正方形知识点总结及典型试题.docx

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正方形知识点总结及典型试题

正方形知识点总结及典型试题

知识点一：

正方形的定义：

一组邻边相等的矩形叫做正方形；正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形。

知识点二：

.正方形的性质：

①正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质；②边:

四边相等,对边平行；③角:

四个角都是直角；④对角线:

互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为

；⑤正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形；有四条对称轴。

知识点三：

.正方形的判定：

①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；

③有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；

④对角线垂直平分且相等的四边形是正方形；⑤对角线垂直且相等的平行四边形是正方形；

⑥对角线垂直的矩形是正方形；⑦对角线相等的菱形是正方形。

知识点四：

.正方形对角线产生的三角形特点：

⑴正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；

⑵两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形。

知识点五：

正方形常用的辅助线添加方法：

①正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题；

②有垂直时做垂线构造正方形；③有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用；

④利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件。

典型试题

一．选择题

1.如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（　　）①OH=1/2BF；②∠CHF=45°；③GH=1/4BC；④DH2=HE•HB．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为（　　）A．15/4B．2/3C．4D．5

3．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：

①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③DG/GC=GO/CE；④（a-b）2•S△EFO=b2•S△DGO．结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个

4.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　　）

A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm

5．在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：

①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正确的是（　　）

A．①②B．①②④C．③④D．①②③④

6.如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（　　）A．45°B．50°C．60°D．不确定 

7..如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）A.2/3a2B1/4a2C.5/9a2D.4/9a2

8.如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：

①GH⊥BE；②HO‖1/2BG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．其中正确的结论有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）

A．（2，10）B．（-2，0）C．（2，10）或（-2，0）D（10，2）或（-2，0）

10．在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为（　　）A．5（3/2）2010B．5（9/4）2011C.5（9/4）2009D.5（3/2）4020

11.如图，已知△ABC的面积是12，BC=6，点E、I分别在边AB、AC上，在BC边上依次做了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为（　　）

A.12/11B.12/2n-3C.12/5D.12/2n+3

二．填空题（共5小题）

1．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则FG=。

2．如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为。

3．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB=√2，AG=1，则EB=。

4．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．

5．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是。

6．如图，在边长为6√2的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则FG=。

7．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是。

8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．

9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是．

10.如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为。

11.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=√2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+√2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+√2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=

三．解答题

1．如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF．

（1）求证：

BF=DF；

（2）连接CF，请直接写出BE：

CF的值（不必写出计算过程）．

2．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．

（1）求证：

DF=AE；

（2）当AB=2时，求BE2的值．

3．已知：

如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MN．

（1）若正方形的边长为a，求BM•DN的值．

（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．

4．已知点O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD．

（1）当点M在线段OD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？

请判断并直接写出结果；

（2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），

（1）中的结论是否仍然成立？

请结合图2说明理由．

5．操作与证明：

如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

（1）连接AE，求证：

△AEF是等腰三角形；猜想与发现：

（2）在

（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：

DM、MN的数量关系是相等；结论2：

DM、MN的位置关系是垂直；拓展与探究：

（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则

（2）中的两个结论还成立吗？

若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

6．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，

（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；

（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？

若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在

（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：

CM=√2BN．

7．如图，正方形ABCD中，点E从点A出发沿着AD向D运动，（点E不与点A，点D重合）同时点F从点D出发沿着线段DC向C运动，（点F不与点D，点C重合）点E与F点运动速度相同，当点E停止运动时，另一动点F随之停止运动，设BE与AF相交于点P，连接PC请研究：

（1）AF=BE，AF⊥BE；

（2）当点E运动到AD中点位置时：

①PA：

PB的值是多少？

②PC和BC又怎样的数量关系？

并证明你的结论．

8．在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E．

（1）如图1，当点M在BC上时，求证：

BD-2DE=√2BM；

（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是BD+2DE=√2BM；（3）在

（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，连接CG．若DE=√2，且AF：

FD=1：

2时，求线段DG的长．

9．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P在DB所在的直线上，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，延长FP交AB于点M，求证：

AP=EF；

（2）如图2，当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时，延长FP交AB于点M，求证：

AP=EF；（3）如图3，当点P在DB的延长线上时，请你猜想AP与EF的数量关系及位置关系，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

10．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N．

（1）如图1，若E点与O点重合，求证：

EM=EN；

（2）如图2，若E点不与O点重合：

①EM还等于EN吗？

说明理由；②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由．

11．已知：

正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．

（1）求证：

△ABF≌△DAE；

（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．

12．感知：

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，将点E绕点C顺时针旋转90°到点F，易知△CEB≌△CFD．探究：

如图2，在图1中的基础上作∠ECF的角平分线CG，交AD于点G，连接EG，求证：

EG=BE+GD．应用：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC．E是AB上一点，且∠DCE=45°，AD=6，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

13．如图，正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．

（1）求证：

BE⊥AF；

（2）若正方形ABCD的边长为4，EH⊥DG，垂足为H，且GO/DE=4/5，求DE的长．

14．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：

AH=AB；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，

（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？

如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用

（2）得到的结论）

15．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为垂直，数量关系为相等．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：

当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？

并说明理由．

16．如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ADE=15°，过D作DG⊥ED于D，且AG=AD，过G作GF∥AC交ED的延长线于F．

（1）若ED=4√6，求AG

（2）求证：

2DF+ED=BD．

17．已知：

如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（0，-4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形ABCD随着点B的运动而随之相应变动．点E为y轴的正半轴与正方形ABCD某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE的长度为m．

（1）当t=3时，求点C的坐标；

（2）当t＞0时，求m与t之间的函数关系式；（3）是否存在t，使点M（-2，2）落在正方形ABCD的边上？

若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

18．在数学活动课中，小辉将边长为√2和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．

（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？

说明你的理由；

（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．

19．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，

（1）FC/EF的值为多少；

（2）求证：

AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？

若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

20．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．

（1）求证：

△BCP≌△DCP；

（2）求证：

∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=度．

21．

（1）如图

（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：

△BCP≌△DCE；

（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．①若CD=2PC时，求证：

BP⊥CF；②若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S1，△DPE的面积为S2．求证：

S1=（n+1）S2．

22．正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．

（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：

AF+BF=2OE（不需证明）

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？

请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

23．如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．

（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；

（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

24．如图，在正方形ABCD中，点P是CD边上的点，连结BP，将△BCP绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△DCE，连结EP并延长，交AD于点F，连结BF、FC．

（1）证明△CEP是等腰直角三角形；

（2）若CD=2CP，证明：

四边形CEDF是平行四边形；（3）若CD=kCP（k是常数，k＞0），记△BPF的面积为s1，△DEP的面积为s2，证明：

s1=（k+1）s2．

25．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F，连接AC、AF、DF，求证：

（1）AE=EF；

（2）△ABE∽△ACF；（3）△DFC是等腰直角三角形．

26．如图，在正方形ABCD中，点P为AD边上一点，PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F，连接PF交AB于G，连接CG．

（1）如图1，求证：

GC平分∠PGB；

（2）如图2连接AN，试判断线段PC与AN的数量关系，并给予证明．

27．如图，直线MN经过正方形ABCD的一个顶点A，过点B作BE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，当直线MN经过点D（如图1）时，易证：

AF+CF=2BE．当直线MN不经过点D时，线段AF、CF、BE又有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想，并选择图

（2）、图（3）中的一种情况给予证明．

28．如图，已知正方形ABCD，点P为射线BA上的一点（不和点A，B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE，过E作EF∥CD交射线BD于F点，EC交直线BD于G点．

（1）求证：

EF=AB；

（2）请探究BF，DG和CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．

29．如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．

（1）求证：

∠GCF=∠FCE；

（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形？

若存在，求出BM的长度；若不存在，说明理由．

30.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．

（1）如图1，连接BG、DE．求证：

BG=DE；

（2）如图2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG=BD．求∠BDE的度数；（3）在

（2）的条件下，当正方形ABCD的边长为√2时，请直接写出正方形CEFG的边长．

31．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：

（1）BH=DE．

（2）BH⊥DE．

32．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）求证：

CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？

为什么？

33．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE=∠CDF．

（1）求证：

AE=CF；

（2）连结DB交CF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．

34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：

CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？

说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？

请说明你的理由．

35．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．

（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；

（2）连结CG，求证：

四边形CBEG是正方形．

36．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：

AE=BF．

37．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE．求证：

∠PDC=∠PEC．

38．

（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：

EF=FG．

（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．

39．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）求证：

CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？

为什么？

40．【问题情境】

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】

（1）证明：

AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示

（1）、

（2）中的结论是否成立？

请分别作出判断，不需要证明．

41．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．

（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：

∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；

（2）如图2，在

（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．

42．已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．

（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．①求证：

DG=2PC；②求证：

四边形PEFD是菱形；

（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

43．正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．

（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：

EF⊥FG，EF=FG；

（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你