中点问题.docx

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中点问题

中点问题

过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。

∵CF∥AD

∴∠BAC=∠ACF

∵AE=CE、∠AED=∠CEF、∠BAC=∠ACF

∴△ADE≌△CFE

∴AD=CF

∵D为AB中点

∴AD=BD

∵AD=CF、AD=BD

∴BD=CF

∵BD∥CF、BD=CF

∴BCFD是平行四边形

∴DF∥BC且DF=BC

∴在平行四边形ADCF中DE=BC/2

∴三角形的中位线定理成立

（五）已知平行，有一个中点，证另外一个也是中点

到了九年级，这个直接用相似就可以证，现在需要用别的方法。

已知：

△ABC中，M为AB的中点，过M作MN∥BC交AC与N

求证：

N为AC中点

△AMN≌△BPM

PBCN为平行四边形

反射就是：

当有一条线段经过中位线时，交点必平分此线段

【例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM，若AB＝5cm，BC＝8cm，DE＝4cm，则图中阴影部分的面积为_____cm2。

（6）中点四边形

①当给出一个四边形，连接各边中点所构成的四边形一定是一个平行四边形。

由中位线可以知道

证一组对边平行且相等

证法用相似三角形面积比等于相似比的平方

②这个平行四边形的形状只与外面大的四边形的对角有关，与其本身的形状无关。

如：

（1）若外面是一个任意四边形，其为平行四边形

（2）若外面是一个矩形（对角线相等），内部为菱形

（3）若外面是一个菱形（对角线垂直），内部为矩形

③中点四边形面积

（1）S中间的四边形=S四个三角形的和=

S临近的外面四边形

（2）若接着一个套一个

S中间=

（n-1）×S最外四边形（n为四边形的个数）

例题：

把这个四边形分成九块，种植三种不同品种的花草，其中E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,P,Q,R,K分别为EF,FG,GH,HE的中点，现要在四边形PQRK中种上红色的花，在△PFQ，△QGR,△RHK,△KEP中种上黄色的花，在△HAE，△EBF,△FCG,△GDH中种上紫色的花，已知红黄紫三种花的价格分别是8元/㎡，10元/㎡，12元/㎡，而种红花用去120元，请计算出种满这块四边形空地需要多少元？

（7）构造辅助线

当手足无措的时候，可以想一想构造辅助线。

不过也不要一见到中点就马上构造辅助线，一定要看看是否需要。

不用辅助线就能简单做的没必要简单问题复杂化。

出现两个中点，当把它们连接时，发现不是中位线时。

我们有两种思路（都很重要，有时一种做不出来另外一种可以）

①思路一（几乎用这个思路都有一组相等线段）

核心思想：

构造第三个中点，连接题目中所有中点，利用中位线定理解题。

步骤：

（1）看到这几个中点，找到这几个中点所在线段。

用铅笔把这几个线段描黑。

（2）构造有上述描黑线段的具有公共边的三角形：

连接某个线段，让此线段作为这个三角形的公共边，中点所在线段作为一条边，另外一条边应该由题目中给出的相等条件线段构成。

（3）题目中应该还给了一对边的关系，立刻把这条边也画上，所围成的三角形就出来了

（4）在公共边上再构造一个中点，与上面几个中点相连

（5）利用中位线定理，写出中位线与相等边的关系，这个时候一定别忘了还有平行，而不只有数量关系。

应用：

可以倒角，边，证明一个悬空线段的取值范围

②思路二（用的很少，当没有相等线段的时候用的很多）

核心思想：

构造出一个以连接的这个线段为中位线的三角形。

步骤：

（1）死死抓住一条有中点的线段，作为此三角形的一个边

（2）连接一点和另外一条线段的中点，并且延长，构成一个类倍长中线

（3）用那条辅助线构成的三角形，证全等，得到一些线段，角度相等。

应用：

求关系，三角形的三边

注：

1.当给的不是中点而是线段相等，你也应该想到

2.三线合一出来的中点别忘了

3.题目中辅助线构成等腰三角形，也有可能用到三线合一

4.能出中点的不一定只有题目给出的，还有一些四边形的对角线

【例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，证明：

∠BME=∠CNE

【例2】在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明。

【例3】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，连结EF，分别交AC、BD于点M、N，判断△OMN的形状

【例4】如图所示，在△ABC中，D、G分别为AB、AC上的点，且BD＝CG，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：

AP＝AQ。

【例5】已知，如图所示，在梯形ABCD中，E、F分别为BD、AC的中点。

求证EF与AD、BC之间的关系

【例6】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，已知两底之差是6，两腰之和是12，则△EFG的周长是（）

【例7】如图ABCD，AM=DM,BN=CD,AB=2,DC=3，求MN的取值范围

第三节斜边上的中线

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（一）几何语言：

在Rt△AOC中

∵AO=CO

∴BO=

AC

（2）应用

它是一个很好的倒角工具

这样把整个直角三角形分成了两个等腰三角形

（3）构造辅助线

当手足无措的时候，可以想一想构造辅助线。

不过也不要一见到中点就马上构造辅助线，一定要看看是否需要。

不用辅助线就能简单做的没必要简单问题复杂化。

在中位线的时候有时候我们明显可以感觉到就是填中位线，但是有时候也不是很容易能想到，因此辅助线说不好听的，就是瞎猜，猜对了就对了，反正就那么四个。

一定要敢猜，因为不猜的话，也许这道题根本出不来思路，作出来辅助线才能有思路。

不过在猜之前，你先想想可不可以不用辅助线，不用辅助线就能简单做的没必要简单问题复杂化。

①有的题目有直角，需要构造斜边，

②有的斜边需要自己画中点

步骤：

（1）看到中点，画出中点所在线段

（2）看看此线段是否所对的角为直角，是则连接直角的顶点和此中点

注：

1.当给的不是中点而是线段相等，你也应该想到

2.三线合一出来的中点别忘了

3.题目中辅助线构成等腰三角形，也有可能用到三线合一

4.能出中点的不一定只有题目给出的，还有一些四边形的对角线

5.学了这个中点，别忘了中位线

6.逆定理需要自己证明（即证明90°角）

当给出∠B=60°，AB:

BC=1:

2,则取AB中点D，连接DC，△DBC为等边三角形

所以∠BCD=60°，所以CD=BD=AD，∠BDC=60°（外角）∠ACD=30°，∠ACB=90°

【例1】如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为______。

【例2】如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，取AC中点O，BC中点E，连接OD、OE、DE，∠CAD＝∠CAB＝20°，则∠DOE＝______。

【例3】如图，已知：

△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°，∠BAD=∠CAE。

连接DE，设M为DE的中点。

求证：

MB＝MC；

【例4】如图，BD、CE是锐角△ABC的两条高，过顶点B、C分别作ED的垂线BF、CG，垂足分别为点F、G，求证：

EF＝DG。

【例5】如图，延长矩形ABCD的边AB至点E，AE=AC，F为CE中点，求证DF⊥BF

【例6】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形。

⑴求证：

四边形ABCD是菱形；⑵若∠AED＝2∠EAD，求证：

四边形ABCD是正方形。