人教版七年级数学下册 第五章相交线与平行线 能力提升.docx

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人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线能力提升

七年级数学下册相交线与平行线

（1）如图1，a∥b，则∠1+∠2=

（2）如图2，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3=，并说明理由;

（3）如图3，a∥b，则∠1+∠2+∠3+∠4=

（4）如图4，a∥b，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（直接写出你的结论，无需说明理由）

探究：

如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和点D，直线l3有一点P

（1）若点P在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生，并说明理由．

（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

并说明理由．

（1）已知：

如图1，直线AC∥BD，求证：

∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）如图2，如果点P在AC与BD之内，线段AB的左侧，其它条件不变，那么会有什么结果？

并加以证明；

（3）如图3，如果点P在AC与BD之外，其他条件不变，你发现的结果是_______（只写结果，不要证明）．

如图,已知AB∥CD,C在D的右侧,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在直线交于点E,∠ADC=70°．

（1）求∠EDC的度数；

（2）若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；

（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由．

如图

（1），E是直线AB，CD内部一点，AB//CD,连接EA,ED.

（1）探究猜想:

①若∠A=300,∠D=400，则∠AED等于多少度?

②若∠A=200，∠D=600,则∠AED等于多少度?

③猜想图

（1）中∠AED,∠EAB,∠EDC的关系，并证明你的结论.

（2）拓展应用:

如图

（2）,射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③④位于直线AB上方），P是位于以上四个区域中的点，猜想：

∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）.

如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC=70°．

（1）求∠EDC的度数；

（2）若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；

（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由．

已知AB∥CD.

如图1,你能得出∠A＋∠E＋∠C=360°吗？

如图2,猜想出∠A、∠C、∠E的关系式并说明理由.

如图3,∠A、∠C、∠E的关系式又是什么?

如图，已知AM∥BN，∠A=60°.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D.

（1）求∠CBD的度数；

（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？

若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律.

（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是　　　　.

如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF.

（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；

（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？

若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？

若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由.

已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B.

（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　  　；

（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：

∠ABD=∠C；

（3）如图3，在

（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数.

已知BC∥OA,∠B=∠A=100°.试回答下列问题：

（1）如图1所示,求证：

OB∥AC；

（2）如图2,若点E、F在BC上,且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF.试求∠EOC的度数；

（3）在

（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么∠OCB：

∠OFB的值是否随之发生变化？

若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值。

如图1,在平面直角坐标系中,A（a,0）是x轴正半轴上一点,C是第四象限一点,CB⊥y轴,交y轴负半轴于B（0,b）,且（a-3）2+|b+4|=0,S四边形AOBC=16．

（1）求C点坐标；

（2）如图2,设D为线段OB上一动点,当AD⊥AC时,∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P,求∠APD的度数．

（3）如图3,当D点在线段OB上运动时,作DM⊥AD交BC于M点,∠BMD、∠DAO的平分线交于N点,则D点在运动过程中,∠N的大小是否变化？

若不变,求出其值,若变化,说明理由．

课题学习：

平行线的“等角转化”功能．阅读理解：

如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．

（1）阅读并补充下面推理过程．

解：

过点A作ED∥BC，所以∠B=，∠C=．

又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°．

所以∠B+∠BAC+∠C=180°．

解题反思：

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

方法运用：

（2）如图2,已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．

深化拓展：

（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．

请从下面的A，B两题中任选一题解答，我选择题．

A．如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=60°，则∠BED的度数为°．

B．如图4,点B在点A的右侧,且AB＜CD，AD＜BC.若∠ABC=n°，则∠BED度数为°．（用含n的代数式表示）

参考答案

解：

（1）∵a∥b，∴∠1+∠2=180°；

（2）过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，

∠CEF+∠2=180°，∴∠1+∠AEF+∠CEF+∠2=180°+180°，即∠1+∠2+∠3=360°；

（3）如图，过∠2、∠3的顶点作a的平行线，则∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°；

（4）如图，过∠2、∠3…的顶点作a的平行线，则∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n﹣1）•180°．

故答案为：

180°；360°；540°；（n﹣2）•180°．

解：

（1）如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：

过点P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，

∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）如图2，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．

理由如下：

∵l1∥l2，∴∠PED=∠PAC，∵∠PED=∠PBD+∠APB，∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

如图3，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．

理由如下：

∵l1∥l2，∴∠PEC=∠PBD，∵∠PEC=∠PAC+∠APB，∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

（1）证明：

如图1，过P作PM∥AC，

∵AC∥BD，

∴AC∥BD∥PM，

∴∠1=∠PAC，∠2=∠PBD，

∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）∠APB+∠PBD+∠PAC=360°，

证明：

如图2，

过P作PM∥AC，

∵AC∥BD，

∴AC∥BD∥PM，

∴∠1+∠PAC=180°，∠2+∠PBD=180°，

∴∠1+∠PAC+∠2+∠PBD=360°，

即∠APB+∠PBD+∠PAC=360°；

（3）∠APB=∠PBD﹣∠PAC，

证明：

过P作PM∥AC，如图3，

∵AC∥BD，

∴AC∥BD∥PM，

∴∠MPA=∠PAC，∠MPB=∠PBD，

∴∠APB=∠MPB﹣∠MPA=∠PBD﹣∠PAC，

故答案为：

∠APB=∠PBD﹣∠PAC．

解：

（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°，∴∠EDC=

∠ADC=

×70°=35°；

（2）过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°，

∴∠ABE=

∠ABC=

n°，∠CDE=

∠ADC=35°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=

n°+35°；

（3）过点E作EF∥AB

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°∴∠ABE=

∠ABC=

n°，∠CDE=

∠ADC=35°

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-

n°，∠CDE=∠DEF=35°，

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-

n°+35°=215°-

n°．

故∠BED的度数发生了改为，改变为（215－

n）°.

解：

图2中，∠A＋∠C＝∠E；图3中∠A＋∠E－∠C＝180°。

解：

（1）A+∠ABN=180°，（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠A=60°∴∠ABN=120° 

∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBP=

∠ABP,∠DBP=

∠NBP,∴∠CBD=

∠ABN=60°

（2）不变化，∠APB=2∠ADB

证明∴∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN（两直线平行，内错角相等）

∠ADB=∠DBN（两直线平行，内错角相等）

又∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN∴∠APB=2∠ADB

（3）∠ABC=30°；

解：

解：

略

解：

（1）∵（a﹣3）2+|b+4|=0，∴a﹣3=0，b+4=0，

∴a=3，b=﹣4，∴A（3，0），B（0，﹣4），∴OA=3，OB=4，

∵S四边形AOBC=16．∴0.5（OA+BC）×OB=16，∴0.5（3+BC）×4=16，∴BC=5，

∵C是第四象限一点，CB⊥y轴，∴C（5，﹣4）

（2）如图，

延长CA，∵AF是∠CAE的角平分线，∴∠CAF=0.5∠CAE，

∵∠CAE=∠OAG，∴∠CAF=0.5∠OAG，

∵AD⊥AC，∴∠DAO+∠OAG=∠PAD+∠PAG=90°，

∵∠AOD=90°，∴∠DAO+∠ADO=90°，∴∠ADO=∠OAG，∴∠CAF=0.5∠ADO，

∵DP是∠ODA的角平分线∴∠ADO=2∠ADP，∴∠CAF=∠ADP，

∵∠CAF=∠PAG，∴∠PAG=∠ADP，

∴∠APD=180°﹣（∠ADP+∠PAD）=180°﹣（∠PAG+∠PAD）=180°﹣90°=90°

即：

∠APD=90°

（3）不变，∠ANM=45°理由：

如图，

∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，

∵DM⊥AD，∴∠ADO+∠BDM=90°，∴∠DAO=∠BDM，

∵NA是∠OAD的平分线，∴∠DAN=0.5∠DAO=0.5∠BDM，

∵CB⊥y轴，∴∠BDM+∠BMD=90°，∴∠DAN=0.5（90°﹣∠BMD），

∵MN是∠BMD的角平分线，∴∠DMN=0.5∠BMD，

∴∠DAN+∠DMN=0.5（90°﹣∠BMD）+0.5∠BMD=45°

在△DAM中，∠ADM=90°，∴∠DAM+∠DMA=90°，

在△AMN中，

∠ANM=180°﹣（∠NAM+∠NMA）

=180°﹣（∠DAN+∠DAM+∠DMN+∠DMA）

=180°﹣[（∠DAN+DMN）+（∠DAM+∠DMA）]

=180°﹣（45°+90°）=45°，

∴D点在运动过程中，∠N的大小不变，求出其值为45°

【解答】解：

（1）∵ED∥BC，∴∠B=∠EAD，∠C=∠DAE，故答案为：

∠EAD，∠DAE；

（2）过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D=∠FCD，

∵CF∥AB，∴∠B=∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°，

（3）A、如图2，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，

∴∠ABE=

∠ABC=30°，∠CDE=

∠ADC=35°，

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°；故答案为：

65；

B、如图3，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°

∴∠ABE=

∠ABC=

n°，∠CDE=

∠ADC=35°

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°﹣∠ABE=180°﹣

n°，∠CDE=∠DEF=35°，

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°﹣

n°+35°=215°﹣

n°．故答案为：

215°﹣

n．