北师大八年级上《勾股定理》培优卷含答案.docx
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北师大八年级上《勾股定理》培优卷含答案
2014年北师大八年级上《勾股定理》培优卷
一．选择题（共7小题）
1．（2014•淮安）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
A．
5
B．
6
C．
7
D．
25
2．（2013•西宁）使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．
一个锐角对应相等
B．
两个锐角对应相等
C．
一条边对应相等
D．
两条边对应相等
3．（2013•六合区一模）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（ ）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
7
4．（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．
6
B．
5
C．
4
D．
3
5．（2014•香坊区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC．若CD=3，BC+AB=16，则△ABC的面积为（ ）
A．
16
B．
18
C．
24
D．
32
6．（2013•安顺）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．
8米
B．
10米
C．
12米
D．
14米
7．（2012•咸丰县二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，分别以AC、BC为直经作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于（ ）
A．
8πB
B．
16π
C．
25π
D．
12.5π
二．填空题（共7小题）
8．（2014•凉山州）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 _________ ．
9．（2014•白银）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是 _________ cm．
10．（2014•达州）己知实数a、b满足a+b=5，ab=3，则a﹣b= _________ ．
11．（2014•梅州）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2= _________ ．
12．（2014•深圳）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= _________ ．
13．（2012•庆阳）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= _________ ．
14．（2014•潍坊）我国古代有这样一道数学问题：
“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？
”题意是：
如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 _________ 尺．
三．解答题（共7小题）
15．（2013•金湾区一模）计算：
．
16．（2014•漳州）先化简，再求值：
（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1），其中x=
．
17．（2013•丰台区二模）已知
，求m（m+3）+（1+2m）（1﹣2m）的值．
18．（2014•吉林二模）如图，C是线段AB的中点，AE⊥AB，BF⊥AB，过点C的直线与AE、BF分别交于点E、F．
（1）求证：
CE=CF；
（2）若∠F=45°，BF=2，求BE的长．
19．（2014•西宁）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：
△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
20．（2014•道里区一模）点A，B的位置如图，在网格上确定点C，使AB=AC，∠BAC=90°．
（1）在网格内画出△ABC；
（2）直接写出△ABC的面积为 _________ ．
21．（2014•安徽名校一模）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
2014年北师大八年级上《勾股定理》培优卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2014•淮安）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
A．
5
B．
6
C．
7
D．
25
考点：
勾股定理．菁优网版权所有
专题：
网格型．
分析：
建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．
解答：
解：
如图所示：
AB=
=5．
故选：
A．
点评：
本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．
2．（2013•西宁）使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．
一个锐角对应相等
B．
两个锐角对应相等
C．
一条边对应相等
D．
两条边对应相等
考点：
直角三角形全等的判定．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
解答：
解：
A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误；
D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确．
故选D．
点评：
本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．
3．（2013•六合区一模）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（ ）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
7
考点：
勾股定理；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积=a的面积+c的面积
解答：
解：
∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°
∴∠ACB=∠DEC
∵∠ABC=∠CDE，AC=CE，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE
∴（如图），根据勾股定理的几何意义，b的面积=a的面积+c的面积
∴b的面积=a的面积+c的面积=3+4=7．
故选D．
点评：
本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
4．（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．
6
B．
5
C．
4
D．
3
考点：
垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
解答：
解：
过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O，
∴AC=BC=
AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
OC=
=5．
故选：
B．
点评：
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．
5．（2014•香坊区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC．若CD=3，BC+AB=16，则△ABC的面积为（ ）
A．
16
B．
18
C．
24
D．
32
考点：
勾股定理；角平分线的性质．菁优网版权所有
分析：
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再根据S△ABC=S△BCD+S△ABD列式计算即可得解．
解答：
解：
如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，BD平分∠ABC，
∴DE=CD=3，
∴S△ABC=S△BCD+S△ABD
=
BC•CD+
AB•DE
=
（BC+AB）×3
∵BC+AB=16，
∴△ABC的面积=
×16×3=24．
故选C．
点评：
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
6．（2013•安顺）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．
8米
B．
10米
C．
12米
D．
14米
考点：
勾股定理的应用．菁优网版权所有
专题：
应用题．
分析：
根据“两点之间线段最短”可知：
小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解答：
解：
如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，
在Rt△AEC中，AC=
=10m，
故选B．
点评：
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
7．（2012•咸丰县二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，分别以AC、BC为直经作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于（ ）
A．
8πB
B．
16π
C．
25π
D．
12.5π
考点：
勾股定理．菁优网版权所有
分析：
根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．
解答：
解：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，则由勾股定理知，AC2+BC2=AB2．
S1=
πAC2，S2=
πBC2，
所以S1+S2=
π（AC2+BC2）=
πAB2=12.5π．
故选D．
点评：
考查了勾股定理，此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：
以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．
二．填空题（共7小题）
8．（2014•凉山州）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或
．
考点：
勾股定理．菁优网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
解答：
解：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：
=
；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：
=5；
综上，第三边的长为：
5或
．
故答案为：
5或
．
点评：
此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
9．（2014•白银）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是 8 cm．
考点：
勾股定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到BD=
BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高线AD的长度．
解答：
解：
如图，AD是BC边上的高线．
∵AB=AC=10cm，BC=12cm，
∴BD=CD=6cm，
∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：
AD=
=
=（8cm）．
故答案是：
8．
点评：
本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理．等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形．
10．（2014•达州）己知实数a、b满足a+b=5，ab=3，则a﹣b= ±
．
考点：
完全平方公式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
将a+b=5两边平方，利用完全平方公式展开，把ab的值代入求出a2+b2的值，再利用完全平方公式即可求出a﹣b的值．
解答：
解：
将a+b=5两边平方得：
（a+b）2=a2+b2+2ab=25，
将ab=3代入得：
a2+b2=19，
∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=19﹣6=13，
则a﹣b=±
．
故答案为：
±
点评：
此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
11．（2014•梅州）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2= 12 ．
考点：
平方差公式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），然后代入求解．
解答：
解：
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=4×3=12．
故答案是：
12．
点评：
本题重点考查了用平方差公式．平方差公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．本题是一道较简单的题目．
12．（2014•深圳）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= 3 ．
考点：
角平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．
解答：
解：
如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
=
=10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC=
AC•CD+
AB•DE=
AC•BC，
即
×6•CD+
×10•CD=
×6×8，
解得CD=3．
故答案为：
3．
点评：
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
13．（2012•庆阳）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= 4 ．
考点：
勾股定理；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
解答：
解：
观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：
4．
点评：
运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
14．（2014•潍坊）我国古代有这样一道数学问题：
“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？
”题意是：
如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺．
考点：
平面展开-最短路径问题；勾股定理的应用．菁优网版权所有
专题：
转化思想．
分析：
这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
解答：
解：
如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3=15（尺），
因此葛藤长为
=25（尺）．
故答案为：
25．
点评：
本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
三．解答题（共7小题）
15．（2013•金湾区一模）计算：
．
考点：
负整数指数幂；绝对值；有理数的乘方；零指数幂．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
本题涉及零指数幂、负整数指数幂、平方、绝对值．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：
解：
原式=3﹣1+4=6．故答案为6．
点评：
本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．注意：
负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；利用绝对值的性质化简．
16．（2014•漳州）先化简，再求值：
（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1），其中x=
．
考点：
整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
分析：
先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解答：
解：
原式=x2﹣1﹣x2+x=x﹣1，
当x=
时，原式=
﹣1=﹣
．
点评：
本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力，题目比较好，难度适中．
17．（2013•丰台区二模）已知
，求m（m+3）+（1+2m）（1﹣2m）的值．
考点：
整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用单项式乘多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
解答：
解：
∵m+
=1，
∴m2﹣m=﹣1，
∴原式=m2+3m+1﹣4m2=﹣3m2+3m+1=﹣3（m2﹣m）+1=﹣3×（﹣1）+1=4．
点评：
此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：
单项式乘多项式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
18．（2014•吉林二模）如图，C是线段AB的中点，AE⊥AB，BF⊥AB，过点C的直线与AE、BF分别交于点E、F．
（1）求证：
CE=CF；
（2）若∠F=45°，BF=2，求BE的长．
考点：
全等三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
（1）根据ASA，可证明△ACE≌BCF，根据全等三角形的性质，可得证明的结论；
（2）根据全等三角形的性质，可得AE的长，根据等腰直角三角形的性质，可得BC的长，根据勾股定理，可得答案．
解答：
（1）证明：
∵C是线段AB的中点，
∴AC=BC
AE⊥AB，BF⊥AB，
∴∠EAC=∠FBC=90°
又∠ACE=∠BCF
∴△ACE≌△BCF
∴CE=CF
（2）解：
∵△ACE≌△BCF
∴AE=BF=2．
在△BCF中，∠F=45°，∠FBC=90°
∠BCF=90°﹣45°=45°
∴BC=BF=2
∴AB=2BF=4
在Rt△ABE中，由勾股定理得
BE=
．
点评：
本题考查了全等三角形的性质与判定，
（1）利用ASA证明三角形全等，再利用性质证明对应边相等；
（2）利用勾股定理是解题关键．
19．（2014•西宁）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：
△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
考点：
全等三角形的应用；勾股定理的应用．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）由题意得：
AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，根据勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．
解答：
（1）证明：
由题意得：
AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：
由题意得：
AD=4a，BE=3a，
由
（1）得：
△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=3a，
在Rt△ACD中：
AD2+CD2=AC2，
∴（4a）2+（3a）2=252，
∵a＞0，
解得a=5，
答：
砌墙砖块的厚度a为5cm．
点评：
此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
20．（2014•道里区一模）点A，B的位置如图，在网格上确定点C，使AB=AC，∠BAC=90°．
（1）在网格内画出△ABC；
（2）直接写出△ABC的面积为 5 ．
考点：
勾股定理．菁优网版权所有
专题：
作图题；网格型．
分析：
（1）先连结AB，再确定C点，连结AC，BC即可求解；
（2）根据勾股定理得到AB，AC的长，再根据三角形面积公式即可求解．
解答：
解：
（1）如图所示：
（2）在△ABC中，∠BAC=90°，
∴AB=AC=
=
．
故△ABC的面积为
×
÷2=5．
故答案为：
5．
点评：
本题考查了勾股定理，学生作图与根据图象分析处理、以及计算面积的能力．
21．（2014•安徽名校一模）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
考点：
平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有
分析：
（1）将长方体形的木柜展开，求出对角线的长即可；
（2）求出蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，以及蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，的距离，再进行比较即可．
解答：
解：
（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC1D1和ACC1A1．
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的A1C1′和AC1．
（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，
爬过的路径的长是l1=
=
，
蚂蚁沿
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