工大数据结构第三章作业.docx
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工大数据结构第三章作业
数据结构与算法上机作业
第三章树
一、选择题
1、在一棵树中，如果结点A有３个兄弟，Ｂ是A的双亲,则B的度为D
Ａ.１B. ２C. ３D. 4
2、深度为h的完全二叉树至少有 D个结点,至多有Ｂ个结点
A.2hB． 2h－1C. ２h+1Ｄ．２ｈ-1
２^（ｈ-1）-1+1=2^（h-１）前（n－1）层满,第ｈ层只有一结点
3、具有ｎ个结点的满二叉树有Ｃ个叶结点。
A.ｎ／2B.（n-1）/2C.（n+1）/２D.ｎ／２+１
因为二叉树中，有这样一个性质，如果其终端结点数（也就是叶子节点）的个数为ｎ1,度为2的结点数为n2,则n1=ｎ２+1;假设叶子节点有x个,则度为2的个数为x-１：
所以:
２ｘ-1= n;所以x= （n+1）/２（满二叉树）所以叶子节点个数为：
（n+1）/2非终端结点为:
（ｎ＋1）/２-1
4、一棵具有25个叶结点的完全二叉树最多有 B个结点。
Ａ．48B.4９C.50Ｄ.５1
5、已知二叉树的先根遍历序列是ABＣDEF,中根遍历序列是CBＡＥDF，则后根遍历序列是A。
Ａ. ＣBEFDAB.ＦＥDCBAC.ＣBEDFＡＤ. 不定
６、具有1０个叶结点的二叉树中有B个度为2的结点。
A.8B.9Ｃ. 10D．11
7、一棵非空二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列正好相反,则该二叉树一定满足C。
Ａ. 所有非叶结点均无左孩子Ｂ.所有非叶结点均无右孩子
C. 只有一个叶子结点D.A和Ｂ同时成立
8、在线索二叉树中，t所指结点没有左子树的充要条件是Ｂ。
A.t->left=ＮULLB.t->ltag=ＴRUE
C.t->ｌtaｇ=TRUＥ且t-＞lefｔ=NＵLＬＤ.以上都不对
9、n个结点的线索二叉树上含有的线索数为C。
A. 2nＢ.n-1C.ｎ+1D.n
n-1表示结点的左右子树,其余ｎ－1指针为空
线索取代原来的空链
１０、二叉树按照某种顺序线索化后，任一结点都有指向其前驱和后继的线索，这种说法B 。
A.正确B.错误C．不确定D. 都有可能
11、具有n（n>1）个结点的完全二叉树中,结点ｉ（2i>n）的左孩子结点是 Ｄ。
A．2i B.2i+1C.2i-1D.不存在
12、具有6４个结点的完全二叉树的深度为 C。
A.５B.6C.7D.8
13、将一颗有10０个结点的完全二叉树从上到下、从左到右一次对结点进行编号，根结点的编号为1,则编号为４5的结点的右孩子的编号为C。
A. ４6B.4７C．90D.９1
2i举个简单的例子就可以看出来,比如7个节点时（也就是三层时）,编号为1的左子树编号是２,编号2的左子树是４,编号3的左子树编号为6。
。
。
。
以此就可以看出来。
左结点是2i,右结点才是2i+1
1４、在结点数为n的堆中插入一个结点时,复杂度为 C。
A． O（n）B．O（n2）C．O（lｏｇ2n）D.Ｏ（loｇn2）
1５、两个二叉树是等价的,则它们满足D。
Ａ.它们都为空B.它们的左右子树都具有相同的结构
C．它们对应的结点包含相同的信息D．A、B和Ｃ
１６、包含n个元素的堆的高度为C。
（符号「a表示取不小a最小整数）
A．ｎＢ.「ｌog2ｎC． 「lｏg2（ｎ+1）D．n+１
17、以下说法错误的是B。
Ａ. 存在这样的二叉树，对其采用任何次序的遍历其结点访问序列均相同
B．二叉树是树的特殊情形
Ｃ.由树转换成二叉树，其根结点的右子树总是空的
D.在二叉树中只有一棵子树的情形下,也要指出是左子树还是右子树
1８、设F是一个森林，B是由F变换得到的二叉树。
若Ｆ中有ｎ个非终端结点，则B中没有右孩子的结点有Ｃ个。
A.n-1B．nＣ.n+1D. n＋２
19、将一棵树T转换为二叉树B,则T的后根序列是B的Ｂ。
A.先根序列B.中根序列C. 后根序列D.层次序列
20、将一棵树转换为二叉树后，这颗二叉树的形态是A。
Ａ.唯一的,根结点没有左孩子B． 唯一的，根结点没有右孩子
C. 有多种,根结点都没有左孩子D．有多种,根结点都没有右孩子
树转换成二叉树，根节点是没有右孩子的，这由转换规则应该不难理解，且转换规则是唯一的，所以转换成的二叉树是唯一的
21、设树T的度为４，其中度为１，２, 3, 4的结点个数分别为4,2，1, 1，则T中的叶结点的个数为D。
Ａ．5Ｂ.6Ｃ. 7D.8
2２、设森林F中有三棵树,第一、第二、第三棵树的结点个数分别为M1,Ｍ２, M3。
与森林Ｆ对应的二叉树根结点的右子树上的结点个数为Ｄ。
A.Ｍ1-1B.M１+M2Ｃ.M2D. M２＋Ｍ3
23、若以二叉树的任一结点出发到根的路径上所经过的结点序列按其关键字有序，则该二叉树是C。
A． 二叉排序树Ｂ.哈夫曼树C.堆D.线索二叉树
2４、用5个权值{3,2,4,5,1｝构造的哈夫曼树的带权路径长度是B。
A.3２B.33C.34Ｄ．15
二、填空题
１、一棵二叉树有６7个结点,结点的度是0和2。
问这棵二叉树中度为2的结点有33个。
２、含A,B,C三个结点的不同形态的二叉树有5棵。
３、含有4个度为２的结点和5个叶子结点的完全二叉树,有1或0个度为1的结点。
４、具有1０0个结点的完全二叉树的叶子结点数为５0。
5、在用左右链表示的具有n个结点的二叉树中，共有2n个指针域，其中n-1个指针域用于指向其左右孩子,剩下的n+１个指针域是空的。
6、如果一颗完全二叉树的任意一个非终结结点的元素都不小于其左儿子结点和右儿子结点（如果有的话）的元素，则称此完全二叉树为最大堆。
7、堆是一种特殊形式的完全二叉树,对于最大堆而言,其根结点的元素的值应该是所有结点元素中最大的。
8、二叉树的复制是指按照一棵已知的二叉树复制一个副本，使两者等价。
复制二叉树最长用的方法是后根遍历递归算法。
９、在定义堆时，通常采用结构体方式定义相应的二叉树，这样可以很容易实现其相关操作。
10、在构建选择树时,根据孩子结点的获胜者确定他们双亲结点所得到的选择树称为胜者树。
根据孩子结点的失败者确定他们双亲结点所得到的选择树称为败者树。
11、树的表示方法包括数组、邻接表和左右链。
１2、表达式（a＋b*（c－d））-e/ｆ的波兰式（前缀式）是-+a*b-cd/ef,逆波兰式（后缀式）是ａbcd-＊+ｅｆ／－。
13、设F是由T1、T2、T3三棵树组成的森林，与Ｆ对应的二叉树为B。
已知Ｔ１,Ｔ2,T3的结点数分别为n１,ｎ２和n3，则二叉树B的左子树中有n1-1个结点,二叉树B的右子树中有ｎ2＋ｎ3个结点。
14、设二叉树的中根序列为ABCDEFＧ,后根序列为BDＣＡFＧE。
则该二叉树的先根序列为
EAＣＢDＧF。
该二叉树对应的森林中包含2棵树。
15、先根次序遍历森林等同于按先根遍历对应的二叉树，后根次序遍历森林等同与按中根遍历对应的二叉树。
1６、一棵哈夫曼树有19个结点，则其叶子结点的个数为10。
17、设有数据WG={7,１9,２,6,32,３，21, 1０}叶节点权重集合，则所构建哈夫曼树的高是5，带权路径长度WＰL为1６９。
1８、设有一份电文中共使用6个字符a,ｂ,c,d,e,f,其中出现频率依次为２，3，4,７,8,19，则字符c的哈夫曼编码是０0１,电文编码的总长度为８0。
20、在有n个结点的哈夫曼树中，叶子结点总数为（ｎ＋1）／2,非叶结点的总数为（n-１）/2。
三、试分别画出具有4个结点的二叉树的所有不同形态。
四、已知一棵二叉树的中根序列和后根序列分别是BDCEＡＨＦG和ＤECBＨＧFA，请画出此二叉树。
五、已知非空二叉树T，写一个算法，求度为2的结点的个数。
要求：
1、定义二叉树的抽象数据类型和型BＴREE,并定义基本操作。
2、编写函数count2（BＴREＥＴ）,返回度为2的节点的个数。
3、在主函数中，构建一个二叉树，并验证所编写的算法。
六、用递归方法写一个算法,求二叉树的叶子结点数ｉｎtleafnuｍ（BTＲEＥ Ｔ）。
要求:
1、定义二叉树的抽象数据类型和型BTREE，并定义基本操作。
2、编写函数lｅaｆnuｍ（BTRＥET）,返回树T的叶子节点的个数。
在主函数中，构建一个二叉树,并验证所编写的算法。
七、画出下图所表示的二叉树的中序线索二叉树和先序线索二叉树。
八、已知二叉树的先根序列是AEFBＧCＤＨIKJ,中根序列是EFAGBCHKIJD，画出此二叉树，并画出后序线索二叉树。
九、在中序线索二叉树中插入一个结点Q作为树中某个结点Ｐ的左孩子，试给出相应的算法。
要求:
1、定义中序线索二叉树的型ＴHTREE以及基本操作。
2、定义函数voidLIｎsｅrt（TＨTREEＰ,THTRＥＥ Q）; 实现题目要求的操作。
在主函数中，利用操作RInserｔ和LＩnserｔ构造一个线索二叉树，并中序输出二叉树的结点的元素，验证结果。
#iｎclude<ｉosｔream>
#inｃlｕdｅ＜ｉomaniｐ>
#include
#iｎｃluｄe
#iｎcluｄe
ｕsinｇｎaｍeｓｐacesｔd；
tｙpedef iｎtｅlementtype；
strucｔnode｛/／节点的型
ｎode* lchiｌd；
node*rｃhild;
bｏolltaｇ;
ｂｏolrｔag;
eｌementtyｐe elemｅnｔ；
};
typedｅfnode*ｈeaｄ；/／指向树根rｏｏt
tyｐeｄeｆnｏde*tree;/／指向线索树的根节点
voidｍakeＮｕll（heａｄ&h）//将线索二叉树置空
{
h-＞lｃhild=h;
ｈ->ltaｇ=ｆalse;
h－>ｒchild＝h;
h->rtag＝ｔrue;
｝
heａｄ ｐｏinｔToｔree（head&h,tｒee&ｔ）／／令head指向tree,注意ｈｅａd指向的并不是根节点,ｔrｅｅ指向根节点
｛
h->lchild＝t;
h->rchiｌd=ｈ;
h－>ｌｔag＝tｒｕe;
ｈ->rtag=truｅ;
retｕrnh;
｝
／/中根遍历的下一个节点
nｏde*inＮext（nodｅ＊p）
{
node＊ q=p->rcｈｉld；
if（p->rｔag==trｕe）//如果有右子树，找出右子树的最左节点
whｉle（q->ltag=＝ｔruｅ）
q=q-＞lｃhild;
return q;
}
//中根遍历的上一个节点
node* inPre（node*p）
｛
node＊ｑ＝p->lｃhilｄ;
iｆ（p-＞ltａｇ==ｔrue）/／如果Ｐ的左子树存在，则其前驱结点为左子树的最右结点
whiｌe（ｑ->rtag=＝tｒue）
q＝ｑ->rｃhild;
rｅturnｑ;//左子树的最右结点
｝
／/中序遍历
vｏid ｔｈIｎOrdeｒ（ｈｅaｄh）
｛
node* temp;
temp=h;
do{
teｍp=ｉｎNext（tｅmp）;
if（temｐ!
=h）
coｕt＜＜teｍｐ－>eｌｅment＜<"";
}while（temｐ!
=h）；
}
//插入右孩子
ｖoidrＩｎsert（nodｅ*ｓ,node*ｒ）
{
node*w;
r->rcｈild=s->rchiｌｄ;
r－>rtaｇ=s->ｒtaｇ；
ｒ->lchiｌｄ=ｓ；
r->ltａg=fａｌse;//新插入的节点木有左子树，所以lcｈilｄ指向的是父节点
s－>rｃhilｄ=ｒ；
s-＞ｒtag=trｕe;//原节点的右孩子为新插入的节点
if（r－>rtａg＝=tｒue）{
／/这里是神马意思呢∑q|?
Д?
|p，就是如果被插节点s有右子树 ,
//找出被插节点s的的nｅxt位置，即右子树中的最左节点，令其lchild指向新添加的节点r
//因为插入前该最左节点的lchilｄ指向的是原来节点s
w＝iｎＮeｘt（ｒ）；
w－>lchｉld=r；
｝
}
／/插入左孩子
ｖoidlＩnsert（node*s,ｎode*l）
{
node*w;
l-＞ｌｃhild=s－>lchｉld;
l->ltag=s->ltag;
l->ｒｃhｉld=ｓ；
l->rtag=ｆalse;
s－>ｌchilｄ=l;
s－>ｌｔag=true;
if（l->lｔag＝=ｔruｅ）{／／与插入右孩子方法相似，只需把左右方向对调即可
w=ｉｎPre（l）;
ｗ->ｒchｉld=l;
}
｝
ｉntｍaｉｎ（）
{
head h=newnodｅ;
nｏde*rooｔ=new noｄe;
node*lc=newｎode;
nodｅ* rc=ｎewｎode；
noｄe*c=newnode;
rｏot－>elemｅｎt=1；
lｃ->eｌeｍeｎｔ=２;
rc－＞eｌemｅnt＝３；
c－>elｅmeｎt=4;
ｈ->ｒchild＝ｒｏoｔ；
h-＞lchild=h;
h->ｌｔａg=true;
h->rtag=true;
rｏot－＞lｃhild=ｈ;
root-＞rchilｄ=h;
rｏot->ltａg=false;
ｒoot－>rｔａg=ｆalse;
／/构造线索树213
lIｎsｅｒｔ（ｒoot，lc）;
rＩnｓｅｒt（ｒoｏt,rc）；
thInＯrder（h）;
cｏuｔ<＜eｎdl;
／/rｏot左边插入Ｃ
lＩnserｔ（ｒoｏt,ｃ）；
tｈＩｎOｒdｅｒ（h）；
returｎ０;
}
十、假设现在有如下的元素：
7、16、49、８2、5、３1、6、2、44。
画出将每一个元素插入堆中以后的最大堆。
要求:
利用基本操作Iｎseｒt的基本原理,先用第一个元素7构成一个二叉树，然后将第二个元素16插入该二叉树中，再将第三个元素4９插入堆中,……，直到最后一个元素插入为止。
上述过程要求画图完成。
十一、编写一个函数,在最大堆中查找任意元素,并分析其时间复杂度。
要求:
1、定义最大堆的型HEAP及其基本操作。
2、定义函数ｉntFind（HEAP Ｈ,Eleｍenttｙpee）,查找e是否为堆的元素,如果是,返回该元素在堆中的位置，如果不是,返回０。
（提示：
利用最大堆的元素特点进行查找，可降低复杂度）
在主函数中首先构建一个二叉树,然后验证所构造的函数。
typedefｓｔryｃt{
iｎｔkeｙ;
datａtｈpe data;
}ｅｌementtype;
Typedｅfstruｃt{
Eｌemｅntｔｙpeeｌｅｍenｔｓ[Ｍaxｓｉzｅ];
iｎｔn;
}HＥAP;
VｏidMaxHｅaｐ（ＨEAPheａp）／/
创建一个空堆
{heap.ｎ=0;}
BoolＨeａpEmpty（HEAＰheａｐ）//
判断堆是否为空
{
Iｆ（!
（heap.n））returntruｅ;
Eｌseｒetuｒｎfalsｅ;
}
ＢoolHeａpFｕll（HEAP heap）／/
判断堆是否为满
{ｉf（ｈｅａp.n=＝Maxsize-１）return tｒｕe;
Else retuｒn false；
}
VoｉdＩnsert（ＨEＡＰ&ｈeap,ｅlementｔypeｅlｅment）//
在堆
heap
中插入元素为
eｌｅmｅnt
的结点
｛
InｔI;
If（!
HeapFull（heａp））{
I=heap.n+１；
Ｗhilｅ（（i！
=1）&&（elｅｍent.daｔa>ｈeaｐ．eｌｅｍents[i/２].data））
{heaｐ.eleｍents［i］=hｅａp．elｅｍeｎｔs[ｉ/2］;
i/=2;
｝
Heap.n＋+;
Hｅap.ｅleｍents[i]＝element;
}
}
EｌemenｔtypeＤｅleｔeＭax（HEAＰ&ｈeap）//
删除堆中最大元素
{inｔpaｒaeｎｔ=1,chilｄ=2;
Ｅleｍeｎｔtypeelemｅｎt，tmp;
If（!
HｅapＥｍpty（ｈeap））{
Ｅleｍent=heａp．ｅlements[1]；
Ｔｍp＝hｅａp.eleｍenｔｓ[ｈeaｐ.ｎ-］;
Ｗｈile（chｉld＜=hｅaｐ．n）
{
If（（ｃｈｉlｄ＜heap.n）＆＆（ｈｅap.eleｍentｓ［chｉｌｄ]．datａＩf（tmp.datａ>＝heａp.eｌｅments[cｈilｄ].dａta）bｒeak；
Heａp．elｅｍenｔs[paraent]=hｅap.ｅｌｅments[cｈild］；
Pａraｅｎt=chiｌd;
Cｈild*＝２;｝
Heap.elｅments[paｒaent]=tｍp;
Rｅturneleｍent;}
}
IｎtFｉｎd（HEAP，ｄaｔａtype ｘ）
｛iｎt m=1;
Whilｅ（（ｍ＜H.ｎ）&&（H.ｅｌeｍents［ｍ］．data!
=x））｛
If（H.eｌements[m].daｔaIf（H.elements[ｍ＋1].ｄaｔa>＝ｘ）
m＋+;
ｅｌse retｕrn0;
eｌsem+＋；}
if（m<=H.n）rｅturnm;
elｓerｅｔuｒn0;
}
Inｔｍａin（）{
HEAPＨ;
Elementtypeｅlement;
Iｎtdａta［]=｛1，３,5，７,9，11,1３};
H.ｎ＝0；
Fｏr（inｔi＝0;ｉ<７;ｉ＋+）
{elｅｍeｎｔ.key=i+１；
Eｌement.datａ=ｄaｔa[i]；
Insert（H,ｅlｅment）;
}ｆor（iｎtｉ;i<＝H.n;i+＋）
cｏut<DeleteＭax（Ｈ）;
For（iｎt i＝1;i<=Ｈ．n;i+＋）coｕt<<Ｈ.elｅｍｅｎｔs[i].datａ<＜’’；
Cout<，endl;
Cout<<”查找的元素:
”;
Inｔx；
Cin>>ｘ;
Cｏuｔ＜}
十二、给定叶子结点的权值集合{15,3,14,2, 6, 9,16,17}，构造相应的哈夫曼树，并计算其带权路径长度。
十三、已知n=9和一组等价关系：
1≡5、6≡8、7≡2、９≡8、３≡7、4≡２、9≡3
试应用抽象数据类型MFSET设计一个算法,按输入的等价关系进行等价分类。
#iｎclｕdｅ＜ioｓtreaｍ.ｈ>
＃deｆｉｎe n 9/／ＭEFＳET元素个数
／／MFＳET抽象数据型
struct mfｎode{
int ｆather;／/指向父节点的链
iｎt coｕnt;//树结点个数
｝；
ｔypｅdｅf mfnｏdｅ MFSET[ｎ+1];
void Uniｏn（int A, int B, ＭＦSET C）
//合并A和B
{
iｆ（C[A］.cｏunt＞C[B].cｏunt）
{
C[Ｂ］．fathｅr＝A;／/B并入A
C[A］．count+=C[B].ｃount;
}
ｅlse
{
C[A].ｆather＝B;//A并入B
C[B].counｔ＋＝C［Ａ］.cｏunt;
}
｝
int Finｄ（ｉnｔ x, MFSET Ｃ）//求包含元素x的树的根
{
iｎｔ f；
f=x；
while（C[ｆ].faｔher!
=0）//未到根
f=C［ｆ].ｆａther;
ｒeturn f；
｝
void Ｉniｔial（int A， MFSＥＴ C）／/集合A只包含元素A
｛
C［A].fａther=0;
C[A].count=1;
}
// 等价分类
vｏｉｄ Eｑuiｖalｅncｅ（ＭＦＳET S）
{
int i， j, m, k；
ｆor（i＝1; i<=n; i++）
Initｉal（i, S）;
ciｎ>＞i；
cin>>j;
whilｅ（!
（i==0 && ｊ＝=０））/／输入0,0结束等价分类
｛
k＝Fiｎd（i, S）;
m=Ｆind（j, S）;
if（ｋ!
＝ｍ）
Union（ｋ, m, S）；
cｉｎ＞＞i;
ｃｉn>>j;
}
}
ｖｏiｄ priｎt_ＭFSET（ＭFSET S）
//输出等价类
{
inｔ r［n＋１］［n+1]＝｛0}, k；
fｏｒ（int i＝1； i<=n; i++）
{
k=Ｆiｎd（i, S）;
r［k][0]+＋;
r[ｋ］［r[ｋ］[０]]=i;
}
for（i=1； i＜=n； i++）
{
iｆ（r[i］［0]＞０）
｛
couｔ<＜＇{＇;
foｒ（ｉnt j=1; jcout＜＜ｒ[ｉ]［j］＜<',＇;
cｏut<<ｒ［ｉ][r[ｉ］[０]］<<'}'<＜endl;
｝
｝
}
ｖoid main（）
｛
MＦSＥT S;
Equiｖａlenｃe（S）;
print_MFＳET（S）;
}
十四、画出下图所示的森林经转换后所对应的二叉树，并指出在二叉树中某结点为叶子结点时，所对应的森林中结点应满足的条件。
十五、已知森林Ｆ的先根序列为:
ABCDEFGHIＪＫL,后根序列为：
CBEFDGAＪIKＬH，试画出森林F。
提示：
先画出森林F所对应的二叉树B,然后再将Ｂ转换为森林。
十六、画出表达式（A+B*C/D）*E+F*G所对应的树结构，并写出该表达式的波兰表示式和逆波兰表示式。
十七、利用逆波兰表达式求一个四则混合元算的值。
具体要求：
1、定义二叉树的型BTREE和位置的型poｓitiｏｎ。
2、实现二叉树的基本操作。
3、实现将一个四则混合运算转换成二叉树的函数：
BTREEcoｎvert（char*ｅxｐress）,其中参数exｐrｅｓs为四则混合运算表达式,返回值为生成的树。
4、实现计算四则混合运算的值的函数:
doublｅｃｏｍｐｕtｅｒ（BTRＥＥbt）,其中,参数bt为四则运算所对应的树,返回值为计算结果。
提示：
先求树的的波兰表达式,然后利用栈结构计算表达式的值。
在主函数中进行测试，求2+3*（5+8）／4-5的值。
#i
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