地板砖的铺设数学建模.docx
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地板砖的铺设数学建模
地板砖的铺设
在问题1中，由于整个建筑的平面图较复杂，我们把整个图进行分割简化为14个矩形区域。
首先我们采用高斯函数求未被切割的地板砖的块数，利用自定义的向上取整公式得到所需总的地板砖的块数，然后根据0－1规划算出被切割的长度，加上安装工人的费用则得到总费用的表达式；
在问题2中，首先我们利用问题1中的向上取整算出各种规格的地板砖所需要的总块数分别是800*800需要260块，600*600需要421块，600*300需要804块，400*400需要934块，300*300需要1509块，然后再用计算所需每种规格地板砖的总面积与被铺设的区域的总面积得的利用率分别是800*800利用率0.78，600*600利用率0.85，600*300利用率0,89，400*400利用率0.87，300*300利用率0.95。
在用0－1规划算和高斯函数计算出各个规格地板砖的切割总长度，再分别乘于切割单价，由于铺设的面积大小相同所以安装费用相同，因此我们暂时不考虑，只计算各个规格地板砖的切割费与购买费用之和分别是800*800费用是47207元，600*600费用是55131元，600*300费用是64714.5元，400*400费用是67648.25元，300*300费用是68300元，经过比较可以知道800*800规格的费用最低
在问题3中，在问题3中，先考虑使用整块铺设，且整块铺设优先选用边长的，我们只考虑四种变长情况，即800*800，600*600，400*400和300*300最后不能被整块铺设的地方用300*300铺设，因为剩下的面积往往很小（且靠矩形总面积的边界），用大砖切割不经济。
最后每个区域300*300的块数>=2时，我们同样把2块300*300换成1块300*600的。
在这个问题的考虑中我们使用了多元目标的线性规划，在考虑区域的边长被组合铺设后是否有剩余，采用了0—1规划。
利用了C语音编程求解
在问题4中，则是对模型改进的建议，我们认为要考虑墙体的厚度及余料的利用，这样我们就能更节省
问题概述
假定工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1所示的5种类型的地板砖。
根据需要铺设的房屋地面结构用地板砖进行铺设。
假设每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费跟切割长度成正比。
⒈综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，并建立计算地板砖铺设总成本的模型。
假如只使用一种尺寸的地板砖进行铺设，设计一种算法进行地板砖的自动铺设，⒉同时计算出铺设地板砖的块数、利用率和总费用，综合比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。
⒊若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，设计一种算法是的实现地板砖的自动铺设，并且计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。
⒋根据以上3问得出的模型、算法及计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。
问题分析
由于本题中，用地板砖对房屋的铺设需要考虑的因素有：
购买地板砖的费用，安装工人的工资，切割工人的工资，美观程度地板砖的规格参数以及切割方式的限制，我们对题目的分析如下：
1对于问题一的分析
首先要得出在铺设地板砖中未被切割的块数以及总需要的块数（已把损耗考虑进去），则被切割的地板砖的块数就是两者之差，然后算出美观的程度，利用总数得出所需要的地板砖的总成本，再加上安装工人的安装费，所有之和就是总费用
2对于问题2的分析
利用每种规格的地板砖自分别计算出所需的总的地板砖的块数（已把损耗考虑进去）和不需要被切割的地板砖的块数，用铺设的面积除于所购瓷砖的总面积则计算出利用率
3对于第3问的分析
用多种地板砖进行铺设，要考虑其规格对矩形区域的限制，因此可以进行多目标线性规划，对各种规格的地板砖进行逐一考虑，在计算美观度，利用率，总费用与第二问中的数据进行对比，体现多种地板砖进行混铺时的优缺点。
4对于问题4的分析
由于以上的问题没有将余料的考虑进行利用，则需要进行余料重新利用的考虑
问题假设
1假设在铺设地板砖的过程中，进过切割后的剩余的的余料不再利用。
2假设在进行对铺设的区域的面积时，忽略墙体的厚度。
3假设地板砖在切割的过程中，不会产生损耗。
符号说明
铺设第
个矩形地板砖的安装费用
第
种地板砖的长
第
种地板砖的破损概率。
第
种地板砖的宽
切割单位长度的地板砖所需费用
地板砖类型（i=1,2,3,4,5）
被铺设的矩形区域（编号为k=1,2,3。
。
。
14）
铺设第
个矩形所需的第
种地板砖的块数。
铺设第
个矩形购买地板砖的费用
第
个矩形的长
第
块区域切割长度
被切割的块数
所需
型地板砖的数量
第
种地板砖的单价
铺设第
个矩形地板砖的切割费用。
户型面积
所需地板砖的面积
第
块区域的面积
第
个矩形的宽
房屋地板砖铺设总花费
铺设第
个矩形地板砖所需总费用。
单位面积的安装费用Z
利用率
美观度
模型的建立与求解
问题1
首先由于铺设的平面比较复杂，我们把平面分为如图1.1所示，
图1.1
建立模型一
房屋地板砖铺设总花费计算公式为：
（1）
其中铺设第个矩形区域地板砖所需总费用计算公式：
（2）
则铺设第个矩形购买地板砖的费用计算公式：
（3）
定义
为向上取整公式，即不小于的最小整数
（4）
其中不需要被切割的地板砖的块数：
（5）
铺设第个矩形地板砖的安装费用计算公式：
（6）
铺设第个矩形地板砖的切割费用计算公式
：
（7）
而对于切割费用的的计算，运用0－1规划，令
（8）
（9）
则切割长度的数学表达为：
（10）
美观度计算公式
（11）
问题2
模型二
对于用同一种尺寸的地板砖进行铺设，先利用模型一中的以下公式：
（12）
可求的所需的第种地板砖的总块数则利用率的可表示为:
（13）
总费用可表示为
（14）
经过计算的到的数据如图2.1所示
地板砖的规格
所需块数（块）
地板砖购买费用
切割费用（元）
总费用
利用率
800*800
260
46800
407
47207
0.777284
600*600
421
54730
401
55131
0.853391
600*300
804
64320
396.5
64716.5
0.893726
400*400
934
67248
400.25
67648.25
0.865498
300*300
1509
67905
395
68300
0.95236
图2.1
问题3
准别条件：
优先使用整块铺设，且整块铺设优先选用边长的，五中砖的规格中，4种是正方形，剩下的300*600，可以切分为2块300*300，在考虑问题的时候，因为任何一种长宽不同矩形都会有两种铺法，而对与正方形来就没有这种考虑
我们只考虑四种变长情况，即800*800，600*600，400*400和300*300，而当整块300*300的块数出现>=2时，我们把两块300*300的合并成一块300*600，根据单位面积的价格，大砖更加经济。
最后不能被整块铺设的地方用300*300铺设，因为剩下的面积往往很小（且靠矩形总面积的边界），用大砖切割不经济。
当计算所用300*300的块数>=2时，我们同样把2块300*300换成1块300*600的。
首先，根据尽量铺大块的砖，（且在考虑中只有涉及4种规格的正方形砖），从矩形的长和宽分别进行考虑。
长（length）的考虑使得四种规格组合的边长相加最大程度达到到区域边长，且限制条件1：
边长越长的砖块越优先。
限制条件2区域总变长-组合边长<300,同理从宽（width）的角度使得四种规格组合的边长相加最大程度达到到区域宽长，限制条件1：
边长越长的砖块越优先。
限制条件2区域宽长-组合宽长<300。
数学公式区域长的角度设需要边长800的数量i1,边长是600的数量为i2，边长为400的数量为i3,边长为300的数量是i4区域宽的角度设需要边长800的数量j1,边长是600的数量为j2，边长为400的数量为j3,边长为300的数量是j4
数学模型3
根据题目的要求，我们得到以下的限制条件:
Length-（800*i1+600*i2+400*i3+300i4）<300（15）
Width-（800*i1+600*i2+400*i3+300i4）<300（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
运用程序求解代码得到最佳组合数据如下
区域号码
i
j
1
{2,0,1,0}
{0,0,1,0}
2
{2,0,1,0}
{1,0,0,0}
3
{2,0,1,0}
{1,0,0,0}
4
{4,0,0,0}
{1,0,0,1}
5
{3,0,0,0}
{1,0,1,0}
6
{2,0,1,0}
{1,1,0,0}
7
{5,0,1,0}
{4,0,0,0}
8
{4,0,0,0}
{2,1,0,0}
9
{4,0,0,1}
{4,0,0,0}
10
{4,1,0,0}
{3,0,0,0}
11
{2,0,1,0}
{3,0,0,0}
12
{3,0,0,0}
{3,0,0,0}
13
{6,1,0,0}
{3,1,0,0}
14
{12,0,0,0}
{5,0,1,0}
砖块计算公式
某个区域需要的砖块数量
（23）
（24）
（25）
（26）
进过C语言计算得到每个区域的各种规格的地板砖的最佳结果，如下表所示
区域号码
800的整块数
600的整块数
400的整块数
300的整块数
1
0
0
5
0
2
2
0
2
0
3
2
0
2
0
4
4
0
0
11
5
3
0
6
0
6
2
3
3
0
7
20
0
8
0
8
8
5
0
0
9
16
0
0
11
10
12
4
0
0
11
6
0
6
0
12
9
0
0
0
13
18
13
0
0
14
60
0
24
0
再考虑剩下剩下来的面积用300*300的铺设。
我们考虑到如果区域的长被组合完全铺满，那么最后不能被整块铺余下的面积，会是不到300mm的宽乘以区域的长，最后铺设的要切割的300*300的块数，就是区域的长除以300mm向上取整。
按照这个思路。
我们可以建立模型
（27）
（28）
最后补的300*300的块数为
将所有300mm*300mm换成300mm*600mm
最终用混合铺设的砖块数分别为如下表所示
区域号码
800*600
600*600
400*400
600*300
300*300
1
0
0
5
5
0
2
2
0
2
6
0
3
2
0
2
2
0
4
4
0
0
7
1
5
3
0
6
1
0
6
2
3
3
6
1
7
20
0
8
13
1
8
8
5
0
9
1
9
16
0
0
11
1
10
12
4
0
7
0
11
6
0
6
4
0
12
9
0
0
0
1
13
18
13
0
0
1
14
60
0
24
8
0
最终我们得到混合铺法所需要的各尺寸地板砖的块数及总费用和利用率，见下表所示
地板砖的规格
所需块数（块）
地板砖购买费用
切割费用（元）
总费用
利用率
800*800
184
33120
407
46458
0.870332
600*600
27
3510
600*300
92
7360
400*400
28
2016
300*300
1
45
问题4
模型的评价与改进
模型的优点：
1.结合数学期望的概念对地砖切割单后单价做了合适的处理，使得求解方便准确，与实际的结合性强。
2.模型求解中运用了摊还算法的思想，
3.在混合地板铺设的求解中运用了穷举算法，在求解小规模问题时，算法简单，可靠性高。
模型的缺点：
1.采取线性整数规划求解问题时,模型较为理想化，现实存在的一些问题不能充分考虑。
⒉对于一些结构复杂及形状不规则的户型，区域划分较为困难，应用此模型求解时较复杂。
3.未考虑实际情况下多种类型地板砖混合铺设对美观效果的影响。
参考文献
[1]薛定宇陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解（第二版），北京：
清华大学出版社，2008年。
[2]同济大学数学系，工程数学-线性代数（第五版），北京：
高等教育出版社，2007年
[3]邓君智，关于高斯函数在建筑学中的一个应用——方地砖最少块数估计，数学的实践与认识，第34卷第2期：
P111-P114，2004年。
[4]俱鹏岳，铺设矩形地面所需矩形地砖的最优估计，西北师范大学学报（自然科学版），第45卷2009年第2期：
P17-P20，2009年。
[5]张伟，地板砖铺设问题2013年8月25日。
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