北师大版高中数学必修第二章《解析几何初步》全部教案.docx

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北师大版高中数学必修第二章《解析几何初步》全部教案

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北师大版高中数学必修2第二章《解析几何初步》全部教案

法门高中姚连省

§2、1直线与直线的方程

第一课时直线的倾斜角和斜率

一、教学目标:

1、知识与技能：

（1）、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

（2）、理解直线的倾斜角的唯一性.（3）、理解直线的斜率的存在性.（4）、斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

2、情感态度与价值观：

（1）通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

二、重点与难点:

直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

三、教学用具：

计算机

教学方法：

启发、引导、讨论.

四、教学过程

（一）、直线的倾斜角的概念

我们知道,经过两点有且只有（确定）一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?

如图,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

（1）它们都经过点P.

（2）它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?

引入直线的倾斜角的概念:

当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.

问:

倾斜角α的取值范围是什么?

0°≤α＜180°.

当直线l与x轴垂直时,α=90°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

如图,直线a∥b∥c,那么它们

的倾斜角α相等吗?

答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:

一个点P和一个倾斜角α.

（二）直线的斜率

一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.

由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

例如,α=45°时,k=tan45°=1;

α=135°时,k=tan135°=tan（180°－45°）=-tan45°=-1.

学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

（三）直线的斜率公式:

给定两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?

可用计算机作动画演示:

直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.（略）

斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°,直线与x轴垂直；

（2）k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;

（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

（4）当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.

（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

（四）例题:

例1已知A（3,2）,B（-4,1）,C（0,-1）,求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线,图略）

分析:

已知两点坐标,而且x1≠x2,由斜率公式代入即可求得k的值;

而当k=tanα<0时,倾斜角α是钝角;

而当k=tanα>0时,倾斜角α是锐角;

而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°.

略解:

直线AB的斜率k1=17>0,所以它的倾斜角α是锐角;

直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角α是钝角;

直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角α是锐角.

例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,l.

分析:

要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定;或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.

略解:

设直线a上的另外一点M的坐标为（x,y）,根据斜率公式有，1=（y－0）（x－0）

所以x=y，可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为（1,1）.此时过原点和点

M（1,1）,可作直线a.同理,可作直线b,c,l.（用计算机作动画演示画直线过程）

（五）练习:

P911.2.3.4.

（六）小结:

（1）直线的倾斜角和斜率的概念．

（2）直线的斜率公式.

（七）课后作业:

P94习题3.11.3.

五、教后反思：

第二课时两条直线的平行与垂直

一、教学目标

（一）知识教学：

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

（二）能力训练：

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力．

（三）学科渗透：

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

二、重难点

重点：

两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

难点：

启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

注意：

对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况,在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．

三、教学方法：

启发、引导、讨论.

四、教学过程

（一）先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．

讨论:

两条直线中有一条直线没有斜率,

（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；

（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

（二）两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直

设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是:

两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系?

首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形．如果L1∥L2（图1-29），那么它们的倾斜角相等：

α1=α2．（借助计算机,让学生通过度量,感知α1,α2的关系）

∴tgα1=tgα2．即　k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等:

即k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°≤α1＜180°，　0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．

结论:

两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意:

上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2;反之则不一定.

下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1（图1-30），甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2．

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

，

可以推出　:

α1=90°+α2．L1⊥L2．

结论:

两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意:

结论成立的条件.即如果k1·k2=-1,那么一定有L1⊥L2;反之则不一定.

（借助计算机,让学生通过度量,感知k1,k2的关系,并使L1（或L2）转动起来,但仍保持L1⊥L2,观察k1,k2的关系,得到猜想,再加以验证.转动时,可使α1为锐角,钝角等）.

（三）、例题：

例1　已知A（2,3）,B（-4,0）,P（-3,1）,Q（-1,2）,试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.

分析:

借助计算机作图,通过观察猜想:

BA∥PQ,再通过计算加以验证.（图略）

解:

直线BA的斜率k1=（3-0）（2-（-4））=0.5,直线PQ的斜率k2=（2-1）（-1-（-3））=0.5,

因为k1=k2=0.5,所以直线BA∥PQ.

例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0,0）,B（2,-1）,C（4,2）,D（2,3）,试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.（借助计算机作图,通过观察猜想:

四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证）解同上.

例3已知A（-6,0）,B（3,6）,P（0,3）,Q（-2,6）,试判断直线AB与PQ的位置关系.

解:

直线AB的斜率k1=（6-0）（3-（-6））=23,直线PQ的斜率k2=（6-3）（-2-0）=-32,因为k1·k2=-1所以AB⊥PQ.

例4　已知A（5,-1）,B（1,1）,C（2,3）,试判断三角形ABC的形状.

分析:

借助计算机作图,通过观察猜想:

三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC,再通过计算加以验证.（图略）

（四）、课堂练习：

P94练习1.2.

（五）、课后小结：

（1）两条直线平行或垂直的真实等价条件；

（2）应用条件,判定两条直线平行或垂直.（3）应用直线平行的条件,判定三点共线.

（六）、布置作业：

P94习题3.15.8.

五、教后反思：

第三课时直线的点斜式方程

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；

（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。

2、过程与方法：

在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

3、情态与价值观：

通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

（1）重点：

直线的点斜式方程和斜截式方程。

（2）难点：

直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

三、教学方法：

启发、引导、讨论.

四、教学过程

问题

设计意图

师生活动

1、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？

使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。

学生回顾，并回答。

然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标满足的关系式。

2、直线经过点，且斜率为。

设点是直线上的任意一点，请建立与之间的关系。

培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。

学生根据斜率公式，可以得到，当时，，即

（1）

教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程。

3、

（1）过点，斜率是的直线上的点，其坐标都满足方程

（1）吗？

使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。

学生验证，教师引导。

问题

设计意图

师生活动

（2）坐标满足方程

（1）的点都在经过，斜率为的直线上吗？

使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。

学生验证，教师引导。

然后教师指出方程

（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.

4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？

使学生理解直线的点斜式方程的适用范围。

学生分组互相讨论，然后说明理由。

5、

（1）轴所在直线的方程是什么？

轴所在直线的方程是什么？

（2）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？

（3）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？

进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式。

教师学生引导通过画图分析，求得问题的解决。

6、例1的教学。

学会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：

（1）一个定点；

（2）有斜率。

同时掌握已知直线方程画直线的方法。

教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件？

题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求。

在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画。

7、已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程。

引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形。

学生独立求出直线的方程：

（2）

再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程

（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵。

8、观察方程，它的形式具有什么特点？

深入理解和掌握斜截式方程的特点？

学生讨论，教师及时给予评价。

问题

设计意图

师生活动

9、直线在轴上的截距是什么？

使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别。

学生思考回答，教师评价。

10、你如何从直线方程的角度认识一次函数？

一次函数中和的几何意义是什么？

你能说出一次函数

图象的特点吗？

体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.

学生思考、讨论，教师评价、归纳概括。

11、例2的教学。

掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中的几何意义。

教师引导学生分析：

用斜率判断两条直线平行、垂直结论。

思考

（1）时，有何关系？

（2）时，有何关系？

在此由学生得出结论：

且；

12、课堂练习第100页练习第1，2，3，4题。

巩固本节课所学过的知识。

学生独立完成，教师检查反馈。

13、小结

使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。

教师引导学生概括：

（1）本节课我们学过那些知识点；

（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？

（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？

14、布置作业：

第106页第1题的

（1）、

（2）、（3）和第3、5题

巩固深化

学生课后独立完成。

四、教后反思：

第四课时直线的两点式方程

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；

（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法：

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观：

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点

1、重点：

直线方程两点式。

2、难点：

两点式推导过程的理解。

三、教学方法：

启发、引导、讨论.

四、教学过程

问题

设计意图

师生活动

1、利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线经过两点,求直线的方程.

（2）已知两点其中，求通过这两点的直线方程。

遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。

使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。

教师引导学生：

根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？

能不能把问题转化为已经解决的问题呢？

在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：

（1）

（2）

教师指出：

当时，方程可以写成

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-pointform）.

2、若点中有，或，此时这两点的直线方程是什么？

使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。

教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：

；当时，直线与轴垂直，直线方程为：

。

问题

设计意图

师生活动

3、例3教学

已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中，求直线的方程。

使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。

教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？

可以用多少方法来求直线的方程？

那种方法更为简捷？

然后由求出直线方程：

教师指出：

的几何意义和截距式方程的概念。

4、例4教学

已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。

教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。

在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

5、课堂练习

第102页第1、2、3题。

学生独立完成，教师检查、反馈。

6、小结

增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。

教师提出：

（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？

它们之间有什么关系？

（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

7、布置作业

巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。

学生课后完成

四、教后反思：

第五课时直线的一般式方程

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）明确直线方程一般式的形式特征；

（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2、过程与方法：

学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3、情态与价值观：

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点

1、重点：

直线方程的一般式。

2、难点：

对直线方程一般式的理解与应用。

三、教学方法：

探析交流法

四、教学过程

问题

设计意图

师生活动

1、

（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？

（2）每一个关于的二元一次方程（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？

使学生理解直线和二元一次方程的关系。

教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题

（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。

对于问题

（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。

为此要对B分类讨论，即当时和当B=0时两种情形进行变形。

然后由学生去变形判断，得出结论：

关于的二元一次方程，它都表示一条直线。

教师概括指出：

由于任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线。

我们把关于关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（generalform）.

2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？

使学生理解直线方程的一般式的与其他形

学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：

问题

设计意图

师生活动

式的不同点。

直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与轴垂直的直线。

3、在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线

（1）平行于轴；

（2）平行于轴；（3）与轴重合；（4）与重合。

使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响。

教师引导学生回顾前面所学过的与轴平行和重合、与轴平行和重合的直线方程的形式。

然后由学生自主探索得到问题的答案。

4、例5的教学

已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程。

使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点。

学生独立完成。

然后教师检查、评价、反馈。

指出：

对于直线方程的一般式，一般作如下约定：

一般按含项、含项、常数项顺序排列；项的系数为正；，的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成一般式。

5、例6的教学

把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形。

使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法。

先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书。

然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：

把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在轴上的截距。

求直线与轴的截距，即求直线与轴交点的横坐标，为此可在方程中令=0，解出值，即为与直线与轴的截距。

在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点。

6、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？

直线与二元一次方程的解之间有什么关系？

使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系，体会直解坐标系把直线与方程联系起来。

学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解。

7、课堂练习

第105练习第2题和第3

（2）

巩固所学知识和方法。

学生独立完成，教师检查、评价。

问题

设计意图

师生活动

8、小结

使学生对直线方程的理解有一个整体的认识。

（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。

（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。

（3）求直线方程应具有多少个条件？

（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？

9、布置作业

第106页习题3.2第10题和第11题。

巩固课堂上所学的知识和方法。

学生课后独立思考完成。

四、教后反思：

第六课时两直线的交点坐标

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）直线和直线的交；

（2）二元一次方程组的解。

2、过程和方法：

（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。

（2）掌握数形结合的学习法。

（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。

3、情态和价值：

（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。

（2）能够用辩证的观点看问题。

二、教学重点，难点

重点：

判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：

两直线相交与二元一次方程的关系。

三、教学方法：

启发引导式：

在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。

引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。

由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

教具：

用POWERPOINT课件的辅助式教学

四、教学过程

（一）、情境设置，导入新课

用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。

课堂设问一：

由直线方程的概念，我