18空间向量在立体几何中的应用.docx
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18空间向量在立体几何中的应用
第三节空间向量在立体几何中的应用
一、填空题
1.若等边的边长为,平面内一点满足,则_________
2.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________。
【解析】设由可得故
【答案】(0,-1,0)
二、解答题
3.(本小题满分12分)
如图,在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,AD//BC//FE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD
(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(II)证明平面AMD平面CDE;
(III)求二面角A-CD-E的余弦值。
如图所示,建立空间直角坐标系,
点为坐标原点。
设依题意得
(I)
所以异面直线与所成的角的大小为.
(II)证明:
,
(III)
又由题设,平面的一个法向量为
4.(本题满分15分)如图,平面平面,
是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,
,的中点,,.
(I)设是的中点,证明:
平面;
(II)证明:
在内存在一点,使平面,并求点到,的距离.
证明:
(I)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O,
则,由题意得,因,因此平面BOE的法向量为,得,又直线不在平面内,因此有平面
6.(本小题满分12分)
如图,已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点。
(I)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦;
(II)用反证法证明:
直线ME与BN是两条异面直线。
设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标原点,分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.
则M(1,0,2),N(0,1,0),可得=(-1,1,2).
又=(0,0,2)为平面DCEF的法向量,
可得cos(,)=·
所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为
cos·......6分
(Ⅱ)假设直线ME与BN共面,......8分
则AB平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN
由已知,两正方形不共面,故AB平面DCEF。
又AB//CD,所以AB//平面DCEF。
面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,
所以AB//EN。
又AB//CD//EF,
所以EN//EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立。
所以ME与BN不共面,它们是异面直线.......12分
7.(13分)
如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,,
,且MD=NB=1,E为BC的中点
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值
(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?
若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由
17.解析:
(1)在如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标
依题意,得。
,
所以异面直线与所成角的余弦值为.A
(2)假设在线段上存在点,使得平面.
可设
又.
由平面,得即
故,此时.
经检验,当时,平面.
故线段上存在点,使得平面,此时.
8.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱中,、分别为、的中点,平面
(I)证明:
(II)设二面角为60°,求与平面所成的角的大小。
分析一:
求与平面所成的线面角,只需求点到面的距离即可。
19.(本小题满分12分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问7分)
如题(19)图,在四棱锥中,且;平面平面,;为的中点,.求:
(Ⅰ)点到平面的距离;
(Ⅱ)二面角的大小.
(Ⅰ)如答(19)图2,以S(O)为坐标原点,射线OD,OC分别为x轴,y轴正向,建立空间坐标系,设,因平面
即点A在xoz平面上,因此
又
因AD//BC,故BC⊥平面CSD,即BCS与平面
yOx重合,从而点A到平面BCS的距离为.
(Ⅱ)易知C(0,2,0),D(,0,0).因E为BS的中点.
ΔBCS为直角三角形,
知
设B(0,2,),>0,则=2,故B(0,2,2),所以E(0,1,1).
在CD上取点G,设G(),使GE⊥CD.
由故
①
又点G在直线CD上,即,由=(),则有 ②
联立①、②,解得G= ,
故=.又由AD⊥CD,所以二面角E-CD-A的平面角为向量与向量所成的角,记此角为.
因为=,,所以
故所求的二面角的大小为.
作于,连,则,为二面角的平面角,.不妨设,则.在中,由,易得.
设点到面的距离为,与平面所成的角为。
利用,可求得,又可求得
即与平面所成的角为
分析二:
作出与平面所成的角再行求解。
如图可证得,所以面。
由分析一易知:
四边形为正方形,连,并设交点为,则,为在面内的射影。
。
以下略。
分析三:
利用空间向量的方法求出面的法向量,则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。
具体解法详见高考试题参考答案。
总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:
传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。
命题人在这里一定会兼顾双方的利益。
9.(本小题共14分)
如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)当且E为PB的中点时,求AE与
平面PDB所成的角的大小.
【解法2】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,
设
则,
(Ⅰ)∵,
∴,
∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面PDB,
∴平面.
(Ⅱ)当且E为PB的中点时,,
设AC∩BD=O,连接OE,
由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,
∵,
∴,
∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.
10.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)
如题(18)图,在五面体ABCDEF中,AB//DC,∠BAD=,CD=AD=2.,四边形ABFE为平行四边形,FA⊥平面ABCD,FC=3,ED=,求:
(Ⅰ)直线AB到平面EFCD的距离:
(Ⅱ)二面角F-AD-E的平面角的正切值,
18.(本小题满分12分)
如图4,在正三棱柱中,
D是的中点,点E在上,且。
(I)证明平面平面
(II)求直线和平面所成角的正弦值。
解(I)如图所示,由正三棱柱的性质知平面
又DE平面ABC,所以DEAA.
而DEAE。
AAAE=A所以DE平面ACCA,又DE平面ADE,故平面ADE平面ACCA。
解法2如图所示,设O使AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,不妨设
AA=,则AB=2,相关各点的坐标分别是
A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,),D(,-,)。
易知=(,1,0),=(0,2,),=(,-,)
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有
解得x=-y,z=-,
故可取n=(1,-,)。
所以,(n·)===。
由此即知,直线AD和平面ABC所成角的正弦值为。
11.(本小题满分12分)
如图3,在正三棱柱ABC-中,AB=4,A=,点D是BC的中点,点E在AC上,且DEE
(Ⅰ)证明:
平面平面;
(Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值。
解法2如图所示,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,则相关各
点的坐标分别是A(2,0,0,),.(2,0,),D(-1,),E(-1,0.0)
易知=(-3,,-),=(0,-,0),=(-3,,0)
设n=(x,y,z)是平面DE的一个法向量,则
解得
故可取n=(,0,-3,)于是
=
由此即知,直线AD和平面DE所成的角是正弦为
12.(本小题满分12分)
在四棱锥中,底面是矩形,平面,,.以的中点为球心、为直径的球面交于点,交于点.
(1)求证:
平面⊥平面;
(2)求直线与平面所成的角的大小;
(3)求点到平面的距离.
方法二:
(1)同方法一;
(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则,,,,,;设平面的一个法向量,由可得:
,令,则
。
设所求角为,则,
所以所求角的大小为。
(3)由条件可得,.在中,,所以,则,,所以所求距离等于点到平面距离的,设点到平面距离为则,所以所求距离为。
19(本小题满分12分)
如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互
相垂直,△是等腰直角三角形,
(I)求证:
;
(II)设线段的中点为,在直线上是否存在一点,使得?
若存在,请指出点的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;
(III)求二面角的大小。
(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),D(1,0,0),
E(0,0,1),C(1,1,0).
因为FA=FE,∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°.
从而,.
所以,,.
,.
所以EF⊥BE,EF⊥BC.
因为BE平面BCE,BC∩BE=B,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.
M(0,0,),P(1,,0).
从而=,
于是·=·=0
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE,直线PM不在平面BCE内,
故PMM∥平面BCE.....................................8分
(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为,并设=(x,y,z).
,
即
取y=1,则x=1,z=3。
从而。
取平面ABD的一个法向量为。
。
故二面角F-BD-A的大小为arccos。
..........................................12分
14.(本题满分14分)
如图,在直三棱柱中,,
求二面角的大小。
简答:
第一部分五年高考荟萃
2009年高考题
2005-2008年高考题
解答题
1.(2008全国Ⅱ19)(本小题满分12分)
如图,正四棱柱中,,点在上且.
(Ⅰ)证明:
平面;
(Ⅱ)求二面角的大小.
以为坐标原点,射线为轴的正半轴,
建立如图所示直角坐标系.依题设,.
,
.
(Ⅰ)证明因为,,
故,.
又,
所以平面.
(Ⅱ)解设向量是平面的法向量,则
,.
故,.
令,则,,.
等于二面角的平面角,
.
所以二面角的大小为.
2.(2008安徽)如图,在四棱锥中,底面四边长
为1的菱形,,,,为
的中点,为的中点
(Ⅰ)证明:
直线;
(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为
轴建立坐标系
,
(1)证明
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
(2)解设与所成的角为,
,与所成角的大小为.
(3)解设点B到平面OCD的距离为,
则为在向量上的投影的绝对值,
由,得.所以点B到平面OCD的距离为
3.(2008湖南17)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面
ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD
的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.
(Ⅰ)证明:
平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小.
如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的
坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),
P(0,0,2),
(Ⅰ)证明因为,
平面PAB的一个法向量是,
所以共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为平面PBE,
故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)解易知
设是平面PBE的一个法向量,则由得
所以
设是平面PAD的一个法向量,则由得所以故可取
于是,
故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是
4.(2008福建18)如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,
其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:
PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PD与CD所成角的大小;
(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为?
若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)证明在△PAD中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD,平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)解以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、
z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,依题意,易得
A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos,
(Ⅲ)解假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为,
由(Ⅱ)知
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
则所以即,
取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
设由,得
解y=-或y=(舍去),
此时,所以存在点Q满足题意,此时.
5.(2007福建理?
18)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有
棱长都为2,D为CC1中点。
(Ⅰ)求证:
AB1⊥面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的大小;
(Ⅲ)求点C到平面A1BD的距离;
(Ⅰ)证明取中点,连结.
为正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面,
平面.
取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,
,,.
,,
,.
平面.
(Ⅱ)解设平面的法向量为.
,.
,,
令得为平面的一个法向量.
由(Ⅰ)知平面,
为平面的法向量.
,.
二面角的大小为.
(Ⅲ)解由(Ⅱ),为平面法向量,
.
点到平面的距离.
6.(2006广东卷)如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直
径.AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8,BC是⊙O的直径,
AB=AC=6,OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B-AD-F的大小;
(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.
解(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD是二面角B-AD-F的平面角,
依题意可知,ABCD是正方形,所以∠BAD=450.
即二面角B-AD-F的大小为450.
(Ⅱ)以O为原点,BC、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则O(0,0,0),A(0,,0),B(,0,0),D(0,,8),E(0,0,8),F(0,,0)
所以,
.
设异面直线BD与EF所成角为,
则
直线BD与EF所成的角为
7.(2005江西)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)证明:
D1E⊥A1D;
(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
(3)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为.
以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),
E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)
(1)证明
(2)解因为E为AB的中点,则E(1,1,0),
从而,
,
设平面ACD1的法向量为,
则
也即,得,从而,所以点E到平面AD1C的距离为
(3)解设平面D1EC的法向量,
∴
由令b=1,∴c=2,a=2-x,
∴
依题意
∴(不合,舍去),.
∴AE=时,二面角D1-EC-D的大小为.
第二部分三年联考汇编
2009年联考题
解答题
1.(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)如图,P-ABCD是正四棱锥,是正方体,其中
(1)求证:
;
(2)求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值;
(3)求到平面PAD的距离
以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系
(1)证明设E是BD的中点,P-ABCD是正四棱锥,∴
又,∴∴∴
∴,即。
(2)解设平面PAD的法向量是,
∴取得,又平面的法向量是∴,∴。
(3)解∴到平面PAD的距离。
2.(陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图,边长为2的等
边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=,
M为BC的中点
(Ⅰ)证明:
AM⊥PM;
(Ⅱ)求二面角P-AM-D的大小;
(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离。
(Ⅰ)证明以D点为原点,分别以直线DA、DC为x轴、y轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
依题意,可得
∴
∴
即,∴AM⊥PM.
(Ⅱ)解设,且平面PAM,则
即
∴,
取,得
取,显然平面ABCD,∴
结合图形可知,二面角P-AM-D为45°;
(Ⅲ)设点D到平面PAM的距离为,由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直,则
=
即点D到平面PAM的距离为
3.(厦门市第二外国语学校2008-2009学年高三数学第四次月考)已知点H在正方体的对角线上,∠HDA=.
(Ⅰ)求DH与所成角的大小;
(Ⅱ)求DH与平面所成角的大小.
解:
以为原点,为单位长建立空间直角坐标系.
设
则,.连结,.
设,由已知,
由
可得.解得,
所以.(Ⅰ)因为,
所以.即DH与所成的角为.
(Ⅱ)平面的一个法向量是.
因为,所以.
可得DH与平面所成的角为.
4.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图,
在四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
(1)求证:
平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;
(3)求点E到平面ACD的距离.
⑴证明连结OC
,.
在中,由已知可得
而,
即
∴平面.
(2)解以O为原点,如图建立空间直角坐标系,
则
,
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
⑶解设平面ACD的法向量为则
,
∴,令得是平面ACD的一个法向量.
又∴点E到平面ACD的距离.
5.(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图,
已知平面,平面,△为
等边三角形,,为的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求证:
平面平面;
(3)求直线和平面所成角的正弦值.
设,建立如图所示的坐标系,则
.
∵为的中点,∴.
(1)证明,
∵,平面,∴平面.
(2)证明∵,
∴,∴.
∴平面,又平面,
∴平面平面.
(3)解设平面的法向量为,由可得:
,取.
又,设和平面所成的角为,则
.
∴直线和平面所成角的正弦值为.
6.(2009年广东省广州市高三年级调研测试)如图,已知
等腰直角三角形,其中∠=90o,.
点A、D分别是、的中点,现将△沿着边
折起到△位置,使⊥,连结、.
(1)求证:
⊥;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
(1)证明∵点A、D分别是、的中点,
∴.
∴∠=90o.
∴.
∴,
∵,
∴⊥平面.
∵平面,
∴.
(2)解建立如图所示的空间直角坐标系.
则(-1,0,0),(-2,1,0),(0,0,1).
∴=(-1,1,0),=(1,0,1),
设平面的法向量为=(x,y,z),则:
,
令,得,
∴=(1,1,-1).
显然,是平面的一个法向量,=().
∴cos<,>=.
∴二面角的平面角的余弦值是.
9月份更新
1.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4,M、N分别为AB、CD的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:
①弦AB、CD可能相交于点M②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5④MN的最小值为l,其中真命题的个数为
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案C
2.某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为()A. B. C. D.
答案C
3.等边三角形与正方形有一公共边,二面角的余弦值为,分别是的中点,则所成角的余弦值等于
答案.
4.如图,在三棱锥中,,,.
(Ⅰ)求证:
;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)求点到平面的距离.
解法一:
(Ⅰ)取中点,连结.,.,.
,平面.平面,.
(Ⅱ),,.又,.
又,即,且,平面.取中点.连结.
,.是在平面内的射影,.
是二面角的平面角.在中,,,,.二面角的大小为.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,平面平面.过作,垂足为.
平面平面,平面.的长即为点到平面的距离.
由(Ⅰ)知,又,且,平面.平面,.
在中,,,
..点到平面的距离为.
解法二:
(Ⅰ),,.又,.
,平面.平面,.
(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系.则.
设.,,.取中点,连结.
,,,.是二面角的平面角.
,,,
.二面角的大小为.
(Ⅲ),在平面内的射影为正的中心,且的长为点到平面的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系.,点的坐标为..
点到平面的距离为.
5.如图,已知是棱长为的正方体,点在上,点在上,且.
(1)求证:
四点共面;(4分);
(2)若点在上,,点在上,,垂足为,求证:
平面;(4分);(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求.
证明:
(1)建立如图所示的坐标系,则,,,
所以,故,,共面.又它们有公共点,所以四点共面.
(2)如图,设,则,而,由题设得,
得.因为,,有,又,,所以,,从而,.故平面.
(3)设向量截面,于是,.
而,,得,,解得,,所以.又平面,所以和的夹角等于或(为锐角).
于是.故.
2007-2008年联考题
1.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求到平面的距离;
(Ⅲ)求二面角的大小.
(Ⅰ)证明如图,取的中点,则,∵,∴,
又平面,以为轴建立空间坐标系,
则,,,,,,
,由,知,
又,从而平