高等代数在实际生活中的应用.docx

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高等代数在实际生活中的应用

高等代数在实际生活中的应用

制作人

Sy1106董耀聪季震涛

摘要：

随着现代科学的发展，数学在经济中广泛而深入的应用

是当前经济学最为深刻的因素之一，马克思曾说过：

“一门学科

只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”。

下面

通过具体的例子来说明高等代数知识在经济生活中的应用。

关键词：

矩阵；特征值；经济应用

一：

在经济生活中的应用

1．“活用”行列式定义

定义：

用符号

表示的n阶行列式D指的是n!

项代数和，这些项是一切可能的取自D不同行与不同列上的n个元素的乘积

的符号为

。

由定义可以看出。

n阶行列式是由n!

项组成的，且每一项为来自于D中不同行不同列的n个元素乘积。

实例1：

某市打算在第“十一”五年规划对三座污水处理厂进行技术改造，以达到国家标准要求。

该市让中标的三个公司对每座污水处理厂技术改造费用进行报价承包，见下列表格（以1万元人民币为单位）．在这期间每个公司只能对一座污水处理厂进行技术改造，因此该市必须把三座污水处理厂指派给不同公司，为了使报价的总和最小，应指定哪个公司承包哪一座污水处理厂?

设这个问题的效率矩阵为

，根据题目要求，相当于从效率矩阵中选取来自不同行不同列的三个元素“和”中的最小者!

从行列式定义知道，这样的三个元素之共有31=6（项），如下：

由上面分析可见报价数的范围是从最小值54万元到最大值58万元。

由④得到最小报价总数54万元，因此，该城市

应选定④即

2．“借用”特征值和特征向量

定义：

“设A是F中的一个数．如果存在V中的零向量

，使得

，那么A就叫做的特征值，而叫做的属于本征值A的一个特征向量。

实例2：

发展与环境问题已成为21世纪各国政府关注

和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提

出了以下的工业增长模型：

设是某地区目前的污染水平

（以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位），

是目前

的工业发展水平（以某种工业发展指数为测量单位）．若干年

后（例如5年后）的污染水平和工业发展水平分别为和

它们之间的关系为

试分析若干年后的污染水平和工业发展水平。

对于这个

问题，将

（1）写成矩阵形式，就是

由此可预测若干年后的污染水平与工业

发展水平为原来的4倍。

二：

整系数多项式因式分解的一种矩阵方法及程序设计语言矩阵理论是高等代数中主要的内容之一．在数学的各个分支中起着重要的作用．在中学数学中．高次多项式的因式分解比较困难．可以将多项

式的因式分解转化为矩阵的运算．利用矩阵的乘法、矩阵的秩等相关的知识来分解整系数多项式，并将计算过程设计成相应的pascal程序语言．n次整系数多项式的因式分解在有理数域中可以利用艾森斯坦因（Eisenstein）判别法，先判别n次整系数多项式是否可约，如果可约，就先求可能的有理根。

再初步过滤，然后用综合除法确认．下

面给出利用矩阵分解整系数多项式的方法．分解定理我们已经在高等代数教材的前几章学过，以下着重介绍程序的应用。

定理

是n次整系数多项式，则

次整因式的充分必要条件是存在一个系数为整数且秩为1的（r+1）*（n-r+1）阶矩阵.

程序代码如下：

参考文献：

【1】张禾瑞，郝钢新．高等代数[M]．北京：

高等教育出版社，

【2】陈昭木，陈清华。

林亚南，等．高等代数[明．福州：

福建教育出版社

【3】谭浩强．pascal程序设计【M】北京：

清华大学出版社

结语：

感谢泽爷一年中对我们的教导，课堂上许多画面让我们终生难忘。

祝老师桃李遍天下，身体健康。

您的学生：

董耀聪1211003季震涛11211084