第四章 随机变量的数字特征总结.docx

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第四章随机变量的数字特征总结

第四章随机变量得数字特征

㈠数学期望表征随机变量取值得平均水平、“中心”位置或“集中”位置.

1、数学期望得定义

（1）定义离散型与连续型随机变量X得数学期望定义为

其中Σ表示对X得一切可能值求与.对于离散型变量,若可能值个数无限,则要求级数绝对收敛;对于连续型变量,要求定义中得积分绝对收敛;否则认为数学期望不存在.

①常见得离散型随机变量得数学期望

1、离散型随机变量得数学期望

　　设离散型随机变量得概率分布为,若,则称级数为随机变量得数学期望（或称为均值）,记为,即

2、两点分布得数学期望

　　设服从0—1分布,则有,根据定义,得数学期望为、

　　3、二项分布得数学期望

　　设服从以为参数得二项分布,,则。

　　4、泊松分布得数学期望

　　设随机变量服从参数为得泊松分布,即,从而有。

①常见得连续型随机变量得数学期望

1）均匀分布

设随机变量ξ服从均匀分布,ξ～U[a,b]（a

=则=

∴E（ξ）=（a+b）/2.即数学期望位于区间得中点.

2）正态分布

设随机变量ξ服从正态分布,ξ～N（μ,σ2）,它得概率密度函数为:

（σ>0,<μ<+）

则令得

∴E（ξ）=μ、

3）指数分布

设随机变量服从参数为得指数分布,得密度函数为

　　　　　　,则、

（2）随机变量得函数得数学期望设为连续函数或分段连续函数,而X就是任一随机变量,则随机变量得数学期望可以通过随机变量X得概率分布直接来求,而不必先求出得概率分布再求其数学期望;对于二元函数,有类似得公式:

设为二维离散型随机变量,其联合概率函数

如果级数绝对收敛,则得函数得数学期望为

;特别地、

设为连续型随机变量,其概率密度为,如果广义积分绝对收敛,则得函数得数学期望为.

设为二维连续型随机变量,其联合概率密度为,如果广义积分绝对收敛,则得函数得数学期望为

;

特别地,、

注:

求E（X,Y）就是无意义得,比如说二维（身高,胖瘦）得数学期望就是无意义得,但就是二维随机变量函数Z=E（X,Y）就是有意义得,她表示得就是函数下得另一个一维意义。

2、数学期望得性质

（1）对于任意常数c,有.例E[E（X）]=E（X）

（2）对于任意常数,有.例:

E（aX+b）=aE（X）+b

（3）对于任意,有.

（4）如果相互独立,则.（注:

相互独立有后面得结论成立,但这就是单向性得,即不能有结论推出独立）

㈡方差与标准差表征随机变量取值分散或集中程度得数字特征.

1、方差得定义称

为随机变量X得方差,称为随机变量X得标准差.随机变量X得方差有如下计算公式:

（4、3）

2、常见分布得方差

（1）两点分布

设ξ～（01）,其概率分布为:

P（ξ=1）=p,P（ξ=0）=1p=q（0

E（ξ2）=12×p+02×（1p）=p∴D（ξ）=E（ξ2）（E（ξ））2=pp2=p（1p）

（2）二项分布

设ξ～B（n,p）,其概率分布为:

（k=0,1,2,…,n）（0

（此处运用组合数公式）

=

=,

（运用二项分布得数学期望公式知）

E（ξ2）=np（n1）p+np,

∴D（ξ）=E（ξ2）（E（ξ））2=np（1p）.

（3）均匀分布

设ξ～U[a,b]（a

E（ξ）=（a+b）/2,、

∴D（ξ）=E（ξ2）（E（ξ））2=（ba）2/12、

（4）正态分布

设ξ～N（μ,σ2）,它得概率密度函数为:

（σ>0,∞<μ<+∞）E（ξ）=μ

（令t=（xμ）/σ）

=σ2∴D（ξ）=σ2、

（5）指数分布

2、方差得性质

（1）,并且当且仅当（以概率１）为常数;

（2）对于任意实数,有;（方差对随机变量前面得常数具有平方作用）

（3）若两两独立或两两不相关,则

.

（4）D（X）≥0,D（X）=0得充要条件就是P｛X=E（X）｝=1或者P{X=C}=1、

（5）设X就是一个随机变量,c就是常数,则D（X+c）=D（X）、例:

D（kξ+c）=k2D（ξ）;

㈢切比雪夫不等式

我们知道方差就是用来描述随机变量得取值在其数学期望附近得离散程度得,因此,对任意得正数,事件发生得概率应该与有关,而这种关系用数学形式表示出来,就就是下面我们要学习得切比雪夫不等式。

定理1设随机变量得数学期望与方差存在,则对于任意正数,不等式

（1）

或

（2）

都成立。

不等式

（1）与

（2）称为切比雪夫不等式。

切比雪夫不等式给出了在随机变量得分布未知得情况下,只利用得数学期望与方差即可对得概率分布进行估值得方法,这就就是切比雪夫不等式得重要性所在。

例1已知正常男性成人血液中,每毫升含白细胞数得平均值就是7300,均方差就是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在之间得概率。

解设表示每毫升血液中含白细胞个数,则

而

又所以

㈢协方差与相关系数

考虑二维随机向量,其数字特征包括每个变量得数学期望与方差,以及与得联合数字特征——协方差与相关系数.

1、协方差与相关系数得定义

（1）协方差随机变量与得协方差定义为

其中

（2）相关系数随机变量X与Y得相关系数定义为

.

2、协方差得性质设随机变量与得方差存在,则它们得协方差也存在.

（1）若与独立,则;对于任意常数c,有.

（2）.

（3）对于任意实数a与b,有.

（4）对于任意随机变量,有

（5）对于任意与,有.（等号成立,且当仅当存在常数啊,a,b使P{Y=a+bX}=1成立）

（6）对于任意与,有.

3、相关系数得性质相关系数得如下三条基本性质,决定了它得重要应用.设——与得相关系数,

（1）.

（2）若与相互独立,则=0;但就是,当=0时与却未必独立.

（3）得充分必要条件就是与（以概率１）互为线性函数.

（4）对随机变量x,y,下列事件等价:

①cov（X,Y）=0;②X与Y不相关;③E（XY）=E（X）E（Y）;④D（X+Y）=D（X）+D（Y）

三条性质说明,随着变量与之间得关系由相互独立到互为线性函数,它们得相关系数得绝对值从0增加到1,说明相关系数可以做两个变量统计相依程度得度量.

4、随机变量得相关性假设随机变量与得相关系数存在.若=0,则称与不相关,否则称与相关.

（1）若两个随机变量独立,则它们一定不相关,而反之未必;

（2）若与得联合分布就是二维正态分布,则它们“不相关”与“独立”等价.

㈣矩在力学与物理学中用矩描绘质量得分布.概率统计中用矩描绘概率分布.常用得矩有两大类:

原点矩与中心矩.数学期望就是一阶原点矩,而方差就是二阶中心矩.

1、原点矩对任意实数,称为随机变量Ｘ得阶原点矩,简称阶矩..原点矩得计算公式为:

一阶原点矩就是数学期望;

2、中心矩称为随机变量Ｘ得阶中心矩.二阶中心矩就是方差D（X）;

3、混合中心矩随机变量得阶混合原点矩定义为;随机变量得阶混合中心矩定义为.阶混合中心矩为协方差、

（四）常用分布得数字特征

　　9、1当服从二项分布时,.

　9、2当服从泊松分布时,,

　9、3当服从区间上均匀分布时,

　9、4当服从参数为得指数分布时,

　9、5当服从正态分布时,.

　9、6当服从二维正态分布时,

;;

三、典型例题及其分析

例4、2、1一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整得概率相应为0、10,0、20与0、30,假设各部件得状态相互独立,以表示同时需要调整得部件数,试求得数学期望与方差、

【思路】关键就是求出得分布律,然后用定义计算、

【解】引入事件:

根据题设,三部件需要调整得概率分别为

由题设部件得状态相互独立,于就是有

于就是得分布律为

X

0

1

2

3

P

0、504

0、398

0、092

0、006

从而

故

【解毕】

【技巧】本题得关键就是引入事件,将得分布律求出,因此,可以发现求期望与方差得难点转到了求得分布、同时,方差得计算一般均通过公式来进行、

例4、2、3设就是一随机变量,其概率密度为

求、

（1995年考研题）

【解】

于就是【解毕】

【技巧】在计算数学期望与方差时,应首先检验一下得奇偶性,这样可利用对称区间上奇偶函数得积分公式简化求解,比如本题中,为偶函数,故同样得计算也可直接简化、

例4、2、4已知连续型随机变量得密度函数为

求与、（1987年考研题）

【思路】一种求法就是直接利用数学期望与方差得定义来求、另一种方法就是利用正态分布得形式及其参数得含义、

【解】（方法1）直接法、

由数学期望与方差得定义知

（方法2）利用正态分布定义、

由于期望为,方差为得正态分布得概率密度为所以把变形为

易知,为得概率密度,因此有

【技巧】解决本题得关键就是要善于识别常用分布得密度函数,不然得话,直接计算将会带来较大得工作量、反过来,用正态分布得特性也可以来求积分等、

（2）若干计算公式得应用

主要包括随机变量函数得数学期望公式,数学期望与方差得性质公式得应用、

例4、2、5设表示10次独立重复射击中命中目标得次数,每次射中目标得概率为0、4,求、

（1995年考研题）

【解】由题意知于就是

由可推知

【寓意】本题考查了两个内容,一就是由题意归结出随机变量得分布;二就是灵活应用方差计算公式,如果直接求解,那么得计算就是繁琐得、

例4、2、6设服从参数得指数分布,求、（1992年考研题）

【解】由题设知,得密度函数为

且,又因为

从而【解毕】

【寓意】本题得目得就是考查常见分布得分布密度（或分布律）以及它们得数字特征,同时也考查了随机变量函数得数学期望得求法、

例4、2、7设二维随机变量在区域内服从均匀分布,求随机变量得方差

【解】由方差得性质得知

又由于得边缘密度为

于就是

因此,【解毕】

【技巧】尽管本题给出得就是二维随机变量,但在求得期望于方差时,可以从得边缘密度函数出发,而不必从与得联合密度函数开始、在一般情形下,采用边缘密度函数较为方便、

例4、2、8设随机变量与独立,且服从均值为1,标准差为得正态分布,而服从标准正态分布,试求随机变量得概率密度函数、（1989年考研题）

【思路】此题瞧上去好像与数字特征无多大联系,但由于与相互独立且都服从正态分布,所以作为得线性组合也服从正态分布、故只需求与,则得概率密度函数就唯一确定了、

【解】由题设知,、从而由期望与方差得性质得

又因就是得线性函数,且就是相互独立得正态随机变量,故也为正态随机变量,又因正态分布完全由其期望与方差确定,故知,于就是,得概率密度为

【解毕】

【寓意】本题主要考查二点内容,一就是独立正态分布得线性组合仍为正态分布;其二就是正态分布完全由其期望与方差决定、

例4、2、9假设随机变量服从参数为得指数分布,随机变量

（1）求与得联合概率分布;

（2）求、

【解】显然,得分布函数为

（1）有四个可能取值:

且

于就是得到与得联合分布律为

0

1

0

0

1

（3）显然,得分布律分别为

0101

PP

因此

故【解毕】

【技巧】本题中若不要求求与得联合分布律,也可直接求出,这就是因为

而因此

不仅如此,我们还能求其她函数得期望、例如求,此时,由于

故

例4、2、10设随机变量服从二维正态分布,其密度函数为

求随机变量得期望与方差、

【思路】利用随机变量函数得期望得求法进行计算、

【解】由于,故

令,则

而

故【解毕】

【技巧】本题也可先求出得密度函数,再来求得期望与方差,但由于求得密度本身就就是一繁琐得工作,因此我们借助随机变量函数得期望公式来求解,再此公式中并不需要知道得分布,而只需直接计算一个二重积分即可、因此,对随机变量函数得期望计算问题,除非它就是一线性函数,或者为离散型随机变量,一般我们往往不直接去求这个函数得分布,而直接按随机变量函数得期望计算公式来求解、

例4、3、4已知随机变量与分别服从正态分布与,且与得相关系数,设求:

（1）得数学期望与方差;

（2）与得相关系数;

（2）问与就是否相互独立？

为什么?

（1994年考研题）

【解】

（1）由数学期望得运算性质有

由有

（2）因为

所以

（3）因均为正态,故得线性组合也就是正态随机变量,由于二正态分布得独立性与相关性就是等价得,所以由知,与相互独立、【解毕】

【寓意】本题考查得主要有两点,一就是关于协方差,有性质

另一点为:

对于二正态变量与,与相互独立等价于

综例4、4、3设随机变量得概率密度为

已知求:

（1）常数

（2）、

【思路】要确定三个常数需三个条件,题设中已有两个条件,另一条件为而只需利用随机变量函数得期望计算公式即可、

【解】

（1）由概率密度得性质知,有

又因为

而

解方程

得

（2）

【解毕】