开发数学形象思维拓展全面创新能力.docx

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开发数学形象思维拓展全面创新能力

开发数学形象思维拓展全面创新能力

广东省河源市河源中学谢建明

内容摘要：

本文论述在高中数学教学中根据数学形象思维的特点——形象性、非逻辑性、粗略性、想象性等，利用数学教学中常用手段如何去开发数学形象思维和拓展学生的创新能力。

关键词：

形象思维创新能力形象性非逻辑性粗略性想象性线性形象思维模型隐蔽化思维空间计算机

培养创新能力，首先要具备创造性思维。

“创造性思维是创造过程中的思维活动，是抽象思维和形象思维两种思维新颖的灵活的有机结合。

”数学是构造现代科技大厦的基石，它在培养和提高思维能力发挥着特异的功效；他的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的高级纳米材料，对发展能力发挥着举足轻重的作用。

传统的数学教育重视抽象的逻辑推理演算，却忽视了灵活发散的形象思维，从而导致我国中小学生的数学文化精神严重“缺钙”。

古代希腊数学家说：

“从作图的直观上发现了数学的非演绎的无理的元素，这些元素是使得作图的直观可与音乐和艺术相媲美。

”这正是数学形象思维重要性的一个缩影。

因此，发展形象思维是培养创新能力的一个必要的突破口。

一、形象思维的含义

形象思维是人类运用事物存在的具体、感性的形象来认识和把握客观世界的思维方式。

对于形象思维，它最早由俄国文艺评论家别林斯基提出，那时常用于文艺领域。

我国科学家钱学森在20世纪80年代把它提高到思维形式的科学高度。

二、形象思维的基本特点

（一）形象性

形象性是形象思维最基本的特点。

形象思维所反映的对象是事物的形象，思维形式是意象、直感、想象等形象性的观念，其表达的工具和手段是能为感官所感知的图形、图象、图式和形象性的符号。

形象思维的形象性使它具有生动性、直观性和整体性的优点。

（二）非逻辑性

形象思维不像抽象（逻辑）思维那样，对信息的加工一步一步、首尾相接地、线性地进行，而是可以调用许多形象性材料，一下子合在一起形成新的形象，或由一个形象跳跃到另一个形象。

它对信息的加工过程不是系列加工，而是平行加工，是面性的或立体性的。

它可以使思维主体迅速从整体上把握住问题。

形象思维的结果有待于逻辑的证明或实践的检验。

例1：

向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果水量V与高h的函数关系如下左图所示，那么水瓶的形状是如下右图中的（）

【分析】本题是一道应用题，题中没有任何参数.条件用函数图象表示V和h间的函数关系，把只用图形表示瓶子的形状放在选择枝的位置，显然，这里不通过具体的计算来进行判断，需对所给图形认真观察分析，抓住其特点进行思考与判断.这就需要比较强的非逻辑性形象思维能力.

（三）粗略性

形象思维对问题的反映是粗线条的反映，对问题的把握是大体上的把握，对问题的分析是定性的或半定量的。

所以，形象思维通常用于问题的定性分析。

抽象思维可以给出精确的数量关系，所以，在实际的思维活动中，往往需要将抽象思维与形象思维巧妙结合，协同使用。

又如上例1也体现了形象思维的粗略性。

（四）想象性

想象是思维主体运用已有的形象形成新形象的过程。

形象思维并不满足于对已有形象的再现，它更致力于追求对已有形象的加工，而获得新形象产品的输出。

所以，形象性使形象思维具有创造性的优点。

这也说明了一个道理；富有创造力的人通常都具有极强的想象力。

例2．（2001年高考题第18题）

如图1，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，

，

，SA=AB=BC=1，AD=

.

（1）求四棱锥S—ABCD的体积；

（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值

【分析】本题第

（2）问关键是确定二面角的平面角.由于面SCD与面SBA二面角的棱未作出，先作出面SCD与面SBA的棱是首要任务。

由于面SCD、面SBA、面ABCD两两相交，因此面SCD与面SBA的交线必过面SCD、面SBA与面ABCD的交线AB与DC的交点，为此延长BA、CD相交于E，连结SE，则SE是所求二面角的棱。

（如图2）其次要求考生认真观察，分析题的条件，依靠想象得出

是所求二面角的平面角，然后再加以证明。

这样就会目标明确，化难为易，迅速解决此题.这里正体现了形象思维的想象性。

三、开发数学形象思维，拓展学生的创新能力

（一）题意明确化的线性形象思维

在高中数学的函数、二次曲线方程和立体几何的内容的习题中可以强化这类思维。

立体几何中常用的图形割补法、图形颠置法、点线转移法等，在函数和平面解析几何中常用的数形结合思想等，这些都是培养形象思维较好的方法。

例3：

过点M（1，1）作直线L交双曲线x2-

于A、B两点，是否存在直线L使线段AB的中点恰为M？

常规解题方法用设两点法和待定系数法求出直线L，然后代入曲线得出一元二次方程，再用判别式法考虑“△”的大小，从而判断是否存在，其过程比较繁。

如果从点位置去分析此题，就简便多了。

通过作图发现，我们可以得出这样一系列的推论。

①当点在双曲线内时，存在只交同一部分的直线。

此时该中点（x0,y0）满足x20-

>1.②当点位于渐近线与双曲线所围成的区域内，找不到这样的直线，此时0

<1.本例就是。

③当点位于两渐近线围成的区域内，存在交于两部分的直线L，此时x20-

<0.

上述例题是从问题的题设展开形象思维发散,从变化中抓住问题的本质,值得学习。

例4长方体一个顶点上三条棱的长分别为a,b,c（a,b,c两两不等），一条对角线为AB，长方体的表面上A，B两点间的最短路程为

则a、b、c的大小关系是___________。

　　【分析】：

长方体表面上A、B两点间的最短路程？

侧面展开图上的直线段长；展开？

怎样展开？

有几种不同的展开方式？

　　解：

在长方体表面上从A到B的最短路途，由于长方体的对称性，可从以下三种实现方式中比较获得：

（1）AB

=

（2）AB

=

　　（3）AB

=

　　由已知是短路程为第

（2）种情况下获得：

　　∴AB

>AB

且AB

>AB

　　而AB

与AB

则大小关系不定，

　　∴可知a,b,c的关系为：

2ac>2bc且2ab>2bc，2bc与2ab不定。

　　即a>b且a>c，b,c关系不定。

这里利用线性形象思维，通过点线转化，不但题目得到很好地解决，而且从中也培养了学生创造性思维。

（二）模型隐蔽化的转换思维空间的形象思维

这种形象思维需要同学们有敏锐的观察力和丰富的类比联想力，要求学生思考问题不要停止和束缚在一个层面上，要大胆地跳跃到另外一个思维空间上去解决问题。

这种思维在“转化思想”中得到淋漓尽致的发挥。

如构造函数，构造坐标，构造数列，构造等价命题，构造数学模型等等。

例5：

函数f（x）满足2f（a）f（b）=f（a+b）+f（a-b）且f（0）≠0,则f（x）为

A．奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.不能判断奇偶性

【分析】常规方法是：

令a=b=0，得f（0）=1,再令b=-a等步骤可得出函数f（x）为偶函数。

如果我们联想到三角函数和差化积的公式上，问题可蜕化成：

2cosαcosβ=cos（α+β）+cos（α-β）,显而易见cosx是偶函数。

例6．在一页纸上所印的文字要占Scm2,上下页边空白处要留acm宽，左右要留bcm宽，若注意节约纸张，则以如何尺寸的篇幅最为有利？

【分析】：

若设书页的高为xcm，宽为ycm，则书页的面积为S1=xycm2.因为（x-2a）（y-2b）=S,所以y=

因此S1=

通过把式子变形，在利用均值不等式就可以解决这个问题。

在生产实际中，如何节约原材料、降低成本等问题通过建立数学模型能得到很好的解决。

这正是培养学生形象思维的很好办法。

例7对于一切大于1的自然数n，

证明：

（1985年上海高考试题）

【分析】本题常规证法是利用数学归纳法。

但若采用构造数列的方法，这样将更简捷、新颖。

显然an>0，a2=

若对任意n≥2时，n∈N，都有an>1，则原命题得证，

证明：

注意到欲证不等式左、右皆正，故构造数列{an}，并令

　　 显然an>0，a2=

为此，考虑n≥2时，

　 ∴an+1>an>an-1>…>a2>1，故原命题成立.

这些都是利用到了模型隐蔽化的转化思维空间的形象思维。

类似的例子很多，在此就不一一指出。

上述告诉我们在数学教学中充分利用数学问题培养学生的跳跃性、发散性的思维。

这样，才能在头脑中迸发出灵感的火花。

（三）利用计算机突出形象思维训练

形象思维方法主要有联想和想象，具有直观性和跳跃性，利用多媒体辅助教学可以轻松表现它的特点。

CAI课件的直观表现力，展现逻辑思维过程，克服学生在归纳综合等抽象思维中的障碍，有利于学生形成清晰的图景，加深对规律的认识。

例如：

利用计算机的模拟功能可以模拟一些运动过程中出现的临界状态，从而给学生建立一幅清晰的图景，象学生难以理解的追击问题及相遇问题都可以清晰的显示出来。

就追击问题来说，学生对等量关系寻找易出现问题，可设置一动画过程：

AB两点间的路程，一人以速度a从A点出发走t时间，然后一人从A点以b速度同相而行，在一点两人重合，在这一过程中利用画面的色彩和各种功能键，可随时使画面静止下来，供学生观察分析，从而得出两人走过的路程相等而第一人比第二人多走了t时间。

利用MCAI使问题解决的过程形象化，同时又对比数量关系，使之概括抽象，让学生容易深刻理解类似象工程问题等其他问题也可以通过类似的线段图来解答。

总之，数学教学比一般学科的教学对于培养创造能力更为有利。

现代脑科学和思维科学的研究结果表明：

人的大脑两半球具有不同的思维功能，左半球主要从事符号、判断、推理等抽象思维，右半球则主要从事构图、识别、想象等形象思维。

形象思维善于提出解决问题的各种尝试，抽象思维则善于按一定的逻辑程序有条理地解决问题。

大脑两半球通过联结而相互作用，只有两半球功能的互补，才能使人的创造性智能得以充分发挥。

数学被人看做一门论证科学，然而这仅仅是它的一个方面。

在证明一个数学定理之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比，你得一次以一次地进行尝试，最后得出论证推理。

由此可见，数学既需要逻辑推理的抽象思维，又需要想象与猜测的形象思维，在数学教学和数学学习中，根据教材的特点，开发数学形象思维，自觉地习惯于抽象思维与形象思维的结合，使大脑两半球的相互配合与补充更为协调，创造能力无疑将会得到更大的提高。

参考文献

1.温寒江。

构建中小学创新教育体系。

2002.1.

2.R.柯朗.H罗宾斯.数学是什么.汪浩等译.

3.祁平.几何教育的功能哲学思考.数学通报.2001.5.

4.波利亚.《数学与猜想》（美国）.