（4）（6）▲（10）（12）（19）

（21）▲（24）（26）▲,5,6,7（11）▲

以后可以直接使用的结论：

例5，例6，例7，例12.

第5章

第4节

反常积分

无穷限的反常积分

无界函数的反常积分

习题

5—4

1（4）（8）（10）,2▲

——

第八天

第5章

总复习

复习巩固第5章

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题五

（1）

（2）（4）▲,3

（2）,4

（2）▲,

10（7）▲（9）（10）,11,12,13,14▲

——

第九天

第6章

第1节

定积分的元素法

元素法

——

第6章

第2节

定积分在几何学上的应用

平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形）

旋转体的体积

习题

6—2

（1）（4）,2

（1）,4,5

（1）,9,

12▲,15

（1）（3）▲,

16▲,19

1.能自己推导各个计算公式；2.考研不要求的内容：

①“二、2.平行截面面积为已知的立体的体积”；

②“平面曲线的弧长”.

第十天

第6章

第3节

定积分在物理学上的应用

变力沿直线所作的功、水压力、引力

习题

6—3

3、8、12

——

第十一天

第6章

总复习

复习巩固第6章

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题

六

2、3、5

——

第四单元——常微分方程与差分方程

本单元考试要求内容——

1.微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；

2.变量可分离的微分方程，齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法；

3.二阶常系数齐次线性微分方程的解法；

4.线性微分方程解的性质及解得结构定理，解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程；

5.差分与差分方程及其通解与特解等概念；

6.一阶常系数线性差分方程的求解方法；

7.会用微分方程求解简单的经济应用问题。

天数

掌握章节

掌握知识点

习题章节

必做题目

备注

第一天

第7章

第1节

微分方程的基本概念

微分方程的基本概念：

微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解

习题

7—1

（1）（4）,2

（2）（4）,

（2）,5

（2）

——

第7章

第2节

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程的概念及其解法

习题

7—2

（1）（3）（4）（7）▲,

2（3）▲,6▲

可以不用看的内容：

例2例3

例4

第二天

第7章

第3节

齐次方程

一阶齐次微分方程的形式及其解法

习题

7—3

（1）▲（4）,

（1）▲,3▲

考研不要求的内容：

“二、可化为齐次的方程”

第7章

第4节

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的形式和解法

习题

7—4

（2）（3）（7）（10）▲,2

（1）▲（4）,3

1.可以不用看的内容：

例2；

2.考研不要求的内容：

“二、伯努利方程”.

第三天

第7章

第5节

可降阶的高阶微分方程

三种容易降阶的高阶微分方程

习题

7—5

1（3）（7）▲（10）,2（4）

______

第7章

第6节

高阶线性微分方程

n阶线性微分方程的形式

线性微分方程的解的结构：

齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质

习题

7—6

（1）（3）（6）,4

（2）

可以不用看的内容：

1.“一、二阶线性微分方程举例”；

2.“三、常数变易法”.

第四天

第7章

第7节

常系数齐次线性微分方程

特征方程

特征方程的根与微分方程通解中的对应项

微分方程的通解

习题

7—7

（1）▲（4）▲

（5）,2

（2）▲（3）

可以不用看的内容：

例4例5.

第7章

第8节

常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程，其中自由项为：

多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数

习题

7—8

（1）（3）（7）▲（9）▲

（2）▲,6▲

可以不用看的内容：

例5.

第五天

第7章

总复习

复习掌握第7章

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题七

（1）

（2）▲（3）（4）,2,

（1）

（2）▲（7）▲,4（4）▲,7▲

——

注意：

向量代数和空间解析几何，考研数三不要求！

！

第五单元——多元函数微积分学

本单元考试要求内容——

1.多元函数的概念，二元函数的几何意义；

2.二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上二元连续函数的性质；

3.多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法,求微积分,求多元隐函数的偏导数;

4.多元函数极值和条件极值的概念,多元函数极值存在的必要条件,二元函数极值存在的充分条件,求二元函数的极值,用拉格朗日乘数法求条件极值,求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决简单的应用问题;

5.二重积分的概念和基本性质,二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），无界区域上较简单的反常二重积分并会计算；

注意：

曲线积分与曲面积分，考研数三不要求！

！

天数

掌握章节

掌握知识点

习题章节

必做题目

备注

第一天

第9章

第1节

多元函数的基本概念

二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理

习题

9—1

2,5

（1）

（2）,6

（1）（4）,7

（1）,8

考研不要求的内容：

1.“一、平面点集n维空间”；

2.本节最后——“性质3（一致连续性定理）”.

第二天

第9章

第2节

偏导数

偏导数的概念，高阶偏导数的求解

习题

9—2

1（4）（5）（6）▲,4▲,

（2）▲,8,9

（2）▲

——

第9章

第3节

全微分

全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件

习题

9—3

（1）▲（4）▲,

2▲,3,5▲

1.可不看的内容：

“定理2”的证明过程；

2.考研不要求的内容：

“二、全微分在近似计算中的应用”.

第三天

第9章

第4节

多元复合函数的求导法则

多元复合函数求导法则（共3个定理）

全导数

全微分形式不变性

习题

9—4

2▲,4▲,6▲,8

（1）▲,

10▲，12

（1）▲

——

第四天

第9章

第5节

隐函数的求导公式

一个方程的情形（定理1，定理2）

习题

9—5

1,4▲,6,8▲

考研不要求的内容：

“二、方程组的情形”.

第五天

第9章

第6节

多元函数微分学的几何应用

一元向量值函数及其导数

空间曲线的切线与法平面

曲面的切平面与法线

习题

9—6

3,6,11,12

———

第9章

第7节

方向导数与梯度

方向导数

梯度

习题

9—7

1,2,6▲

定理要记住

第六天

第9章

第8节

多元函数的极值及其求法

多元函数极值、极值点的概念

多元函数极值的必要条件、充分条件

条件极值，拉格朗日乘数法

习题

9—8

1,2▲,6,9

考研不要求的内容：

例9.

第七天

第9章

总复习

复习巩固第9章

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题九

1,5,6

（2）▲,8,9,11▲,19▲

——

第八天

第10章

第1节

二重积分的概念与性质

二重积分的定义、几何意义

二重积分的性质（6个）

二重积分的中值定理

习题

10—1

2,4

（1）

（2）（3）▲,5

（1）（4）

——

第九天

第10章

第2节

二重积分的计算法

利用直角坐标、极坐标计算二重积分

习题

10—2

（1）（3）（4）▲,2

（1）

（2）▲（3）（4）,4

（1）

（2）▲（3）,6

（1）

（2）（3）▲（6）▲

考研不要求的内容：

“三、二重积分的换元法”.

第十天

第10章

第3节

三重积分

利用直角坐标、柱面坐标计算三重积分

习题

10—3

1、2、4、5、6、7、8、9▲、11

（1）（3）▲,12

（1）（3），14

——

第十一天

第10章

第4节

重积分的应用

曲面面积、质心、转动惯量、引力

习题

10—4

1,4

（2），7

（1）（3）▲,9

（2）（3）▲,13

——

第十二天

第10章

总复习

复习巩固第10章

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题十

（2）▲（3）▲,2

（1）（4）,3

（1）

（2）▲,5,6▲

——

第六单元——无穷级数

本单元考试要求内容——

1.级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念；

2.级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数及P级数的收敛与发散的条件，正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法；

3.任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，交错级数的莱布尼茨判别法；

4.幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5.幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），求简单幂级数在收敛区间内的和函数；

，

及

的麦克劳林（Maclaurin）展开式。

天数

掌握章节

掌握知识点

习题章节

必做题目

备注

第一天

第12章

第1节

常数项级数的概念和性质

常数项级数的概念

收敛级数的基本性质

等比级数（几何级数）敛散性的判别

级数收敛的必要条件

习题

12—1

2（3）（4）,3

（1）

（2）▲,

（1）

（2）（5）▲

考研不要求的内容：

“三、柯西审敛原理”.

第二天

第12章

第2节

常数项级数的审敛法

正项级数及其审敛法（正项级数收敛的充要条件，比较审敛法及其推论、比较审敛法的极限形式，比值审敛法、根值审敛法，极限审敛法）

p级数敛散性的判别

交错级数及其审敛法（莱布尼茨定理）

绝对收敛与条件收敛

习题

12—2

（1）（4）（5）▲,2

（1）（4）▲,

（1）▲（3）（5）▲,

（2）（3）▲（5）▲

考研不要求的内容：

1.“定理5（根植审敛法）”.

2.“绝对收敛级数的性质”

第三天

第12章

第3节

幂级数

函数项级数的概念

幂级数及其收敛性（阿贝尔定理及其推论，幂级数的收敛半径）

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