基于MATLAB的自动控制系统时域分析.docx

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基于MATLAB的自动控制系统时域分析

基于MATLAB的自动控制系统时域分析

摘要

自动控制系统就是在无人直接操作或干预的条件下，通过控制装置使控制对象自动的按照给定的规律运行，使被控量按照给定的规律去变化的系统。

在现代工业生产中，自动控制系统已经遍布每一个角落，对于线性时不变控制系统，可以通过时域、频域分析法来分析系统的性能，但是对于多输入多输出的控制系统，时域、频域分析已经无能为力，鉴于这样的控制系统，可以通过线性系统的状态空间分析法来分析。

本文针对自动控制系统的设计很大程度上还依赖于实际系统的反复实验，结合具体的实例,介绍了利用先进的MATLAB软件对自动控制系统进行时域、频域分析与仿真和线性系统状态空间分析的方法，通过快速直观的仿真和分析达到自动控制系统的优化。

Automaticcontrolsystemisundertheconditionofnodirectmanipulationorintervention,throughthecontroldevicetocontroltheobjectautomaticallyrunaccordingtothegivenrule,wasaccusedofamounttochangeaccordingtothegivenrulesystem.Inmodernindustrialproduction,theautomaticcontrolsystemhasbeenaroundeverycorner,forlineartime-invariantcontrolsystem,bythetimedomain,frequencydomainanalysismethodtoanalyzetheperformanceofthesystem,butformultipleinputmultipleoutputcontrolsystem,andthetimedomain,frequencydomainanalysishasbeenpowerless,inviewofthiscontrolsystemcanbeanalysisbystatespaceanalysismethodforlinearsystems.

关键词:

MATLAB自动控制系统时域频域状态空间

一、引言

随着科学技术的发展，自动控制系统已经普遍出现在人类生产、生活和探索新技术的各个领域中。

所谓自动控制就是应用控制器自动地、有目的地操纵被控对象使之具有预定的工作状态。

自动控制理论（AutomaticControlTheory）是研究自动控制共同规律的技术科学。

在自动控制系统中分析和设计系统的首要任务是建立系统的数学模型。

一旦获得合理的数学模型，就可以采用不同的分析方法来分析系统的动态性能和稳态性能，同时得出改善系统性能的措施。

经典控制理论中常用的工程分析方法有三种，即时域分析法（TimeDomainAnalysis）、根轨迹法（RootLocusMethod）和频率响应法（FrequencyResponseMethod）。

时域分析法师控制系统重要的分析方法之一。

在MATLAB环境下，提供了多种函数和工具箱用于时域分析。

Withthedevelopmentofscienceandtechnology,automaticcontrolsystemhasbeenwidespreadinthehumanproduction,lifeandexplorenewtechnologyineveryfield.Theso-calledautomaticcontrolisappliedcontrollerautomatically,purposefullymanipulationofthecontrolledobjectisscheduledworkingcondition.AutomaticControlTheory,AutomaticControlandfound）isacommonlawstudyofAutomaticControltechnologyscience.Intheautomaticcontrolsystemanalysisanddesignsystemofpriorityisamathematicmodelofthesystem.Oncegetthereasonablemathematicalmodel,differentanalysismethodscanbeusedtoanalyzethedynamicperformanceandsteady-stateperformanceofthesystem,andimprovethesystemperformancemeasures.ClassiccontroltheorytherearethreekindsofcommonlyusedengineeringAnalysisMethod,theTimeDomainAnalysis（TimeDomainAnalysis）,theRootLocusMethod（RootLocusMethod）andtheFrequencyResponseMethod（FrequencyResponseMethod）.Mageanalysisoftimecontrolsystemisoneoftheimportantanalysismethod.

二、理论推导

（一）时域分析简介

时域分析法是根据微分方程，利用拉氏变换直接求出系统的时间响应，然后按照响应曲线来分析系统的性能，是一种直接在时域中对系统进行分析的方法，具有直观和准确的优点。

控制系统时域分析法最常用的方法有两种：

一是当输入为单位阶跃信号时，求出系统的响应；二是当输入为单位冲激信号时，求出系统的响应。

（二）控制系统的时域建模

微分方程（DifferentialEquation）是系统最基本的数学模型，这也是描述系统输入量和输出量之间的关系的最直接的数学方法。

当系统的输入量和输出量都是时间t的函数式，其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。

如果系统的物理参数不随时间的变化，则成为定常系统，系统的物理参数不随空间位置变化的系统称为集总参数系统。

微分方程是自动控制系统数学模型最基本的形式。

传递函数、动态结构图都可由它演化而来。

用解析法列写微分方程的一般步骤如下。

1、根据控制系统或元件的工作原理（物理、化学和力学等），确定系统的各元件的输入输出变量。

2、从输入端开始照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的各种规律（物理、化学和力学等），按技术要求忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分方程，一般为微分方程组。

3、消去中间变量，求得描述输入量和输出量的微分方程。

4、标准化。

将与输入变量有关的各项放在等号的左侧，并按照降幂排列。

最后将系数化简整合为具有一定物理意义的形式。

由此可见，列写微分方程的关键是要了解元件或系统所属学科的有关规律，而不是数学本身。

当建立了相应系统的微分方程等数学模型后，该问题就回归到自动控制系统研究的范畴。

（三）动态过程与动态性能

动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入信号作用下，其输出量从初始状态到最终状态的响应过程。

通常，在单位阶跃信号作用下，稳定系统的动态过程随时间t变化的指标称为动态性能指标。

控制系统的动态性能指标一般有以下几个：

1、上升时间

系统响应从零首次上升到稳态值h（∞）所需的时间定义为上升时间。

2、延时时间

从输入信号开始施加时起，系统输出时间响应第一次达到稳态值50%所需要的时间定义为延时时间。

3、峰值时间

系统响应超过其终值达到第一个峰值所需要的时间定义为峰值时间。

它反映了系统对输入信号反应的快速性，值越小，系统对输入信号反映越快。

4、调整时间

响应达到并保持在终值±2%或±5%误差内所需要的最短时间定义为调节时间。

在默认情况下MATLAB计算动态性能时，取误差范围为±2%。

它反应了动态过程进行得快慢，是系统快速性指标，值越小，系统的快速性就越好。

5、超调量

%

响应的最大偏差量h（t

）与终值h（∞）的差与终值h（∞）之比的百分数，定义为超调量，即:

（4-1）

它反应了动态过程的平稳性，值越小，平稳性越好。

（四）稳态过程与稳态性能

稳态过程又称为稳态响应，指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现方式。

它表现系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息。

稳态误差是控制系统控制准确度的一种量度，也称为稳态性能，若时间趋于无穷大时系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。

对于下图所示的控制系统，输入信号

至误差信号

之间的误差传递函数为

（4-2）

则系统的误差信号为

（4-3）

当

的极点均位于

左半平面时，应用拉普拉斯变换的终值定理可求出系统的稳态误差为

（4-4）

（五）控制系统的稳定性

稳定性是控制系统的重要性能，也是系统能正常运行的首要条件。

系统原处于某一平衡状态，若它受到瞬间的某一扰动作用而偏离原来的平衡状态，当扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。

反之，系统为不稳定的。

线性系统的稳定性只取决于系统本身，与外界无关。

若系统是连续时间控制系统，其闭环传递函数的极点均严格位于s左半平面，则此系统是稳定系统。

若系统是离散时间控制系统，其闭环特征根位于z平面上的单位圆周内部，即其闭环特征根的模小于1。

（六）增加零点后的开环传递函数G1（s）的性能分析

为了分析开环传递函数的零点对系统性能的影响，现在在原开环传递函数的表达式上单独增加一个零点S=-a,并改变a值大小，即离虚轴的距离，分析比较系统性能的变化。

增加零点S=-a后系统开环传递函数表达式：

1、绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线

取a=1,绘制根轨迹的MATLAB命令：

n=[1,1];

d=[1,1,1];

rlocus（n,d）

得到如下图所示。

a=1时G1（s）的根轨迹

由根轨迹分析系统稳态性能：

根轨迹都在S的左半平面，只是在原来的基础上多了一个零点，系统仍然是稳定的。

取a=1,绘制奈奎斯特曲线的MATLAB命令：

G=tf（[1,1],conv（[1],[1,1,1]））;

nyquist（G）

得到如下图所示。

a=1时G1（s）的奈奎斯特曲线

由奈氏图分析系统的稳态性能：

系统有0个开环极点在S右半平面，当w从负无穷变化到正无穷时，奈氏曲线包围（-1，j0）0圈，即P=0，N=0，因此Z=P+N=0，分析结果与原系统一致。

（七）增加极点时对系统的影响分析

1、开环传递函数为G2（s）时系统的根轨迹和奈奎斯特曲线

开环传递函数

的根轨迹为广义轨迹，系统闭环特征方程为

，

恒等变换为

可以看出，如果绘制一个开环传递函数

的系统根轨迹，实际上就是原系统的根轨迹。

取p=1时，绘制G2（s）根轨迹的MATLAB命令：

n=[1,1,1,0];

d=[1,1,2];

rlocus（n,d）;

键入Enter键，可得下图。

p=1时G2（s）的阶跃响应曲线

取p=1时，绘制奈奎斯特曲的MATLAB命令：

G=tf（[1,1,1,0],[1,1,2]）；

nyquist（G）

运行得到如下图所示。

p=1时G2（s）的根轨迹

（六）时域分析法的MATLAB实现

1、线性系统的MATLAB表示：

控制系统传递函数模型为

在MATLAB中分子/分母多项式通过其系数行向量表示，即：

num=[

...

]

Den=[

...

]

此时，系统的传递函数模型用tf函数生成句法为：

Sys=tf（num,den）

其中，sys为系统传递函数

如：

num=[1502];den=[23158];

则sys=tf（num,den）输出为：

Transferfunction:

2、simulink仿真

Simulink是MATLAB最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。

在该环境中，无需大量书写程序，而只需要通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。

Simulink具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活等优点，并基于以上优点Simulink已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计。

同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于Simulink。

Simulink是MATLAB中的一种可视化仿真工具，是一种基于MATLAB的框图设计环境，是实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包，被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真中。

Simulink可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。

为了创建动态系统模型，Simulink提供了一个建立模型方块图的图形用户接口（GUI），这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一种更快捷、直接明了的方式，而且用户可以立即看到系统的仿真结果。

　　Simulink是用于动态系统和嵌入式系统的多领域仿真和基于模型的设计工具。

对各种时变系统，包括通讯、控制、信号处理、视频处理和图像处理系统，Simulink提供了交互式图形化环境和可定制模块库来对其进行设计、仿真、执行和测试。

.

在本次设计实验中，运用simulink建模进行仿真。

三、程序设计

单位反馈开环零极点增益模型为：

，

试绘制该系统单位斜坡响应曲线，并计算单位斜坡响应的稳态误差。

解：

1）判稳：

（用roots（）函数）

k=6;z=-0.5;p=[-210];

[n1,d1]=ZP2TF（z,p,k）;

s=tf（n1,d1）;

sys=feedback（s,1）;

roots（sys.den{1}）

仿真结果：

ans=

-0.1084+1.9541i

-0.1084-1.9541i

-0.7832

所有根均有负实部，故闭环系统稳定。

2）求单位阶跃响应曲线及稳态误差：

k=6;

z=-0.5;

p=[-210];

[n1,d1]=zp2tf（z,p,k）;

s=tf（n1,d1）;

sys=feedback（s,1）;

t=[0:

0.1:

30]';

y=step（sys,t）;

subplot（121）,plot（t,y）,grid

es=1-y;

subplot（122）,plot（t,es）,grid

仿真结果：

单

单位阶跃响应曲线及其误差响应曲线

3）求单位斜坡响应曲线及稳态误差：

k=6;

z=-0.5;

p=[-210];

[n1,d1]=zp2tf（z,p,k）;

s=tf（n1,d1）;

sys=feedback（s,1）;

t=[0:

0.1:

50]';

num=sys.num{1};

den=[sys.den{1},0];

sys=tf（num,den）;

y=step（sys,t）;

subplot（121）,plot（t,[ty]）,grid

es=t-y;

subplot（122）,plot（t,es）,grid

ess=es（length（es））

ess=-0.6678

仿真结果：

单位斜坡响应曲线及其误差响应曲线

4）运用simulink建模仿真结果

开环无反馈

5）零极点图如下图所示

num=[63];

den=conv（conv（[10],[12]）,[1-1]）;

G=tf（num,den）;

pzmap（G）;

gridon

零极点图

的极点落在虚轴的右半平面，

的点极点落在虚轴上，

的极点落在虚轴的左半平面。

的零点落在虚轴上。

根据系统稳定性判断，先震荡然后逐渐趋于稳定。

5）增加不同零点分析

num=[6156];

den=conv（conv（[10],[12]）,[1-1]）;

G=tf（num,den）;

pzmap（G）;

gridon

6）增加极点分析

num=[63];

den=conv（conv（[10],[12]）,conv（[1-1],[13]））;

G=tf（num,den）;

pzmap（G）;

gridon

四、结束语

对自动控制系统进行分析，时域分析法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型，以拉氏变换为数学工具，可以直接求出系统的响应。

这种方法虽然直观，分析控制系统的动态性能十分有用。

频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法，而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。

此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时，分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。

时域分析法和频域分析法是经典控制理论的基础，但经典控制理论存在一定的局限性，即不宜用来解决多输入多输出系统，特别是对非线性、时变系统更无能为力，通过现代控制理论里的状态空间分析理论，可以分析系统的可控性和可观性，还可以进行极点配置，在很大的程度上可以改变系统品质特性。

所以进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、合适的方法，从而使用相应的分析方法，达到预期的实验目的。

通过本次实验设计，我学会了用MATLAB软件自动控制系统时域分析方法，更认识到了在理论基础上的不足。

非常感谢在本次设计实验中给我技术指导的老师及同学。

在设计中我发现问题，然后与同学讨论解决问题，并在其中发现设计实践其中的愉悦。

五、参考文献

1、摆玉龙.《自动控制原理（双语教材）》.清华大学出版社.2013

2、郑阿奇.《MATLAB实用教程》.电子工业出版社.2012