高考山东理科数学试题及答案解析.docx
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高考山东理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
、选择题：
本大题共2015年山东，理A）1,3
1）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1】已知集合{x|x24x30}，B{x|2x4}，则AB
（B）1,4（C）2,3
D）
）
2,4
2）
2015年山东，理
A）1i
2】若复数z满足zi，其中i是虚数单位，则
1i
（B）1i（C）1i
D）
1i
3）
2015年山东，理
3】要得到函数ysin（4x）的图象，只需将函数
3
ysin4x的图像
4）
5）
6）
7）
A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位
1233
已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则=（
32
（B）a2（
4
不等式|x1||x5|2的解集是（
（C）xy0xy2若zaxy的最大值为4，则y0
（C）-2
在梯形ABCD中，ABC，AD//BC，BC2AD2AB2．将梯形ABCD
2
绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（
12
2015年山东，理
32
A）a
2
2015年山东，理A）（,4）
2015年山东，理
A）3
2015年山东，理
4】
5】
6】
7】
C）
B）（,1）
32
a
4）
（1,4）
）
32
D）a2
2
D）
（1,5）
已知x,y满足约束条件
B）2
D）
-3
（A）（B）（C）
333
8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：
毫米）服从正态分布其长度误差落在区间3,6内的概率为（）（附：
若随机变量P（）
（A）4.56%
9）【2015年山东，理9】所在的直线的斜率为（
53
（A）5或3
35
D）2
N（0,32），从中随机取一件，
服从正态分布N（,2），则
10）【2015年山东，
间3,6内的概率为（
68.26，%P（22）95.44%）
（B）13.59%（C）27.18%
一条光线从点（2,3）射出，经y轴反射与圆（x3）2（y2）21相切，则反射光线
）
32
（B）或
23
3x1,x1,
23xx,1,xx11,.则满足f（f（a））2f（a）的取值范围是（）
2,x1.
10】设函数f（x）
D）31.74%
A）[23,1]
B）[0,1]
、填空题：
本大题共
11）【2015年山东，
C）5或4
45
D）4或3
34
C）[23,）
D）[1,）
第II卷（共100分）
5小题，每小题5分
理11】观察下列各式：
12）
13）
041C31C51C7
01030507
CCCC
14C
4C
照此规律，当nN*时，C20n1C21n1C22n1C2nn11
2015年山东，
2015年山东，
理12】若“x[0,],tanxm”是真命题，则实数
4
理13】执行右边的程序框图，输出的T的值为
m的最小值为
14）【2015年山东，理14】已知函数f（x）axb（a0,a1）的定义域和值域都是[1,0]，则ab22
15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:
x2y21（a0,b0）的渐近线与抛物线a2b2
2
C2:
x22py（p0）交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．
三、解答题：
本大题共6题，共75分．
16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设f（x）sinxcosxcos2（x）．4
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
A（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f（）0,a1，求ABC面积．
2
17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点．
（Ⅰ）求证：
BD//平面FGH；
（Ⅱ）若CF平面ABC，ABBC,CFDE,BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．
18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn3n3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足anbnlog3an，求数列{bn}的前n项和Tn．
19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：
若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．
22
1（ab0）的
1为半径的圆相
E于A,B两点，
20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:
x2y2a2b2离心率为3，左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以21212交，交点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；22
（Ⅱ）设椭圆E:
x2y21，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆4a24b2
射线PO交椭圆E于点Q．
（i）求|OQ|的值；（ii）求ABQ面积最大值．
|OP|
21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数f（x）ln（x1）a（x2x），其中aR．（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
Ⅱ）若x0，
f（x）0成立，求a的取值范围．
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1）【2015年山东，理1】已知集合{x|x24x30}，B{x|2x4}，则AB（）
（A）1,3（B）1,4（C）2,3（D）2,4答案】C
解析】A{x|x24x30}{x|1x3}，AB（2,3），故选C．
2）【2015年山东，理2】若复数z满足zi，其中i是虚数单位，则z（）
1i
（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i
答案】A
解析】z（1i）ii2i1i，z1i，故选A．
ysin4x的图像
3）【2015年山东，理3】要得到函数ysin（4x）的图象，只需将函数3
（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位
121233答案】B
解析】ysin4（x），只需将函数ysin4x的图像向右平移个单位，故选B．
1212
4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则=（）答案】C
15
解析】V12211215，故选C．
33
8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：
毫米）服从正态分布N（0,32），从中随机取一件，
其长度误差落在区间3,6内的概率为（）（附：
若随机变量服从正态分布N（,2），则P（）68.26，%P（22）95.44%）
（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%
答案】D
1
解析】P（36）（95.44%68.26%）13.59%，故选D．
2
9）【2015年山东，理9】一条光线从点（2,3）射出，经y轴反射与圆（x3）2（y2）21相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）
53325443
（A）或（B）或（C）或（D）或
35234534
答案】D
解析】（2,3）关于y轴对称点的坐标为（2,3），设反射光线所在直线为y3k（x2）,即kxy2k30，则d|3k222k3|1,|5k5|k21，解得k4或3，故选D．
k2134
3x1,x1,
10）【2015年山东，理10】设函数f（x）x则满足f（f（a））2f（a）的取值范围是（）
2x,x1.22
（A）[,1]（B）[0,1]（C）[,）（D）[1,）
33
答案】C
a1a12
解析】由f（f（a））2f（a）可知f（a）1，则a或，解得a2，故选C．
213a113
第II卷（共100分）
、填空题：
本大题共5小题，每小题5分
11）
【2015年山东，理11】观察下列各式：
照此规律，当nN*时，C20n1C12n1C22n1C2nn11
解析】C20n1C21n1C22n1C2nn111（2C20n12C21n12C22n12C2nn11）21[（C20n1C22nn11）（C21n1C22nn12）（C22n1C22nn13）（C2nn11C2nn1）]1（C20n1C21n1C22n1C2nn11C2nn1C22nn11）122n14n122
12）
【2015年山东，理12】若“x[0,],tanxm”是真命题，则实数m的最小值为答案】1
解析】“x[0,],tanxm”是真命题，则mtan1，于是实数m的最小值为1．44
13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T的值为．
答案】11
121111
解析】T10xdx0xdx12131161．
14）【2015年山东，理14】已知函数f（x）axb（a0,a1）的定义域和值域都是[1,0]，则ab
答案】
2
111111
解：
（Ⅰ）由f（x）sin2x[1cos（2x）]sin2xsin2xsin2x，
2222222
由2k2x2k,kZ得kxk,kZ，2244
则f（x）的递增区间为[k,k],kZ；
44
33
由2k2x2k,kZ得kxk,kZ，
2244
则f（x）的递增区间为[k,k3],kZ．
44
Ⅱ）在锐角ABC中，f（A）sinA10,sinA1，A，而a1，
2226
由余弦定理可得1bc22bccos2bc3bc（23）bc，当且仅当bc时等号成立，
6
又在BDC，是BC的中点，则THDB，
又BD平面FGH，TH平面FGH，故BD//平面FGH．
Ⅱ）由CF平面ABC，可得DG平面ABC而，ABBC，BAC45，则GBAC，于是GB,GA,GC两两垂直，以点G为坐标原点，GA,GB,GC所在的直线，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设AB2,则DECF1,AC22,AG2,B（0,2,0）,C（2,0,0）,F（2,0,1）,H（2,2,0），
22
则平面ACFD的一个法向量为n1（0,1,0），设平面FGH的法向量为
2x2y0
，即2x22y20，2x2z20
n2GH0
n2（x2,y2,z2），则
n2GF0
取x21，则y21,z22，n2（1,1,2），
11
cosn1,n211，故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60．
1122
18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn3n3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足anbnlog3an，求数列{bn}的前n项和Tn．n11n
2Sn3n3可得a1S1（33）3，anSnSn1（3n
22
3,n1．
3n1,n1．
解：
（Ⅰ）由
11
a13311，则an
Ⅱ）由
anbnlog3an及an
3,n1
33n,1,nn11，可得
bnlog3an
an
1
3n1
3n1
3）1（3n13）3n1（n2），
2
n1
n1
Tn112233nn11，
3332333n1
211111
Tn223
3n33323233
11
233n
911
3
T132n1
Tnn1
n1243n1
19）【2015年山东，理19】
n121
3n92
1Tn
3
1
3n1n
12122334n2n1
323234
n11n2
3n332
3
23n
2234n1n
3333
11111n1
（23n1）n
32333n13n
n1132n1
3n1823n
若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：
若抽取的的三个数字之积不能被5整除，整除，得1分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分解：
（Ⅰ）125，135，145，235，245，
本小题满分
12分）
三位递增数”
参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10
“三位递增数”；
X的分布列和数学期望EX．
345；
Ⅱ）X的所有取值为-1，0，1．
P（X0）CC8332,P（X1）CC43
C93C9
1,P（X1）C41C413C4211
14C9342
C93
X
0
-1
1
甲得分X的分布列为：
2
1
11
P
3
14
42
20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
21114
EX032114
（1）41121241
由两圆相交可得223b4，即13b2，交点
41（3b
则2423b2
3b24b2b2
故b21，a24，椭圆C的方程为xy21．
2
Ⅱ）（i）椭圆E的方程为xy1，设点P（x0,y0），满足
164
代入1641可得点Q（2x0,2y0），于是|OP|
2
x0y021，射线PO:
yy0x（xx00），4x0
（2x0）2（2y0）22．
x02y02ii）点Q（2x0,2y0）到直线AB距离等于原点O到直线AB距离的3倍：
ykxm
x2y2，得x24（kxm）216，1
164整理得（14k2）x28kmx4m2160．
|2kx02y0m||m|，d31k2，
1k2
64k2m216（4k21）（m24）16（16k24m2）0，|AB|1k216（16k24m2）
14k2
2
m
14k2
ykxm
y2kx2m有解，
x4y4
即x24（kxm）24,（14k2）x28kmx4m240有解，
其判别式164k2m216（14k2）（m21）16（14k2m2）0，即14k2m2，则上述m28k22不成立，等号不成立，
设t|m|2（0,1]，则S6|m|16k24m6（4t）t在（0,1]为增函数，14k214k2
于是当14k2m2时Smax6（41）163，故ABQ面积最大值为12．21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数f（x）ln（x1）a（x2x），其中aR．
（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若x0，f（x）0成立，求a的取值范围．
11
且x1x22，而g
（1）10，则1x1x2，所以当x（1,x1）,g（x）0,f（x）0,f（x）单调
递增；当x（x1,x2）,g（x）0,f（x）0,f（x）单调递减；当x（x2,）,g（x）0,f（x）0,f（x）单调递增．因此此时函数f（x）有两个极值点；
当a0时0，但g
（1）10，x11x2，所以当x（1,x2）,g（x）0,f（x）0,f（x）单调
递増；当x（x2,）,g（x）0,f（x）0,f（x）单调递减，所以函数只有一个极值点．
88
综上可知当0a时f（x）的无极值点；当a0时f（x）有一个极值点；当a时，f（x）的有两个
99极值点．
Ⅱ）由（Ⅰ）可知当0a8时f（x）在（0,）单调递增，而f（0）0，
9
则当x（0,）时，f（x）0，符合题意；
8
当8a1时，g（0）0,x20，f（x）在（0,）单调递增，而f（0）0，
9
则当x（0,）时，f（x）0，符合题意；当a1时，g（0）0,x20，所以函数f（x）在（0,x2）单调递减，而f（0）0，
则当x（0,x2）时，f（x）0，不符合题意；
当a0时，设h（x）xln（x1），当x（0,）时h（x）11x0，
x11x
h（x）在（0,）单调递增，因此当x（0,）时h（x）h（0）0,ln（x1）0，
1
于是f（x）xa（x2x）ax2（1a）x，当x1时ax2（1a）x0，
a
此时f（x）0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0a1．
另解：
（Ⅰ）f（x）ln（x1）a（x2x），定义域为（1,）
f（x）1a（2x1）a（2x1）（x1）12ax2ax1a，
x1x1x1
1
当a0时，f（x）0，函数f（x）在（1,）为增函数，无极值点．
x1
设g（x）2ax2ax1a,g
（1）1,a28a（1a）9a28a，
当a0时，根据二次函数的图像和性质可知g（x）0的根的个数就是函数f（x）极值点的个数．
8
若a（9a8）0，即0a时，g（x）0，f（x）0函数在（1,）为增函数，无极值点．
9
8
若a（9a8）0，即a或a0，而当a0时g
（1）0
9
此时方程g（x）0在（1,）只有一个实数根，此时函数f（x）只有一个极值点；
8
当a时方程g（x）0在（1,）都有两个不相等的实数根，此时函数f（x）有两个极值点；
9
88
综上可知当0a9时f（x）的极值点个数为0；当a0时f（x）的极值点个数为1；当a9时，
99
f（x）的极值点个数为2．
22（Ⅱ）设函数f（x）ln（x1）a（xx），x0，都有f（x）0成立，即ln（x1）a（x2x）0当x1时，ln20恒成立；当x1时，x2x0，ln（2x1）a0；
x2x
当0x1时，x2x0，ln（2x1）a0；由x0均有ln（x1）x成立．
x2x
故当x1时，，ln（2x1）1（0,），则只需a0；
xxx1
当0x1时，ln（2x1）1（,1），则需1a0，即a1．综上可知对于x0，都有
x2xx1
f（x）0成立，只需0a1即可，故所求a的取值范围是0a1．
另解：
（Ⅱ）设函数f（x）ln（x1）a（xx），f（0）0，要使x0，都有f（x）0成立，只需函数函数f（x）在
1
（0,）上单调递增即可，于是只需x0，f（x）a（2x1）0成立，
x1
112
当x1时a，令2x1t0，g（t）（,0），
1
则a0；当x1时
2
令2x1t（
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